*d= i=0n

Salut,

Tu peux, par exemple, le montrer par récurrence.

salut

je vois pas la rapport entre le debut de l'enoncé et la suite qui demande demontrer que
10 et 1 sont congrus modulo 3 ?

on a  10 = 1[3]    et  10^n = 1[3]   à moins qu'il s'agisse de le demontrer ?

dans ce cas

10 = 3q + 1

10^n = C(n,k).(3q)^k  k compris entre 0 et n
10^n = 1 + 3 .C(n,k)3^(k-1).q^k    k compris entre 1 et n.

ona donc bien 10^n = 1[3]

Alors finalement j'ai utilisé la récurrence, voila ce que j'ai fait:
Pour n, posons P_n: "3 divise 10ⁿ-1"
Initialisation: 3 divise 10⁰-1= 1-1= 0 donc P₀ est vraie.
Hérédité: Soit n, supposons que P_n est vraie, c'est-à-dire qu'il existe k_n tel que 10ⁿ-1=3xk_n.
On a 10ⁿ⁺¹-1= 10ⁿx10 - 1= (3xk_n+1)x10 - 1 = 30xk_n +10-1= 30xk_n+9= 3(10k_n+3) = 3xT_n avec T_n, ce qui prouve que P_n+1 est vraie.
Or si P_n+1 est vraie, P_n est vraie.
Conclusion: Par récurrence, P_n est vraie pour tout n.

est-ce que c'est bon ?

"Or si Pn+1 est vraie, Pn est vraie. "
Que veut dire cette phrase horrible ?

La récurrence marche bien comme tu peux le constater.
Dans ton cours, tu devrais avoir une propriété qui dit que la congruence est stable par produit, ce qui t'amène directement la réponse, car 1^n=1 pour tout n.

est-ce que ça irait en disant "or si la propriété est vraie au range n+1, elle l'est au rang n" ?
Non je n'ai pas de telle propriété... Mais est-ce que la récurrence marche quand même étant donné qu'il fallait en déduire à partir de 10 congru à 1 modulo 3 ?

Mais c'est absolument faux comme phrase.
Le principe de récurrence est d'initialiser, et ensuite de supposer le résultat vrai à un rang donné, puis de montrer que le résultat est vrai pour le rang suivant.
Visiblement tu as compris le principe car ta démonstration est correcte.

SI tu veux dire quelque chose, c'est plutôt : Ainsi, on a montré que si Pn était vrai, alors Pn+1 aussi, ce qui montre le résultat par récurrence.

Vous n'avez pas du aller très loin dans le cours alors.
En fait, si a est congru à b modulo c et que d est congru à e modulo c, alors ac est congru à bd modulo c.
Ainsi, en répétant n fois ce procédé avec a=c=10, b=d=1 et c=3, tu as le résultat. Evidemment, attends de l'avoir vu avant de l'utiliser.

Ah ben oui jes uis bête ! merci
pour la question b) je ne sais pas quelle méthode/propriété appliquer: Montrer que d est congru à la somme de ses chiffres modulo 3.

La congruence est stable par la somme, ça je pense que tu le sais.
Donc en reprenant l'expression de d, à combien est congru d modulo 3 ?

ah alors est-ce qu'il faut dire: d est congru à a_na_n-1 ... a₁a₀ modulo 3 car d-(a_na_n-1 ... a₁a₀)=0 et 0 est divisible par 3

Pas du tout. Ce n'est même pas vrai. De plus, on parle de somme, pas de produit.
D'abord : que vaut   modulo 3 ?

Je ne sais pas... Peut-être a₁x10+a₀=b[3] donc (a₁x10+a₀)-b= 3k avec k ? Non ce n'est sans doute pas ca mais je suis un peu perdue...

A combien est congru modulo 3 ?

il faudrait connaitre la valeur de a non ?

Pourquoi ça ? a1 est une valeur qu'on connaît, c'est le chiffre des dizaines. Peu importe s'il vaut 0 ou 6. Donne moi la réponse en fonction de a1.

a₁x10 est congru à a₁x10 modulo 3 alors non ?

Certes, mais je demande mieux que ça !
10 est congru à 1 modulo 3, et il faut utiliser la propriété de stabilité par la multiplication donnée par mon post à 15:56.
C'est bizarre que tu n'ai pas vu cette propriété et que tu fasses cet exercice.

on a 10a₁10 congru à a₁10 modulo 3 ?

En fait il y a à la fin du polycopié du cours quelque chose avec axc congru à bxd modulo n mais on ne l'a jamais"vu" en cours

Vu que 10 est congru à 1 modulo 3, et que a1 est congru à a1 modulo 3, on a a1*10 qui est congru à a1 modulo 3.
C'est la fameuse propriété dont tu as besoin pour faire l'exo..

mais 1 n'est pas la somme des chiffres de d si ?

Pardon ?
J'ai dit que est congru à modulo 3 !

Et donc si tu fais ça pour d, qui est une somme de , tu obtiens que d est congru à .... modulo 3 ? (Complète les pointillés)

ah oui pardon j'avais mal lu !
à a_k ?

Un seul est congru à modulo 3.
Maintenant si tu fais la somme, d est congru à combien modulo 3 ?

à a_k+1 ?

Non..

A combien est congru   modulo 3 ?

à a_k+1 + a_k

Tout à fait !!
Donc, pour d, quant tu sommes tout, tu trouves que d est congru à combien modulo 3 ?

d est congru à a_k+1+a_k+...+a₁+a₀ modulo 3 ?

Et où sont a_n, a_(n-1),... tu les oublies ?

Je suis désolée de ne pas vous avoir répondu mais j'ai eu un souci de wifi et je n'avais plus internet chez moi ! Je vous remercie de tout le temps que vous avez pris pour moi