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divisibilité par 3

Posté par
darkinos
13-01-15 à 19:53

Bonsoir à tous: Aidez-moi SVP
soient x,y et z trois entiers naturels tels que x^2+y^2= z^2
montrer que l'un au moins de ces trois entiers est divisible par 3

Posté par
Flewer
re : divisibilité par 3 13-01-15 à 20:29

Essaie par l'absurde : si aucun n'est divisible par 3, alors...

Posté par
Flewer
re : divisibilité par 3 13-01-15 à 20:33

Tu peux écrire x=3k+1 ou y=3k+2 (car n'est pas divisible par 3).
D'où x²=3k'+1 dans tous les cas. Sachant qu'il y a 3 nombres et que c'est la même chose pour les autres, tu peux en conclure que...

Posté par
Cherchell
re : divisibilité par 3 13-01-15 à 20:51

Tu pourrais faire un tableau :
si x est congru modulo 3 à            0   1  2
x 2 est congru modulo 3 à  0   1  1

donc
soit x 2 + y 2 est la somme de deux termes congrus à 0 modulo 3 donc  x 2 + y 2 congru à 0 modulo 3 donc x 2 + y 2 peut être égal à z 2 dans ce cas l'un des nombres (et même deux nombres) est bien divisible par 3

soit x 2 + y 2 est la somme d'un terme congru à 0 modulo 3 et d'un autre terme congru à 1 modulo 3 donc  x 2 + y 2 congru à 1 modulo 3 donc x 2 + y 2 peut être égal à z 2 dans ce cas l'un des nombres est bien divisible par 3

soit x 2 + y 2 est la somme de deux termes congrus à 1 modulo 3 donc  x 2 + y 2 congru à 2 modulo 3
Comme z 2 est congru modulo 3 à  0 ou à 1, dans ce cas x 2 + y 2 ne peut pas être égal à z 2. Ce cas est exclu
donc dans les deux cas possibles l'un au moins de ces trois entiers est divisible par 3



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