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Dm approximations affines et pourcentages

Posté par lucas (invité) 17-12-03 à 17:51

Bonjour!
Voici l' exercice que je ne parviens pas à terminer:
1. Démontrer que l' approximation affine de f ( f(x) = (1+x)^4
) au voisinage de 0 est: 1+ 4x.
Jusque là, pas de problème: je suis parvenu à trouver la démonstration

C' est pour la 2e partie de l' exercice, intitulée Application
économique, que j' éprouve quelques difficultés:
2.Que peut-on dire des phrases suivantes?
_augmenter un prix de 20 pour cent pendant 4 années consécutives, c' est
augmenter de 80 pour cent
_ augmenter un prix de 3 pour cent pendant 4 années consécutives ,
c' est augmenter de 12 pour cent.
Je n' arrive pas à voir le rapport entre la première et la seconde
partie de l' exercice.

J' ai calculé le coût final dans les 2 cas: 1,2^4 x dans la première
question et 1,03^4 x dans la deuxième question au bout de 4 ans.

Que faut-il faire ensuite?
Je vous remercie par avance de votre réponse. Lucas

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Dm approximations affines et pourcentages 17-12-03 à 19:28

2)
Le rapport que tu ne vois pas existe pourtant.

Que peut-on dire des phrases suivantes?  
_augmenter un prix de 20 pour cent pendant 4 années consécutives, c' est
augmenter de 80 pour cent  
C'est faux.

Soit P le prix au départ
Aprés 1 an , il devient (1 + 0,2)P = 1,2P
Aprés 2 ans , il devient (1 + 0,2)*1,8P = 1,2²P (qui s'écrit aussi
: (1 + 0,2)²P)
Aprés 3 ans , il devient (1 + 0,2)*1,8²P = 1,2³P (qui s'écrit aussi
: (1 + 0,2)³P)
Aprés 4 ans , il devient (1 + 0,2)*1,8³P = (1,2)^4 .P (qui s'écrit
aussi : (1 + 0,2)^4 .P)

Donc en appelant x = 20% = 0,2 , on  voit que le prix devient (1 + x)^n
après n années.
et donc après 4 ans, le prix est devenu: (1 + x)^4  avec x = 0,2
---
Alors que si on ne fait pas attention , on dit que 80% pendant 4 ans font
une augmentation de 4*80%
donc on penserait (mais c'est faux) que le prix est après 4 ans =
(1 + 4x).P avec x = 0,2
----



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