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DM de premiere ES

Posté par
simonedsftr
09-10-14 à 13:37

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un DM de mathématique, j'ai déjà répondu à plusieurs questions mais les autres je n'arrive pas a trouver la réponse. Si vous pouviez m'aider merci

A l'école primaire du jeune Friedrichs Johann Gauss le professeur avait donné à calculer la somme 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9. Gauss, un des plus grands génies mathématiques ayant existé, trouva la réponse en quelques instants. Pour mater ce sale gosse, le professeur lui dit de faire le calcul 0+1+2+3+4+5… jusqu'à +100 ! Par une méthode astucieuse, Gauss trouva une formule permettant de calculer cette somme très facilement. Dans le problème qui suit, c'est cette méthode qui est utilisée , mais dans cadre plus général

0) Quelle est la nature de la suite 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … ? Donnez son premier terme et sa raison

Rep : C'est de nature arithmétique. Son premier terme est 0. Sa raison est +1

1) Soient x appartient à R  et a appartient à R. On considère la suite arithmétique u de premier terme x et de raison.
Soit n appartient à N. Exprimez Un en fonction de a et de x

Rep : Un = x +a x n

2) A) Soit p appartient a N. Exprimez Up +Un-p en fonction de a, de x et de n
B) Que vaut Un-p +Up ?

3) On note S la somme U0 +U1 + U2 + … + Un-2 + Un-1 +Un
A) Exprimez, en fonction de S, la somme :
U0 + U1 +U2 + … + Un-2 + Un-1 +Un
+Un + Un-1 + Un_2 + … + U2 + U1 + U0
B) En regroupant les termes intelligemment, exprimez en fonction de a, x et n la somme :
U0 + U1 + U2 + … + Un-2 + Un-1 +Un
+Un + Un-1 +Un -2 + … + U2 + U1 + U0
C) En déduire S

4) A) Appliquez la formule trouvée ci-dessus pour les suites suivantes (on prendra n=5) :
U suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1
V suite arithmétique de premier terme -2 et de raison 3
B) Vérifiez les résultats obtenus en A) en calculant a la main les sommes considérées

Je voudrais que vous m'aidiez à faire les réponses auxquelles je n'ai pas répondu, car je ne les ai pas comprises et aussi si vous pouvais me dire si les réponses que j'ai apportés sont juste ou non
Merci d'avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : DM de premiere ES 09-10-14 à 14:11

Citation :
B) Que vaut Un-p +Up ?

Il suffit d'écrire Up=x+pa et Un-p=x+(n-p)a et de faire la somme puis simplifier les pa Un-p+Up = 2x + na

3) tu as deux fois la somme donc déjà elle vaut 2S
ensuite fais Un+U0 puis Un-1+U1 et de manière générale Un-p+Up en utilisant la formule que l'on a trouvée à la question d'avant. que remarques-tu ?

Posté par
hekla
re : DM de premiere ES 09-10-14 à 14:13

Bonjour

u_n=x+an si a est la raison  terme oublié dans le texte

A u_p=x+pa

u_{n-p}=x+(n-p)a

u_{n-p}+u_p= x+x+na vous pouvez écrire ceci autrement

Posté par
simonedsftr
re : DM de premiere ES 09-10-14 à 22:32

Je n'ai pas compris par "faire la somme" ce que tu voulais dire, tu peux développer, et ce que tu m'as dit apres je n'ai pas saisie la suite non plus

Posté par
hekla
re : DM de premiere ES 09-10-14 à 22:53

vous avez

tex]u_p=x+pa[/tex]

u_{n-p}=x+(n-p)a

maintenant on fait la somme des deux termes (ce que l'on vous a demandé )

u_{n-p}+u_p=x+pa+x+(n-p)a= x+x+na =x+u_n


S= u_0+u_1+u_2+\cdots u_{n-2}+u_{n-1}+u_n

S=u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+\dots+u_2+u_1+u_0

on additionne les 2 lignes

2S=(u_0+u_n)+(u_1+u_{n-1})+(u_2+u_{n-2})+\dots +(u_{n-2}+u_2)+(u_{n-1}+u_1)+(u_n+u_0)

que valent chacune des parenthèses ? utilisez la question précédente



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