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DM : Equation cartésienne dans l espace
Bonjour !
J'ai un problème avec des exercices, je n'ai pas encore fait le cours
à cause des examens des BTS, et donc je galère un peu...
Mon exercice porte sur l'équation d'un cylindre.
(O,i,j,k) est un repère othonormal de l'espace. Le point A a pour coordonnées
(0;0;7). On considère le cylindre de révolution engendré par la rotation
autour de (OA) du rectangle OABC avec AB=3. Un point M du cylindre
se projette orthogonalement en H sur le segment [OA] et MH=3.
1)On note (x;y;z) les coordonnées du point H. Prouvez que les coordonnées
de M sont telles que x²+y²=9 et 0< ou égal à z < ou égal à 7.
2)Réciproquement, M(x;y;z) est un point de l'espace dont les coordonnées sont
telles que x²+y²=9 et 0<ou égale à z< ou égale à 7. Démontrer que
MH=3. Déduisez-en que M est sur le cylindre.
Conclusion:Le cylindre droit a pr équation x²+y²=9 (avec 0<z<7).
3)Déterminer, parmi les points suivants, ceux qui sont sur le cylindre: D(3;0;3),
E(racine de3; racine de 6;4) et F(1;3;1).
4)Caractériser analytiquement le cylindre d'axe (O,j), de bases les cercles
de rayon 2, de centres respectifs O etB(0;10;0), puis le cylindre
de rayon racine de 5, de centre respectifs O etC(20;0;0).
5)Décrivez l'ensemble des points M(x;y;z) dont les coordonnées sont telles
que : x²+y²=25 et -5<ou égale à z<ou égale à 4.
Merci d'avance !!!
1) Si M est sur le cylindre , sa base étant contenu dans le plan ox , oy . C'est un cercle ( normal pour un cilyndre ) , le rayon est celui du coté du rectangle que l'on fait pivoter : AB = 3.
M vérifie donc l'équation d'un cercle de centre O et de rayon 3 parallèle à Ox Oy : (x-0)² + (y-0)² = 3²
On retrouve bien votre expression.
Pour Z si M est sur le cylindre sa hauteur ne peut dépasser celle du cylindre , donc Z compris entre 0 et 7.
2) M décrit sur des plans parallèles à Ox Oy de cote Z variant de 0 à 7 , des cercles de rayon racine de 9 et de centre 0.
H étant sur l'axe Oz , et étant le projeté de M . MH est perpendiculaire à Oz donc compris dans un plan parallèle à Ox Oy .
M est sur le cercle de rayon 3 et H sur le centre. Donc MH = 3.
On retrouve bien un cylindre.
3) On remplace les coordonnées dans les équations et on regarde si cela marche.
D marche . E non , F non plus.
4)
On cherche d'abord l'équation du cercle dans des plans parallèles à Ox Oz , rayon 2 .
x² + z² = 2² = 4
y varie entre 0 et 10
Je suppse que le deuxième cylindre est selon Ox , donc la base est dans des plans parallelles à Oy Oz , rayon racine de 5.
y² + z² = 5
5)La base est d'équation x² + y² =25 , le cylindre est donc selon Oz centré en O de rayon racine de 25 = 5 . La hauteur allant de Z=-5 à Z=4.
J'espère que cela vous suffira .
Je vous donne mon e-mail si vous voulez plus d'infos.
***@wanadoo.fr
Sachez que le mieux est de faire un dessin , le cylindre est assez intuitif.
Je vous rapelle aussi l'équation d'un cercle de centre a,b et de rayon c : (x-a)² + (y-b)² = c²
Cordialement
Luc Badin
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