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DM : Equations du second degré
Bonjour , j'ai un DM a rendre pour demain et je ne sais pas trop comment faire.Donc j'aurais besoin d'un peu d'aide.
Exercice 1 :
(E) (x² - x)² = 14(x² -x) - 24
Methode : On se ramene a une equation du second degré en posant X = x² - x et en substituant dans (E=.
1)Pour chaque solution alpha de (E1) , résolvez l'équation x² - x = alpha
Les solutions de ces equations sont les solutions de l'equation (E).
Evidemment danc cet exemple c'est facile mais il faut faire la meme methode dans cette équation :
(x² + x + 1)²- 4x² - 4x - 1 = 0
Exercice 2 :
Dans un repere (O;I;J) on note H l'hyperbole d'équation y = 1/x et Dm la droite d'equation y = 2x + m .
A chaque réel m corrrespond une droite Dm.
1)Démontrez que toutes les droites Dm sont paralleles.
=>Car elles ont le meme coefficient directeur.
2)a)Construisez H et les doites D0 , D1 , D-2.
=>Je l'ai fait.
b)Démontrez que pour tout réel m , la droite Dm coupe H en deux points distincts M et N.
3)On note I le milieu de [MN].
a)Calulez les coordonnées de I en fonction de m.
b)Déduisez-en que le lieu de I est une droite dont vous donnerez l'equation réduite.
Merci.
(x² + x + 1)²- 4x² - 4x - 1 = 0 => (x² + x + 1)²- 4(x² +x + 1)=0
(x² + x + 1)((x² + x - 3)=0
A toi de jouer...
Philoux
salut
pour (x² + x + 1)²- 4x² - 4x - 1 = 0 (E)
d'apres toi que va t on prendre pour X ?
on va prendre X=x²+x+1
donc (E) devient X²-4X+3=0
( car (x²+x+1)²-4x²-4x-1=(x²+x+1)²-4x²-4x-4+3=(x²+x+1)²-4*(x²+x+1)+3 )
solutions de X²-4X+3=0 ?
1 solution evidente et donc 3 est l'autre.
reste a resoudre x²+x+1=1 donc x²+x=0=x*(x+1) donc x=0 et x=-1 sont les solutions de x²+x+1=1
puis resoudre x²+x+1=3 donc x²+x-2=0 donc x=-2 et x=1 sont les solutions de x²+x+1=3
conclusion les solutions de (E) sont -1,0,1,-2.
Ok.
Mais le probleme c'est que la j'ai x² + x.
Et dans la méthode il faut que X = x² - x
C'est pour sa je comprends pas.
Ah ok il faut changer la valeur de X.
Et ta vérifier que les solutions que tu trouves sont bonnes ?
Pourquoi ça devient ça :
(x²+x+1)²-4x²-4x-4+3
exo 2
2b)
soit m dans R.
on cherche les points d'intersection de la droite Dm et de H
si un tel point M(x,y) existe , ses coordonnees verifient le systeme suivant ;
y=2x+m
y=1/x
occupons nous de ce systeme :
y=1/x
1/x=2x+m
y=1/x
1=2x²+mx avec x different de 0
donc il faut regarder l'equation 2x²+mx-1=0
discriminant m²+4*2=m²+8
on voit que quelquesoit les valeurs de m on a notre discriminant strictement positif donc notre equation 2x²+mx-1=0 aura deux solutions distinctes qui sont les abscisses de deux points non confondus.
(tu peux calculer les coordonnees de ces 2 points si tu veux...)
3) I milieu de [MN].
donc xI=(xM+xN)/2 et yI=(yM+yN)
xM+xN=-m/2 car xM et xN sont solutions de 2x²+mx-1=0
et yM+yN=2*(xM)+m + 2*(xN) + m = 2*(xM+xN) + 2m = m
donc I( -m/4 , m/2) , m reel.
on a xI=-m/4 et yI=m/2
donc yI=-2*(-m/4)=-2*xI
donc les coordonnees de I verifient l'equation de la droite suivante : y=-2x
a verifer tout ca car je suis alle tres vite...
Pourquoi ça devient ça :
(x²+x+1)²-4x²-4x-4+3
parce que -4+3=-1
et que je veut faire apparaitre un -4 pour le factoriser par -4 tout comme -4x²-4x ce qui me fera apparaitre ...-4*(x²+x+1)...
Pour le 2)b) je pense que c'est bon.
Mais pour le 3a) je ne peux pas te dire car je n'avais aucune idée pour le faire.
Par contre pour le 3b) tu la pas fait c'est normal ou tu la pas vu ?
-1,0,1,-2 sont elles solutions de
(x² + x + 1)²- 4x² - 4x - 1 = 0 ?
et bien il suffit de le verifier.
0 ok.
-1 ok
1 ok
-2 ok
je pense que c'est toi qui n'a pas vu ma reponse :
on a xI=-m/4 et yI=m/2
donc yI=-2*(-m/4)=-2*xI
donc les coordonnees de I verifient l'equation de la droite suivante : y=-2x
Ok.Autant pour moi.
Par contre je ne comprends pas comment tu passe a ça :
car (x²+x+1)²-4x²-4x-1=(x²+x+1)²-4x²-4x-4+3
pour le 3a)
on peut d'abord calculer les coordonnees de M et celles de N et aboutir a celles de I grace aux formules que j'ai citees.
mais etant donne qu'on ne te demande pas de calculer les coordonnees de M et de N et qu'il est facile de trouver xM+xN et yM+yN (c'est le plus important) on arrive directement au calcul des coordonnees de I.
mais la c'est a toi de voir ce que tu preferes faire...
(x²+x+1)²-4x²-4x-1=(x²+x+1)²-4x²-4x-4+3
tu es bien d'accord que -4+3=-1 ?
donc (x²+x+1)²-4x²-4x-4+3 donne bien (x²+x+1)²-4x²-4x-1
ce qui demontre que mon egalite est vraie...
Les réponses c'est ça :
on a xI=-m/4 et yI=m/2
car c'est en fonction de m.
Ah ok mais pourquoi prends tu -4 + 3 ?
Pourquoi tu ne laisses pas -1 ?
ca ce sont les coordonnees de I donnees en fonction de m. (reponse a la question 3a)
pour 3b)
a partir de cela il faut trouver l'equation d'une droite pour laquelle les coordonnees de I la verifient.
cette equation est y=2x.
Ah ok mais pourquoi prends tu -4 + 3 ?
Pourquoi tu ne laisses pas -1 ?
je fait cela pour faire apparaitre ...-4x²-4x-4...et ainsi factoriser. le tout est de faire apparaitre x²+x+1
Ok.
Je te remercie de ton aide.
Merci beaucoup
donc (E) devient X²-4X+3=0
Pourquoi +3 alors que c'etait -1 ?
non
tu as (x² + x + 1)²- 4x² - 4x - 1 = 0
le -1 tu le remplaces par -4+3
ce qui donne (x² + x + 1)²- 4x² - 4x -4+3 = 0
le -4x²-4x-4 se factorise par -4 pour donner :
(x² + x + 1)²- 4(x²+x+1)+ 3 = 0
reste a faire X=x²+x+1
3) I milieu de [MN].
donc xI=(xM+xN)/2 et yI=(yM+yN)
Pourquoi tu divises par par 2 yI ?
Et c'est un oubli car apres tu le fait.
Par contre :
et yM+yN=2*(xM)+m + 2*(xN) + m = 2*(xM+xN) + 2m = m
Pourquoi 2*(xM+xN) + 2m est égal a m ?
oui j'ai oublie le " /2" pour yI
c'est yI=(yM+yN)/2
Ok.
Mais Par contre :
et yM+yN=2*(xM)+m + 2*(xN) + m = 2*(xM+xN) + 2m = m
Pourquoi 2*(xM+xN) + 2m est égal a m ?
reprenons
on a
yM+yN=2*(xM)+m + 2*(xN) + m = 2*(xM+xN) + 2m
car yM=2*xM+m et yN=2*xN+m car N et M sont sur Dm.
or xM+xN=-m/2
or 2*(-m/2)+2m=-m+2m=m
donc yM+yN=m
donc yI=m/2
as tu compris pourquoi je sais que xM+xN = -m/2 sans calculer xM et xN ?
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