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Dm flocon de koch

Posté par
chups 03-03-11 à 16:39

Bonjour, j'ai un DM de maths à faire et je ne comprends pas les 3 dernieres questions de l'exercice, même en regardant vos autres corrections. Voici mon énoncé:


Le flocon de Koch est une figure géométrique obtenue à partir d'un triangle équilatéral par réitération d'une transformation appliquée à chaque côté du triangle.
Le segment [AB] est transformé en une ligne brisée de 4 segment de longueur 1/3.

1/ Nombre de côtés:
On note Cn le nombre de segments qui constituent le flocon à l'étape n.
a/Calculer C1, C2, C3, C4.
b/ Démontrer que la suite (Cn) n1 est géométrique. Exprimer Cn en fonction de n.

2/Périmètre :
On note Un la longueur d'un segment à l'étape n.
a/ Démontrer que la suite (Un) n1 est géométrique. Exprimer Un en fonction de n.
b/ Démontrer que le périmètre du flocon à l'étape n est donnée par :
pn = 3*(4/3)n-1.

3/L'aire :
On note an l'aire du flocon à l'étape n.
a/ Calculer a1
b/De l'étape n à l'étape n+1, l'aire est augmentée de celle des Cn triangles équilatéraux de côté Un+1.
En déduire an+1 - an en fonction de n.
c/ Calculer (an - an-1) + ... + (a2 - a1) de deux façons différentes. En déduire la valeur de an pour n2.
d/ Donner une valeur approchée de a50 arrondie au millième.

J'espère que vous pourrez m'aider.
Merci d'avance.

Dm flocon de koch

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 09:19

Bonjour,

Qu'as-tu trouvé en 1.b, 2.a et 3.a ?

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 09:51

Bonjour,

Alors pour la 1b j'ai trouvé: Cn=3*4n-1.
Pour la 2a : Un=1*1/3n-1.
Et la 3a: a1=3/4

Voila

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 09:56

Cela me semble juste.

Que proposes-tu maintenant pour 3.b ?

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 09:58

Et bien c'est à partir de cette question que je ne comprends pas comment faire.
Si vous pouviez m'expliquer...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:00

Relis l'énoncé en regardant la figure.

Pour passer de l'étape n à l'étape n+1, on rajoute C(n) triangles équilatéraux de côté U(n+1). Quelle est leur aire totale ? Tu en déduiras a(n+1)-a(n).

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:13

l'aire d'un triangle équilatéral de coté Un+1:
3/2*1/3n/2.

C'est ça?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:15

Je n'arrive pas à lire ton expression. Quel est le numérateur ? Le dénominateur ?

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:18

Je fais l'aire d'un triangle: (b*h)/2
Donc b=1/3n  h=3/2

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:20

La base d'un triangle équilatéral de côté U(n+1)=1/(3^n) est bien ce que tu écris.
En revanche, la hauteur est fausse.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:28

la hauteur est plutot 3/2*Un+1 ?
Donc l'aire est (3/2) * (1/3)2n /2

Cette fois c'est bon?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:38

Je pense que c'est bon. Il te reste à l'écrire proprement.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:52

Merci mais je ne comprends toujours pas comment j'en déduis an+1 -an.
comment dois-je continuer?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:53

Qu'est-ce que tu viens de calculer ?

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:55

je viens de calculer l'aire d'un triangle equilateral de coté Un+1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 10:57

OK. Pour passer de l'aire à l'étape n (a(n)) à l'aire de l'étape n+1 (a(n+1)), combien rajoute-t-on de tels triangles équilatéraux.
Donc que vaut a(n+1)-a(n) ?

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 11:12

On en rajoute n+1 triangles equilateraux?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 11:14

Non. Combien de petits triangles rajoute-t-on entre les étapes n et n+1 ?
Autant que de côtés à l'étape n, c'est-à-dire Cn.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 11:16

Donc an+1-an= Cn* aire du triangle equilateral que j'ai trouvé precedemment?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 11:17

Oui.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 11:27

aLors An+1-An= 3*4n-1*(3/2) * (1/3)2n /2
             = (33/2) *4n-1*(1/3)2n /2

Comment je continue?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 11:34

Il faut simplifier les expressions en fin de calcul.

Tu continues en suivant les questions posées par l'énoncé.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 12:16

Reprenons...

1.b. A l'étape n, le nombre de côtés est 3$\fbox{C_n=3\times 4^{n-1}}

2.a. A l'étape n, la longueur des côtés est 3$\fbox{U_n=\frac{1}{3^{n-1}}}

3.b. Pour passer de l'étape n à n+1, on rajoute l'aire de C_n triangles équilatéraux de côté U_{n+1}. Donc :

3$a_{n+1}-a_n = C_n \times \frac{\sqrt{3}}{4}\,U_{n+1}^2

3$a_{n+1}-a_n = 3 \times 4^{n-1} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{1}{3^{2n}}

3$\fbox{ a_{n+1}-a_n = \frac{4^{n-2}\,\sqrt{3}}{3^{2n-1}} }

Sauf erreur.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 12:38

Merci, mais j'ai vu sur d'autres topics que je devais trouver (33/16)*(4/9)n
Peut -on simplifier ce que tu as trouvé pour arriver à ce résultat?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 13:54

Oui. A toi de faire le calcul.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 14:06

Oui mais en fait je n'arrive pas à trouver

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 14:10

3$a_{n+1}-a_n = \frac{4^{n-2}\,\sqrt{3}}{3^{2n-1}}

On multiplie numérateur et dénominateur par 3 :
3$a_{n+1}-a_n = \frac{3\times 4^{n-2}\times \sqrt{3}}{3^{2n}}

Tu sais que 3^{2n}=(3^2)^n=9^n, donc :
3$a_{n+1}-a_n = \frac{3\times 4^{n-2}\times \sqrt{3}}{9^n}

A toi de conclure.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 14:42


an+1-an= 3*4n-2 * 3 / 9n

      = 3*4n * 3 / 16*9n
      = 33/16 * 4/9n

c'est correct ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 14:45

Tu as oubliés les parenthèses autour de 4/9 dans la dernière ligne. Sinon, cela me semble correct.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 14:50

Merci
Comment dois je faire pour la question suivante.
Est ce que je dois utiliser la somme des termes d'une suite géométrique pour une des deux façons ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 14:59

Oui.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 15:05

Ok
Mais je ne comprends pas comment je fais pour remplacer mes termes dans ma formule...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 15:11

Montres tes calculs...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 16:42

3.c. Première manière

Les termes se simplifient deux à deux :

3$(a_n-a_{n-1}) + (a_{n-1}-a_{n-2}) + ... + (a_3-a_2) + (a_2-a_1) = \fbox{a_n-a_1}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 04-03-11 à 16:56

3.c. Deuxième manière

On utilise le résultat de 3.b.

3$(a_n-a_{n-1}) + (a_{n-1}-a_{n-2}) + ... + (a_3-a_2) + (a_2-a_1)

3$= \frac{3\sqrt{3}}{16}\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} + \frac{3\sqrt{3}}{16}\left(\frac{4}{9}\right)^{n-2} + ... + \frac{3\sqrt{3}}{16}\left(\frac{4}{9}\right)^{2} + \frac{3\sqrt{3}}{16}\left(\frac{4}{9}\right)^{1}

3$=\frac{3\sqrt{3}}{16} \, \frac{4}{9}\, \left(\, 1 + \frac{4}{9} + ... + \left(\frac{4}{9}\right)^{n-2} \,\right)

Reconnais la somme des termes d'une suite géométrique et continue.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 10:47

Bonjour, merci pour ta réponse,

pour la deuxième manière, je trouve:
= 33/16 * 4/9 * [1-(4/9)n /(1-4/9)] + 3/4

C'est bon?

J'en conclus donc que an=33/16 * 4/9 * [1-(4/9)n-1 /(1-4/9)] + 3/4

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 10:52

Dans la première ligne de calcul de ton message, l'exposant devrait être n-1 et non n.

La dernière ligne semble juste, mais elle reste à simplifier.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 11:16

3/12 *  [1-(4/9)n-1 /(1-4/9)] + 3/4

Faut -il simplifier encore plus?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 15:50

Occupe-toi de 1-4/9

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 18:56

D'accord :
3/12 *  [1-(4/9)n-1 /5/9] + 3/4

Donc a50=0.69 avec ce calcul

C'est ça ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 18:59

Peux-tu présenter sous forme propre 1/12/5/9 ?
J'ai l'impression de me répéter...

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 19:27

Que voulez-vous dire par "sous forme propre" ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 19:29

Tu trouves, si j'ai bien compris :
3$a_n=\sqrt{3}\left(\frac{1}{12}\times\frac{1}{5/9}\right)\left(1-\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}
Simplifie la première parenthèse.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 05-03-11 à 19:40

pour la 1ere parenthèse : 33/20
Donc an=33/20 *( 1-4/9n-1) +3/4

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dm flocon de koch 06-03-11 à 07:52

Tu as encore oublié les parenthèses autour de 4/9. Sinon, cela semble juste.

Posté par
chupsre : Dm flocon de koch 06-03-11 à 10:26

Ok, merci beaucoup pour votre aide


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