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DM Maths 1S (Parabole & Tangente)
Bonjour,
alors, mon professeur nous a donné un DM pour Lundi sur les Paraboles et les Tangentes qu'on a encore jamais étudiées ..
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On se propose de démontrer qu'une droite D est tangente à une parabole X si, et seulement si, D coupe C en deux points confondus (ou: un point double). On admettra qu'on ne restreint pas la généralité (quitte à faire un changement de repère) en prenant y=ax² (a different de 0) pour équation de C dans un repère (O,i,j)
1. Soit M(x,y) un point de C. Formez une équation cartésienne de la tangente D à C en M et vérifiez que l'équation qui donne les abcisses éventuelles des points communs à C et D admet x pour racine double: on dit que l'intersection de X et D est constituée par le point double M (ou encore: par deux points confondus en M).
2 Soit D une droite d'équation cartésienne y=px+q
a. Démontrez que D coupe C en deux points confondus en I si, et seulement si, q=-p²/4a. Trouvez les coordonnées de I.
b. Formez une équation cartésienne de la tangente I à C; vérifiez que cette tangente est D.
3. Soit D une droite d'équation x=k (k appartient à R)
a. D peut-elle couper X en deux points confondus?
b. D peut-elle être tangente à C?
4. Concluez.
5. Application. Trouvez les équation cartésiennes y=ax²+bx+c des paraboles C' et C'' qui passent par les points A(0,6); B(1,3), et qui sont tangentes à la droite L d'quation y=2x-3. Tracez C' et C'' après avoir précisé leurs points de contact avec L.
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Je bloque déjà depuis la toute première question..
Merci d'avance.
bonjour1)équation de la tangente à C en M(x,y) :comme M est sur la parabole ses coordonnées sont (x,y=ax2)
la tangente en M à C a pour équationY-ax2=2ax(X-x) soit Y=2axX-ax2
on te demande de vérifier que C et sa tangente en M n'ont pas d'autre point en commun
si un point (X,Y)est sur C et la tangente Y=aX2=2axX-ax2=>aX2-2axX +ax2=0
a(X2-2x+x2)=0
a(X-x)2=0 a n'est pas nul donc (X-x)2=0 et X=x donc c'est le point M
2)
tu ecris que si m(x,y) est un point commun à D età C ses coordonnées vérifient le système
y=ax2
y=px+q donc l'abscisse d'un point commun est solution de l'équation ax2-px-q=0
cette éqution du second dégré a une solution double si et seulement si sondiscriminant est nul ce qui donne p2+4aq=0
Tout d'abord, merci de votre aide veleda..
Je n'ai pas encore très bien compris la méthode utilisée mais je vais y réfléchir dessus..
Je redonnerais des nouvelles un peu plus tard..
Merci encore ^^
Je suis désolé, la première phrase de l'énoncé est:
On se propose de démontrer qu'une droite D est tangente à une parabole C(et non X) si, et seulement si, D coupe C en deux points confondus (ou: un point double).
Bonjour, alors je viens de lire l'énoncé et la réponse de veleda, et je ne comprends pas comment vous êtes passé de
- M(x,ax²)
à
- Y-ax² = 2ax(X-x)
En fait je n'ai toujours pas étudié les dérivations, alors je me demandais d'où venait ce fameux "X" et si le 2ax(X-x) faisait parti des propriétés qui concernent les dérivations...
une équation de la tangente à la courbe représentant f: x
f(x) en un point x0[sub],y0[/sub]=f(x0) si la fonction est dérivable en x0 est Y-y0=f'(x[0/sub])(X-x[sub]0 c'est ce que j'ai utilisé
excuses moi je ne suis pas championne du latex et je n'ai pas pris le temps de faire un aperçu je recommence
tangente en(x0,y0=f(x0))
Y-y0=f'(x0)(X-x0)
Donc, Dois je en conclure qu'on peut "sortir" Y-ax2=2ax(X-x)
sans rien justifier ? Puisque la veleda même le dis "si la fonction est dérivable" et comme c'est justifié nul part...
Il n'y aurait-il pas un autre moyen de trouver cette équation ?
Je me suis laissé entendre que dans cet exercice, il faut étudier cette tangente comme on le faisait avant la découverte du calcul différentiel sans dérivation..
Peut-être pouvez-vous m'éclairer dans cette voie ?
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