Bonjour

le mieux est de tracer le cercle et le point M, (qui seront donc fixes. au besoin on peut insister en les déclarant "fixes" dans leur propriété)
de choisir alors un point A sur le cercle (point A variable "sur objet")
de tracer alors la droite (AM) puis son "autre intersection" B
etc
déplacer alors A pour observer ce qui est demandé

Pour GeoGebra c'est bon.
Sinon j'ai compris que B est le projeté orthogonal de A' sur (d) et que le triangle AA'B est rectangle en B puisqu'il est inscrit dans le cercle. On a donc des produits scalaires égaux mais il n'y a pas Chasles et il n'y a aucune preuve calculatoire...

si bien sûr
MA.MB = MA(MA'+A'B) = etc

Ah oui...
Donc on MA(MA'+A'B)=MA*MA' puisque MA*A'B=0 étant donné que ces vecteurs sont orthogonaux. C'est ça ?

Puis en question 3) on a :
En déduire que le produit scalaire de MA*MB=MO^2-R^2 (R étant le rayon du cercle).
Donc MA*MB=MA*MA'
=(MO+OA)(MO+OB)
=(MO+OA)(MO-OA)
=MO^2-OA^2
=MO^2-R^2

1) toujours pas répondu ...

2) OK c'est bien ça.
je ne comprends pas
fautes de frappe ou raisonnement vicié ?

3) MA*MB=MA*MA'
=(MO+OA)(MO+OA') (B n'a plus rien à faire là dedans)
=(MO+OA)(MO-OA) oui, et la suite ok aussi donc

"je ne comprends pas" c'est pour la 3) (le "3" mal placé)

Raisonnement vicié mais j'ai compris maintenant, je m'étais embrouillée.

J'ai en question 4):
Déterminer suivant la position de M, le signe de la puissance de M par rapport à C. Démontrer la conjecture.

Je pense que quand M est sur le cercle la puissance est égale à 0 et quand M est en dehors ou à l'intérieur du cercle la puissance est positive. Mais je n'ai aucune idée de comment démontrer  cette conjecture.

quand M est en dehors ou à l'intérieur du cercle la puissance est positive

faux

MA.MB = MO^2-R^2 que penses tu du signe de ça selon la position de M (la distance de M au centre du cercle) ?

(et pour la conjecture à démontrer, comme tu n'as pas répondu correctement à la question 1, on ne sait pas quelle serait ta conjecture, ta première était fausse de toute façon car ta 1ère figure était mauvaise)

1) c'était on constate que MA*MB est constant

4) Ah oui, effectivement MO plus petit que R donc c'est négatif.
Il faut que je démontre que PC(M)=0 quand c'est sur le cercle puis que c'est plus petit que 0 quand c'est dans le cercle et que c'est plus grand que 0 quand c'est à l'extérieur du cercle. Mais je ne vois pas comment faire...

PC(M) ???
où est ce défini ici dans cet énoncé ??
si on appelle PC(M) l'expression MO² - R²
c'est à dire la valeur du produit scalaire dont on parle au début MA.MB, oui.

c'est immédiat avec la formule obtenue MO² - R²

MO c'est la distance de M au centre du cercle (dit)

si MO < R cette expression est < 0
si MO = R cette expression est nulle
et si MO > R elle est positive.
(définition d'un cercle et des points intérieurs et extérieurs à un cercle)
c'est tout.

et quant à démontrer la conjecture, eh bien cette expression MO² - R² encore elle (c'est pour ça qu'on t'a fait calculer tout ça avec A' etc) ne dépend pas de la droite choisie
elle ne dépend que de M et du cercle

et c'est pour ça que on la note comme quelque chose qui ne dépend que de M et du cercle :
PC(M) "puissance de M par rapport au cercle C"

Ok merci beaucoup