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DM Produit Scalaire
Bonsoir à tous,
J'ai un DM de maths à rendre. J'ai fait les exercices mais j'aurai souhaité une correction pour la rédaction.
Je vais faire exercice par exercice en vous donnant l'énoncé du sujet puis ma réponse.
Exercice n°1 :
Sujet :
ABCD est un rectangle tel que : AD = 4 x AB
Où placer le point M sur le segment [AD] pour que les droites (BM) et (AC) soient perpendiculaires ? Justifier la réponse.
Ma réponse :
ABCD est un rectangle donc AD = BC et AB = CD = ¼ AD
Si (BM) et (AC) sont perpendiculaires alors les vecteurs BM et AC sont orthogonaux donc BM . AC = 0.
On calcule BM . AC = 0 :
BM . AC = (BA + AM) . (AD + DC) et BM . AC = 0
Alors : (BA + AM) . (AD + DC) = 0
BA . AD + BA . DC + AM . AD + AM . DC = 0
Les vecteurs BA et AD sont orthogonaux donc BA . AD = 0
Les vecteurs BA et DC sont colinéaires et de sens contraire donc BA . DC = -BA x DC
= -AB x AB = - ¼ AD x ¼ AD
Les vecteurs AM et AD sont colinéaires et de même sens donc AM . AD = AM x AD
Les vecteurs AM et DC sont orthogonaux donc AM . DC = 0
On obtient :
- ¼ AD x ¼ AD + 0 + AM x AD + 0 = 0
- 1/16 AD2 + AM x AD = 0
AM x AD = 1/16 AD
AM = (1/16 x AD x AD) / AD
AM = 1/16 AD
Exercice n°2 :
Sujet :
Déterminer la valeur que doit prendre a pour que les u et v soient orthogonaux
u (a ; a - 8) et v (a - 3 . 1 )
Ma réponse :
Si deux vecteurs u et v sont orthogonaux alors u . v = 0
On calcule u . v = 0
u . v = xx' + yy' et u . v = 0
Donc : xx' + yy'= 0
a (a - 3) + 1 (a - 8) = 0
a2 - 3a + a - 8 = 0
a2 - 2a - 8 = 0
On utilise le discriminant du trinôme du second degré trouvé pour déterminer les valeurs que doit prendre a pour que a2 - 2a- 8 = 0.
Δ = 36 x1 = - 2 et x2= 4
Exercice n°3 :
Sujet :
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i ; j) d'unité 1 cm ou 1 grand carreau.
On considère les points A(2 ; - 3) , B(-4 ; 0) et C(1 ; 5).
Le but de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.
1) a) Faire une figure que l'on complétera.
b) Calculer la distance AB.
2) a) Déterminer une équation cartésienne de (d), la hauteur issue de C dans le triangle ABC.
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
c) Calculer les coordonnées de H, le point d'intersection de (d) et (AB).
d) Calculer la distance CH.
3) Calculer l'aire du triangle ABC.
Ma réponse :
1) a) J'ai fait la figure sur mon brouillon.
b) AB = √(xB - xA)2 + (yB - yA)2
AB = √(- 4 - 2)2 + (0 + 3)2
AB = √(- 6) 2 + 32
AB = √36 + 9
AB = √45 cm
2) a) On a (d) la hauteur issue de C dans le tringle ABC.
Alors la droite (d) est perpendiculaire à la droite (AB).
Donc le vecteur AB est un vecteur normal de (d). Ses coordonnées correspondent à
(a ; b) d'une équation cartésienne de (d) et vecteur AB (- 6 ; 3).
Donc (d) : - 6x + 3y + c = 0
Avec C(1 ;5) : - 6 x 1 + 3 x 5 + c = 0
- 6 + 15 + c = 0
9 + c = 0
c = - 9
Donc la droite (d) a pour équation cartésienne : - 6x + 3y - 9 = 0.
b) Le vecteur Ab est un vecteur directeur de la droite (AB). Ses coordonnées correspondent à (- b ; a) d'une équation cartésienne de (AB) et vecteur AB(- 6 ; 3).
Donc (d) : 3x + 6y + c = 0
Avec B(- 4 ; 0) : 3 x (- 4) + 6 x 0 + c = 0
- 12 + c = 0
c = 12
Donc la droite (AB) a pour équation cartésienne : 3x + 6y + 12 = 0.
c) Si les droites (AB) et (d) ont un point d'intersection H(x ;y) alors on obtient le système suivant :
- 6x + 3y - 9 = 0 ⇔ 3y = 6x +9 ⇔ y = 2x + 3 (L1)
3x + 6y + 12 = 0 ⇔ 6y = 3x + 12 ⇔ y = - ½ x - 2 (L2)
Dans la première ligne on remplace y par - ½ x - 2, ce qui donne :
- ½ x - 2 = 2x + 3
- 5/3 x - 5 = 0
- 5/3 x = 5
x = -2
On remplace x par - 2 dans la 2e ligne :
y = - ½ x (- 2) - 2
y = 1 - 2
y = - 1
Le point H a pour coordonnées (- 2 ; - 1).
d) CH = √(xH - xC)2 + (yH - yC)2
CH = √(- 2 - 1)2 + (- 1 - 5)2
CH = √(- 3)2 + (- 6)2
CH = √9 + 36
CH = √45 cm
3. AABC = (b x h) / 2
AABC = (√45 x √45) / 2
AABC = 45 / 2
AABC = 22,5 cm
Je vous remercie pour le temps consacré à mon sujet et l'aide apportée.
Amlm33
Bonjour,
D'après ce que je lis, pour prouver que quelque chose est vrai,
tu pars du principe que c'est vrai...
sinon, belle rédaction,
très scolaire avec intervention des formules du cours (attention ,lors du bac, aux variables non déclarées...)
Annoncer ce qu'on voudrait à l'arrivée est une chose, se baser dessus en est une autre...
Manque conclusion question 1 , question 2
une aire est en cm² , si les dimensions sont en cm
la réduction des racines carrées a été vue en 3ème pour le DNB
les équations de droites doivent être aussi réduites
très bon travail
Bonsoir,
Je vous remercie de votre lecture et de vos remarques.
En revanche, je ne comprends pas ce que sont "des variables non déclarées". Pouvez-vous, SVP, me les définir et me donner un exemple dans mes xesercices, SVP ?
De plus, quand vous dites "Annoncer ce qu'on voudrait à l'arrivée est une chose, se baser dessus en est une autre.." : je ne dois pas poser "si....., alors cela signifie ...." ? Comment dois-je alors l'énoncer ?
Merci de votre aide.
Amlm33
les xA, xB, xH, xC, les 
= b²-4ac; les xx'+yy' ...
tout ça ce sont des formules de cours qui n'ont pas lieu d'être , qui font appel à des variables non définies
effectue tes calculs en détail mais sans ces formules
tu as écrit, dès le début :
Si (BM) et (AC) sont perpendiculaires alors les vecteurs BM et AC sont orthogonaux donc BM . AC = 0.
tu nous fais en fait un rappel (maladroit) du cours... ah non tu persistes :
On calcule BM . AC = 0 :
ah bon ? on calcule un truc dont on connait le résultat ?
45= 3
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