Charlette
Mon sujet ne sait pas écrit correctement :
1) u.v=1/4(||u+v||carre - ||u-v||carre)
2a) AB.BC= 1/4(ACcarre - ||AB-CB||carre)

Bonjour,
1) Développe (u + v)² et (u - v)² .

J'obtiens :
(U+v)^2 = u^2 + 2uv+v^2
(U-v)^2= u^2-2uv+v^2
Je vois pas bien en quoi ça m'aide

Retranche l'une de l'autre, membre à membre, ces deux égalités.

Je comprends pas, vous entendez quoi par « retranche »?

Exemple :
On a deux égalités  

a = b + c   (1)
d = e + f   (2)

On peut en déduire une troisième en retranchant membre à membre l'égalité (2) de l'égalité (1) :

a - d = b + c - (e + f) .

bonjour,

mais Charlette n'a peut être tout simplement pas tilté sur

||u+v||² = (u+v)², u et v étant des vecteurs...

Bonjour,
Il me semble que c'est la même chose que se soit des vecteurs ou non?
Autrement en retranchant j'ai obtenu :
(u+v)^2-(u-v)^2 = u^2+2uv+v^2 - (u^2-2uv+v^2)
Je ne pense pas avoir obtenu la bonne réponse, ça me parait un peu bizarre...

c'était pour souligner que le (u+v)² que tu calcules
c'est le ||u+v||² de l'énoncé ...

en tout cas il faut maintenant simplifier ...

Ce que j'ai obtenu en retranchant était correct ? Si oui c'est cette équation qu'il faut que je simplifie je suppose ?

si ce n'était pas correct je l'aurais dit ..

oui il faut que tu simplifies (réduise) tout ça
u² - u² ça disparaît etc.
attention aux signes

J'ai obtenu en simplifiant :
4uv=u^2+2uv+v^2-(u^2-2uv+v^2)
4uv=-u^2+4uv+v^2 -> identité remarque
4uv=(||u+v||^2-||u+v||^2)
uv =1/4(||u+v||-||u+v||^2)

Et j'arrive du coup au résultat demandé

calculs incompréhensibles, faux, qui arrivent "par hasard" au bon résultat !
tu avais calculé
(u+v)² - (u-v)² = u²+2uv+v² -(u²-2uv+v²)
ça donne :
(u+v)² - (u-v)² = u² + 2uv + v² - u² + 2uv - v² (suppression des parenthèses, règle des signes)
= 4uv rien que en simplifiant et c'est tout.

ce que toi tu écris :

4uv= ... déja là c'est faux
on ne part pas de l'égalité à démontrer pour la démontrer
c'est une grave erreur de logique (pour prouver un résultat on ne commence pas par écrire qu'il est vrai !)

on part de l'un de ses membres avec comme objectif d'arriver à l'autre.

4uv=-u^2+4uv+v^2 -> identité remarque faux tu prétends que u = v ??

à la limite si on part de 4uv, tu peux écrire :

4uv = u²-u² + 4uv + v² - v² (écriture artificielle pour faire intervenir u² et v² sans que ça change quoi que ce soit, donc égalité vraie)

4uv = u² + 2uv + v² - u² + 2uv - v² réorganisation des termes pour faire apparaitre des identités remarquables
4uv = u² + 2uv + v² - (u² - 2uv+ v²) car les égalités remarquables sont avec u² et pas -u²
4uv = (u+v)² - (u-v)² = ||u+v||² - ||u-v||² terminé

mais un tel calcul est particulièrement artificiel par rapport au calcul dans l'autre sens
:
partir de (u+v)² - (u-v)², le développer/réduire pour aboutir à 4uv !

Merci beaucoup pour votre aide!
Concernant la question 2a) que faut il que je fasse pour démontrer que AB.BC=1/4(AC^2-||AB-CB||^2)
Sachant qu'il nous est demandé de nous aider de la question 1) mais je ne vois pas trop le rapport

l'énoncé est faux
AB-CB = AB+BC = AC (vecteurs)
et AC² - AC² = 0 !!

il devrait être :
AB.BC = 1/4(AC² -||AB-BC||²)
c'est directement la formule de la question d'avant car AC = AB+BC

ou ce qui revient au même :
AB.BC = 1/4(AC² -||AB + CB||²)

pour terminer la question : Chasles encore et BC = AD car parallélogramme, permettent de dire ce qu'est "AB - BC"

J'ai rien compris à ce que vous venez d'expliquer

Chasles et c'est tout
et AB.BC c'est u.v avec d'autre noms

quand on démontre une formule avec u et v elle est valable quels que soient les vecteurs u et v
par exemple u =AB et v = BC :

u.v = 1/4(||u+v||² - ||u-v||²)
AB.BC = 1/4(||AB+BC||² - ||AB-BC||²)

Ahhh d'accord! Donc il me suffit de développer et je tomberais sur le résultat attendu ?

si tu considères que écrire avec Chasles que AB+BC = AC s'appelle "développer, oui (et rien de plus !! QUE uniquement ça)
tu tomberas sur le résultar "attendu", mais certainement pas sur

Oui, j'ai compris merci!
Je vois enfin le bout de cet exercice, il me reste juste une question.
2b) En déduire AB.BC
Sachant que j'ai AC=7 et BD=4

avec la bonne formule pour la question 2a) AB.BC = 1/4(AC² -||AB-BC||²)

il suffit de

Je n'ai pas compris comment je peux trouver AB.BC à partir des longueurs des diagonales (AC=7 et BD=4). J'ai aussi du mal à comprendre ce que vient faire là Chasles..

simple remplacement :


est Chasles, ce qui donne :


la moitié du boulot est faite
reste à évaluer pour la 2b)

et donc (déja dit) :
car parallélogramme.
donc ...

et se simplifie en utilisant la relation de Chasles
(et doit donner un truc avec BD vu que l'énoncé donne " BD =4")

AB-BC=AB-AD
AB-BC=-BA-AD
AB-BC=-BD?

si tu veux

au plus simple c'était (avec les points sur les i)
AB-BC = AB-AD = AB+DA = DA+AB = DB

et de toute façon

et donc

Euhhh alors là, aucune idée..

tu sais lire ce que tu as écrit toi même ???
ou tu alignes des lignes de calcul sans penser ?

on en est là :
et on en est là parce que on écrit toujours et obligatoirement explicitement à quoi est égal ce qu'on calcule, et pas un vague truc au milieu d'une ligne.



et on vient de monter que que

alors

faut pas pousser !!!
remplacer des trucs dans une formule par des machins c'est niveau 5ème !
que ces trucs soient des x, des a, des R, ou comme ici des expressions avec des vecteurs ne change rien à la base des bases de tous les calculs littéraux !

Donc AB.BC=1/4(AC^2-BD^2)?
J'avais mal compris la question, pour moi il fallait obligatoirement trouvé un chiffre comme résultat style AB.BC =10

bein oui et c'est pas fini : AC=7 et BD=4

(j'ai ecrit en LaTeX pour bien faire la différence visible entre le vecteur AC et la mesure du segment AC ...
la dernière formule est le produit scalaire des vecteurs AB et BC en fonction des mesures des segments AC et BD !
qui sont données dans l'énoncé, ces mesures.

donc on obtient bien une valeur numérique à la fin (à calculer numériquement) !

D'accord je comprends tout maintenant (je comprends vite quand on m'explique lentement)
J'ai juste à remplacer soit :
AB.BC=1/4(7^2-4^2) et j'obtiens mon résultat

oui.

nota : il existe une infinité de parallélogrammes qui ont leurs diagonales égales à 4 et 7
mais dans tous ces parallélogrammes, le produit scalaire en question aura cette même valeur que tu auras calculée.
bien que les mesures des côtés AB et BC ainsi que l'angle soient différents.
et on sait que l'angle A sera forcément aigu vu le signe de ce produit scalaire
..

Mille mercis pour votre aide!