J'ai trouver la réponse au sujet . je la donne pour ceux que ça pourrait aider :


Attention : il n'y a pas de règles aussi simple pour le produit de deux fonctions. En effet, suivant le cas, le
produit de deux fonctions croissantes peut être une fonction croissante mais aussi une fonction décroissante. En
effet, considérons les fonctions définies sur  par ¦ : x ax et g : x a x3 . On sait que ¦ et g sont
croissantes sur . Or, la fonction produit ¦g est définie sur  par ¦g(x) = x4 est (voir exemple 3 ci-dessus)
croissante sur [0 ; +¥[ et décroissante sur ]-¥ ; 0]...

Exercice : soient f et g deux fonctions positives et croissantes sur un intervalle I.
Démontrer que la fonction
produit fg est croissante sur I.

Solution : soient x et y dans I tels que x < y.

Comme f et g sont croissantes et positives sur I on a :
0 < f(x) < f(y) [1]
et
0 < g(x) < g(y) [2]

Multiplions [1] par g(x) (qui est une quantité positive) :

0 < f(x)g(x) < f(y)g(x) [3]

Multiplions [2] par ¦(y) (qui est une quantité positive) :

0 < g(x)f(y) < f(y)g(y) [4]

En utilisant la transitivité des inégalités, [3] et [4] donnent :

0 < f(x)g(x) < f(y)g(y)

C'est-à-dire : 0 < fg(x) < fg(y)

Ce qui prouve que la fonction fg est croissante sur I.


Et on tient le même résonnement pour f et g décroissantes .

Ne tenez pas compte des 9 premières lignes j'ai oublié de les réécrire .