Bonjour,

1) Supposons que soit un nombre rationnel positif, comment peut-on écrire ?

On peut écrire Un comme une fraction, mais je n'ai pas l'expression de Un. Pour ça je dois montrer que (Un) est artithmétique ou géométrique?

Non non. Ton idée de mettre sous forme de fraction est bonne !

Dire qu'un nombre x est rationnel signifie qu'il existe un entier naturel p et un entier relatif q non nul tels que

Maintenant, tu prends n, comme u_n est un rationnel comment s'écrit ?
Qu'en déduis-tu de l'écriture de grâce à la formule qui définie ta suite   ?

heu... Un=p/n? Donc Un+1=p/n+1

Non pas tout à fait.
Reprenons la question 1) :
Soit n dans N, supposons soit un rationnel.
Alors il existe tels que , et comme on nous dit que est positif, on a alors :
avec .
D'accord ?

D'accord...

Je n'ai été assez clair peut-etre ?
Tu veux que je réexplique un peu mieux ?

Je veux bien oui stp!

Bien, alors par définition, on dit qu'un nombre réel x est un rationnel si on peut l'écrire sous la forme p/q , ou p est un entier relatif ( c'est à dire p peut etre égale à ...,-5,-4,-3,...,5,6,7,.. ) et q est un entier naturel non nul ( c'est à dire q peut etre 1,2,3,4...).

C'est pas très compliqué en gros les rationnels sont les fractions : par exemple le nombre est un nombre rationnel, il s'écrit bien sous la forme p/q ou p=10 et q=3.
Ca c'est compris ?

Dans ta question, on nous dit, si _n est un rationnel positif , montrer que u_n+1 est encore rationnel.
Donc Si u_n est un rationnel on peut l'écrire sous la forme p/q, et comme il est positif, on a obligatoirement p et q positif.
Maintenant il faut montrer que u_n+1 est aussi un rationnel.
Sachant que , et qu'on a supposé u_n rationnel, peux tu montrer que u_n+1 est encore un rationnel ?

Oui puisque les termes d'une suite se suivent (je ne sais pas trop comment le dire mais c'est comme avec les limites non? lim(Un)=lim(Un+1))

Il s'agit de montrer de maniere certaine que u_n+1 est rationnel.
On ne peut pas se contenter de dire que les termes se suivent ^^
En effet ils se suivent, mais pourquoi devraient-ils etre tous pareils ?

Je te propose de remplacer u_n sous sa forme rationnel et de montrer que u_n+1 est rationnel.

Mais pour remplacer Un par sa forme rationnelle, je dois avoir l'expression de (Un). Non?

Non, en fait dans la question il faut voir les choses comme si on prenait un n, n'importe lequel et on le touche plus, ensuite on suppose u_n rationnel ( le u_n défini par le n qu'on choisit). On veut alors juste montrer que le terme suivant sera aussi rationnel.

Ca revient à prendre un terme de la suite au hasard, et de montrer que son successeur donné par la formule a la meme propriété que lui.

Ah ok! Il suffit par exemple que je calcule U1 et U2 pour répondre à la question?

Non ! Prendre U1 ou U2 c'est faire un choix dans les termes. Montrer que si U1 est rationnel => U2 rationnel n'implique rien d'autre par rapport au terme suivant.

Par contre si je dis, je prends le n-ieme terme, et que j'ai mon implication alors on saura que si on prend n'importe quel terme ( on remplace n par un nombre ) le suivant sera rationnel.
ok ?

Ok.Je vais voir ça. Merci en tout cas, pour aujourd'hui

De rien.
En fait l'idée de généraliser au maximum la chose.
C'est pour ca, on se donne un terme, le n-ieme, u_n. Si u_n est rationnel positif alors u_n=p/q.
Donc u_n+1=1+1/(1+u_n)=1+1/(1+p/q) = ... et si tu arrives à montrer que un+1

Oups ...
Si tu arrives à montrer que u_n+1=p'/q' alors c'est gagné, ca veut dire qu'il est rationnel !
Voilà en gros l'idée de la démonstration.

Bonne soirée