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DM sur les produits scalaires
Bonjour, j'ai commencé mon devoir maison sur les produits scalaire mais je bloque dès le début alors que je m'aide de mon cours pourriez vous m'aider ?
ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et AD = 2.
E est le point de [DC] tel que DE = 1.
(AE) et (BD° se coupent en H.
M et N sont les milieux de [AD] et [AB].
(Il y a une figure à côté)
Voici les questions:
1a) Décomposer AE (vecteur) et BD (vecteur) à l'aide de la relation de Chasles, puis calculer AE(vecteur) . BD(vecteur).
b) Que peut-on en conclure pour les droites (AE) et (BD) ?
2a) En calculant de 2 manières le produit scalaire BA(vecteur) . BD(vecteur), trouver la longueur BH.
b) En déduire que AH = 4/5 (ou 45/5)
3a) Calculer HA(vecteur) + HB(vecteur) en fonction de HN(vecteur)
b) En déduire le produit scalaire HN(vecteur) . HA(vecteur)
c) Justifier que HN = 2. Calculer cos AHN (angle). En déduire ne valeur approchée de AHN(angle) au degré près.
J'ai réussi à trouver dans le 1) que AE= AD + DE et BD= BC + CD. Puis j'ai calculé que AE . BD = 0 donc je peux en conclure que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.
Je suis bloqué à la question 2a), j'ai calculé en premier temps BA . BD = ||BA|| × ||BD|| × cos B
J'ai calculé ||BD|| grâce à pythagore, j'ai trouvé que ||BD||= racine de 20. Puis j'ai remplacé cos B par adjacent/hypothenuse donc par AB/BD, je trouve finalement que BA . BD = 16 mais le problème c'est que quand j'ai calculé d'une deuxième façon avec BA . BD = 1/2[(||AB||+||BD||)²- ||AB||² - ||BD||²] je trouve que BA . BD = 8 × racine de 5.
Je ne pense pas qu'on puisse faire les questions suivante sans que je termine celle-ci, pouvez vous m'aider à trouver l'erreur ? ( 16 =/= 8 × racine de 5)
bonjour
sauf erreur je pense que tu as dû prendre dans ta formule
au lieu de , non ?
par ailleurs il me semble que la deuxième façon à utiliser, c'est plutôt
, ce qui permet d'en déduire BH
pour la suite, je n'ai pas fait...
b) En déduire que AH = 4/5 (ou 45/5) .. (???)
Bonjour, merci pour vos réponses.
J'ai calculé à la calculatrice ( ||BA|| + ||BD|| )² car je ne savais pas calculé ( 4+ racine de 20 )²... Il y a donc peut-être eu une erreur de calcul.
Pour trouver que BA.BD = BD × BH faut-il utiliser le projet orthogonal ? (En utilisant le fait que j'ai prouvé auparavant que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires)
Oui, la relation BA.BD = BD.BH = BD
BH s'établit par projection orthogonale.
Tu peux calculer BA.BD de cette même manière, mais d'une autre façon.
En utilisant BA.BD = BD × BH, j'ai trouvé que BH = racine de 20 / 16, ce qui fait 1/5.
Pour calculer AH, j'utilise le théorème de Pythagore, donc AH = racine de (AB² - BH²) ce qui donne sur la calculatrice AH= racine de 399/25 (il y a peut-être une erreur dans l'énoncé, notre professeur en a déjà faite).
Pour exprimer HN en fonction de HA et HB, je propose d'utiliser la formule de la médiane, je trouve que HA.HB = HN² - AB²/4, je ne sais pas par contre où avancer a partir d'ici, puisque que HA.HB = 0.
Bonjour,
J'ai calculé à la calculatrice ( ||BA|| + ||BD|| )²
BA . BD = 1/2[(||AB||+||BD||)²- ||AB||² - ||BD||²]
formule fausse comme le dit carita un point c'est tout.
(tu as mal lu ton cours)
suivre Priam
Je ne pense en fait pas utiliser la bonne formule, puisque HA.HB =0 du coup je perd de mon équation HA et HB, alors que je suis censé les utiliser pour exprimer HN... Y a-t-il une autre formule qui puisse me permettre de les exprimer ?
en attendant le retour de Priam,
HA.HB =0 .... et alors ? au contraire, ça nous arrange pour trouver HN (en 3c)
En utilisant BA.BD = BD × BH, j'ai trouvé que BH = racine de 20 / 16, ce qui fait 1/5. ---- faux
Pour calculer AH, j'utilise le théorème de Pythagore,.... ce qui donne sur la calculatrice AH= racine de 399/25 ---- à reprendre avec la valeur correcte de BH.
j'en profite pour rectifier l'énoncé (la racine carrée n'a pas résisté au copier-coller)
2b) En déduire que AH = 4/
5 (ou 4(5)/5)
tout ce que tu écris est quasi incompréhensible car :
- aucune différence d'écriture entre un vecteur et un segment/mesure
- oubli systématique des racines carrées et d'éventuelles parenthèses
dès le départ par un "copier coller pas relu" (de caractères pas copiables qu'on doit ajouter soi-même à la main !)
b) En déduire que AH = 4/5 (ou 45/5)
c'est : b) En déduire que AH = 4/
5 (ou (45)/5)
En utilisant BA.BD = BD × BH, j'ai trouvé que BH = racine de 20 / 16, ce qui fait 1/5
n'importe quoi
vectBA.vectBD = BD
BH oui
et vectBA.vectBD = BA² = 16
et on sait que BD = 2
5 (question précédente, Pythagore)
donc 16 = 2
5 BH
et donc BH = 16/(2
5) = 8/5
Pour calculer AH, j'utilise le théorème de Pythagore, donc AH = racine de (AB² - BH²)
pourquoi pas ... (ce n'est pas le plus simple)
AH² = 16 - (8/
5)² = 16 - 64/5 = (80-64)/5 = 16/5
et donc AH = 4/
5
on se demande bien quel calcul tordu (pas besoin de calculette pour faire ça !!!! surtout si on tape sur les mauvaises touches ...) tu as pu faire pour obtenir ton "racine de 399/25"
quant à l'utilisation du théorème de la médiane (pourquoi pas ...) pour calculer HN :
tu as donc, puisque comme tu l'as dit vectHA.vectHB= 0 :
0 = HN² - AB²/4,
AB est connu, donc ça donne HN
(si on sait faire des calculs ...)
J'ai déjà fais les anciens calculs grâce aux derniers messages, je suis à la question 3)b) et j'ai déjà réussi à la 3)c), je suis désolé car je ne sais pas comment écrire les vecteurs (j'ai essayé de le faire dans mon premier message mais moi-même je me perd à mélanger vecteurs et segments. Je vais essayer de me débrouiller par moi-même.
Si l'angle AHB est rectangle, est-ce que je peux affirmer que AHN (avec N centre du segment AB) vaut 45 degrés ?
je suis à la question 3)b) et j'ai déjà réussi à la 3)c)
??
tu dois forcément faire la 3b avant la 3c !
vu que tu as besoin du produit scalaire de la 3b pour calculer le cosinus dans la 3c ...
(ce n'est certainement pas 45° !! ce n'est pas parce qu'on a "coupé" l'angle de 90° en deux qu'on l'a coupé en deux angles égaux !)
pour écrire des vecteurs , au plus simple on écrit vAB pour le vecteur AB ...
pour écrire des racines carrées on prend le symbole (non modifiable) dans les symboles de l'ile :
sans oublier d'ajouter au besoin des parenthèses pour distinguer :
(3/4) de : (
3)/4 par exemple
Je pensais qu'on pouvait dire 45° puisque N se trouve au centre de AB, donc je pensais que l'angle était donc divisé par 2.
Et quand je disais que j'avais réussi la 3)c) je parlais de prouver que HN = 2. Que l'on peut faire à partir de la 3)a)
Je suis à la 3)b)
Je pensais calculer vHN . vHA = HN × HA × cos(AHN)
Même si on me demande dans la question suivante de calculer HN, je peux quand même le calculer, je connais HA et je pensais pouvoir calculer cos(AHN) en disant que AHN= 45° mais si j'ai bien compris cela est faux.
3.b) On demande de calculer le produit scalaire HN.HA en utilisant le résultat de la question 3.a).
Qu'as-tu trouvé pour cette dernière question ?
A la question 3.a), c'est l'expression, en fonction du vecteur HN, de la somme des vecteurs HA + HB . Il ne s'agit donc pas du produit scalaire HA.HB .
Ah oui, je n'avais pas remarqué...
Est-ce-que je peux reprendre mon ancienne formule pour trouver cette somme ou faut-il que je recommence avec une autre formule ?
3.a) Tu sais comment on construit la somme de deux vecteurs à l'aide d'un parallélogramme. Quel serait ici ce parallélogramme ?
On crée un point fictif qui fait 2 fois HN, on le nomme par exemple M, et alors HA + HB = HM = 2 HN c'est ça ?
Oui. Le parallélogramme est ici un rectangle, savoir AMBH. Tu peux maintenant répondre à la question 3.a).
Ah j'ai compris, donc vHA . vHN = vHA . (vHA +vHB)/2 ?
Ce qui donne HA²/2 + vHA . vHB, on sait que HA perpendiculaire à HB donc vHA . vHB =0.
vHA . vHN = HA²/2 = 4/2 = 2
Est ce que j'ai raison ?
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