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DM sur les suites. (1ereS)
Donc voila pour demain j'ai un DM de maths et je bloque sur les suites. J'aimerai pouvoir avoir de l'aide rapidement. Merci. Voici les exos:
EXO 1 :
On sait que U0=0 et U1=1 et Un+1=7Un+8Un-1
1)Montrez que la suite (Xn) def par Xn=U(n+1)+Un est une suite géométrique dont on précisera la raison.
En déduire Sn en fonction de n
2)On pose Vn=(-1)^n Un
et on considere Tn= Vn+1 - Vn
Exprimer Tn en fonction de Sn
3) Exprimer Vn puis Un en fonction de n ( on pourra calculer de 2 maniere la somme t0+...+tn-1)
déterminer la limite en +l'infini de (Un)/8^n
Exo 2:
On considere la suite Un def par
U0=1
Un+1=U0+2n+3
1)Etudiez la monotonie de la suite Un
2)a) Démontrer que, pour tt entier naturel n, Un>n^2
b)quel est la limite de la suite Un
3) Conjecturer une expression de Un, en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturer.
Bonjour,
Ton énoncé est ambigu :
Un+1=7Un+8Un-1 
(Un)+1 ou U(n+1) ?
(Un)-1 ou U(n-1) ?
De plus, merci de nous indiquer ce que tu as déjà fait, et cherché.
Nicolas
Il s'agit de U(n+1)= 7 Un + 8 U(n-1)
J'ai éssayer de chercher mais je ne comprends pas et j'aboutis à rien.
Merci d'avance de pouvoir m'aider car c'est pour demain
1) Il suffit de remplacer...
Xn = U(n+1) + Un
= [7Un + 8U(n-1)] + Un
= 8[Un + U(n-1)]
= 8 X(n-1)
Donc...
désolé tu as raison j'ai fait une erreur
Il s'agit de
Un+1=Un+2n+3
Est ce que tu peux m'aider ?
Malheureusement, je dois quitter l'
Je dois t'avouer que je ne suis pas convaincu que tu cherches. En effet :
Pour l'exercice 2, tu connais beaucoup de méthodes pour examiner la monotonie d'une suite ? La principale proposée par le cours est de regarder le signe de U(n+1)-U(n).
Dans ton cas, c'est plus que facile :
U(n+1)-Un=2n+3 positif !
Merci qd même , Mais c'est vrai que les premieres questions j'y suis arrivé.
C'est aprés que je m'embrouille , ds la question 2 de l'exo 1 et de meme pr l'exo 2
Bonjour
Tu as:
Un+1=7Un+8Un-1
Nicolas_75 a montré que Xn=8X(n-1)
donc Xn est une suite geometrique de raison 8 et de 1er terme X0=U1-U0=1
donc d'apres une formule de ton cours, tu as:
On pose Vn=(-1)^n Un
et on considere Tn= Vn+1 - Vn
donc
Or
donc
(sauf erreur 
)
On a donc d'après la derniere egalité de mon post:
Or Tn=Vn+1 - Vn
donc en prenant la somme , on a:
Or (tous les termes se simplifient sauf 2)
et
donc on en déduit que :
d'où
On sait que :
donc
d'où
Or V0=U0=0
donc
Sauf erreur
Pour le 2eme exercice :
On considere la suite Un def par
U0=1
Un+1=Un+2n+3
On a:
Un+1 - Un=2n+3
Or 2n+3 > 0 pour tout n de N
donc Un est strictement croissante
On va montrer par recurrence que Un > n².
Pour le rang 0, le resultat est vrai car on a U0=1 >0
Supposons le resultat vrai jusqu'au rang n.
On a:
Un+1=Un+2n+3 > n²+2n+3 d'après l'hypothese de recurrence.
Montrons que (n+1)²<n²+2n+3.
On a (n+1)²=n²+2n+1 < n²+2n+3
donc (n+1)²<n²+2n+3
et donc Un+1 > n²+2n+3 > (n+1)²
donc le resultat reste vrai au rang et donc d'apres le theoreme de recurrence on en déduit que le resultat est vrai pour tout n de N
On a montré que pour tout n de N:
Or
donc on en dduit que :
Je ne vais pas faire de conjecture mais je vais directemtn calculer Un
On a:
donc en prenant la somme de 0 à n-1, on a:
Or (tous les termes se simplifient sauf 2
)
et
donc
d'où
Sauf erreur
Joelz
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