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DM sur les suites pour demain SVP
Bonjour, j'ai un DM sur les suites et je ne comprends absolument rien quelqu'un pourrait m'aider ?
Ex 1 :
Une personne souhaite placer durant plusieurs années un capital de 15000 Euros. Elle hésite entre deux types de placements :
-un placement à intérets simples à 6% l'an : chaque année, son capital augmente d'une somme fixe égale à 6% du capital initial, c'est à dire de 900 euros.
-un placement à intérets composés à 4% l'an : dans ce cas, les intérets produits sont capitalisés, et rapportent donc eux aussi 4% l'an.
1/Quel est le placement le plus avantageux sur 7 ans ?
2/Pour chaque cas, combien d'années faut-il immobiliser la somme initiale pour voir le capital doubler ?
Conseil donné : Notez Sn le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérets sont simples (S0 = 15000 euros), et Cn le capital obtenu au terme de n années lorsque les intérets sont comptabilisés.
Ex 2:
f est la fonction polynôme x
(x+1)² -x^3.
On note S = 1 + 2 + .... + n et P=1²+2²+....+n².
1/Vérifier que f(x)= 3x² + 3x +1
Cette réponse j'ai trouvé grace à (a+b)^3=a^3+3a²b+3ab²+b^3
Mais pour le reste j'aurai besoin d'aide SVP
2/a)En remplaçant successivement x par 1;2;...;n
démontrez que :
f(1) + f(2) + .... + f(n) = (n+1)^3 - 1 = 3P + 3S + n
b)Déduisez-en que P+S = [n(n+1)(n+2)]/ 3
3/Calculez S en fonction de n puis démontrez que :
P= [n(n+1)(2n+1)]/ 6
MERCI BEAUCOUP A CELUI QUI PEUT MAIDER SVP
l'exo 1 est un exo typique de ce forum.
je crois que dans la faq il est precise de faire la fonction recherche avant de poster.
la preuve 
exercice sur les suites est un debut de reponse (merci dad97).
Merci minotaure grace à ce que tu m'as donné j'ai réussi à faire tout le premier exercice,
pourrez-tu m'aider pour l'exo 2 s'il te plait ?
exo 2 :
erreur d'enonce c'est : f definie comme x->(x+1)^3 -x^3, non.
a partir de la la question 1 va tout seul.
2)
f(1)=3*1²+3*1+1
f(2)=12+6+1=3*2²+3*2+1
f(n)=3n²+3n+1
donc f(1)+...+f(n)=3*(1²+2²+...+n²)+3*(1+...+n) + 1+...+1
n fois
donc f(1)+...+f(n)=3*P+3*S+n
pour l'autre f(1)=(1+1)^3-1^3=-1^3+2^3
f(2)=(2+1)^3-2^3=-2^3 + 3^3
...
f(n-1)=n^3-(n-1)^3=-(n-1)^3+n^3
f(n)=(n+1)^3-n^3=-n^3+(n+1)^3
on fait la somme de ces n egalites et on a f(1)+...+f(n)=[-1^3+2^3]+[-2^3+3^3]+...+[-(n-1)^3+n^3]+[-n^3+(n+1)^3]
donc f(1)+...+f(n)=-1^3+(n+1)^3
b) on a (n+1)^3 - 1 = 3P + 3S + n d'apres la question precedente.
donc (n+1)^3-n-1=3P+3S=3*[P+S]
donc P+S=[(n+1)^3-n]/3
(n+1)^3-n=n^3+3n^2+2n=n*(n²+3n+2)
on developpe (n+1)*(n+2)=n²+3n+2
donc (n+1)^3-n=n*(n+1)*(n+2)
donc P+S=n*(n+1)*(n+2)/3
S est la somme des n premiers termes de la suite arithmetique de raison 1 et de premier terme 1.
donc S=n*(n+1)/2
P=n*(n+1)*(n+2)/3-S=n*(n+1)*(n+2)/3 - n*(n+1)/2
donc P=(1/6)*n*(n+1)[2*(n+2)-3]=(1/6)*n*(n+1)*(2n+1)
voila.
a+
oups pour l'exo 2 j'ai oublie un ? apres non.
confirme (ou infime) l'erreur d'enonce , s.v.p.
oups autre erreur j'ai dis
donc P+S=[(n+1)^3-n]/3
(n+1)^3-n=n^3+3n^2+2n=n*(n²+3n+2)
non c'est
donc P+S=[(n+1)^3-n-1]/3
(n+1)^3-n-1=n^3+3n^2+2n=n*(n²+3n+2)
a rectifier.
merci beaucoup; oui c'est bien ce que tu m'as dit pour l'énoncé, désolée je n'avais pas vu l'erreur.
Merci beaucoup
bonjour,
pour l'exercice 1, minotaure j'ai eu les deux formules mais je n'arrive pas résoudre les questions,
est ce que qqu'un pourrez m'aidez SVP
SVP j'aurai besoin d'aide... c'était pour ce matin mais heureusement je n'ai pas eu cours à cause du temps, dc ça me permet de pouvoir le finir correctement, qqu'un pourrait-il m'aider SVP pour l'exercice 1.
Bonjour Lau.
Pour t'aider, je vais essayer de te faire comprendre les différentes notions qui se trouvent dans l'exo 1.
Connais-tu ce que représentent les intérêts simples et les intérêts composés?
Alors voilà.
Lorsque tu places de l'argent en banque, tu peux
- soit retirer les intérêts tous les ans
- soit laisser les intérêts sur le compte.
Dans le premier cas, il s'agit des intérêts simples.
Dans le second, ce sont les intérêts composés.
Ok, mais je n'arrive pas à faire le lien avec mon exercice en fait
Ainsi,
si tu désires connaître la totalité du capital et des intérêts simples durant 10 ans, tu crées une suite dite arithmétique (chaque année, tu augmentes ton capital d'une même somme fixe, les intérêts).
Ainsi, si tu désignes le capital de départ par C0, et par Cn celui après n années, alors tu as, en intérêts simples :
C1=C0+I C2=C1+I=C0+2I C3=C2+I=C0+3I etc.
Ainsi, C10=C0+10I
Tu connais la somme des intérêts, 900 euros, et donc Cn=15000+900n.
Je te remercie, j'ai compris mais je n'arrive toujours pas à résoudre mes deux questions, je vais essayer de me débrouiller tant pis
En ce qui concerne les intérêts composés, tu laisses les intérêts chaque année sur le compte. Ainsi, ceux-ci vont te rapporter également des intérêts. En adoptant la même terminologie des intérêts simples concernant le capital de la ne année, tu as :
C1=C0+0,04.C0=C0.(1+0,04)=C0.1,04
C2=C1+0,04.C1=C1.1,04=C0.(1,04)2
C3=C2+0,04.C2=C2.1,04=C0.(1,04)3
etc.
Tu crées comme cela une suite dite géométrique (chaque terme est le précédent multiplié par un nombre fixe, appelé la raison).
Dès lors, Cn=C0.(1,04)n
Tu remplaces par les données (n=7) et tu compares les deux sommes obtenues...
Ainsi,
Intérêts simples : C7=15000+7.900=21300
Intérêts composés : C7=15000.(1,04)7=19738,98
Ce sont donc les intérêts simples qui sont les plus avantageux.
Pour la question 2), tu cherches n pour que Cn=2C0.
Intérêts simples : 30000=15000+n.900
n=16,66666... il faut donc 17 ans.
Intérêts composés : 30000=15000.(1,04)n(1,04)n=2 et en remplaçant n par des valeurs entières, tu peux constater que 1.0417=1,9479... 1,0418=2,0258 : il faut donc 18 ans, soit 1 an de plus.
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