bonsoir,

I.
x² + y² = 25
xy = 12

x²=25-y²
x²y²=12²=144

x²=25-y²
(25-y²)y²=144

x²=25-y²
25y²-y^4=144

tu poses Y=y²
x²=25-y²
25Y-Y²=144

deltat=625-4*(-1)*-144
      =625-576=49

Y1=(-25+7)/-2=9
Y2=(-25-7)/-2=16

donc y1=racine(9)=3 et x1²=25-9=16 d'où x1=4 et x1'=-4

     y2=racine(16)=4 et x2²=25-16=9 d'où x2=3 et x2'=-3

les solutions sont donc (4,3) (-4,3) (3,4) (-3,4)

Merci bcp !!! c'est très gentil !!!!!!
J'espère que quelqu'un réussira le deuxième... mon rpfesseur de math m'a dit qu'il été possible de convertire les km en m mais on obtenai des calcul horrible... il est préférable de les laisser en km par minutes !! Selon elle, il faut utiliser les formule D = V/T.... voilà encore merci pour le premier exercice !

J'essaie quelque chose pour ton deuxième problème, mais je ne suis pas certaine à 100% de mon résultat.

La plus petite distance entre un point et une droite est celle perpendiculaire à cette droite. Ainsi, si on imagine les deux voies ferrées comme étant les axes X et Y d'un graphique, deux distances minimales sont possibles.

1- Le train roulant sur l'axe des X est à l'origine (intersection)

2- Le train roulant sur l'axe des Y est à l'origine.

Il faudrait donc calculer si la distance la plus petite est obtenue dans le cas 1 ou dans le cas 2.

Admettons que le train roulant sur l'axe des X soit celui dont la gare est à 40km. Il roule à 0,8km/min.

0,8km = 40 km
1 min.       x
On obtient 50 minutes. Après 50 minutes, le train est à l'intersection. Où est le deuxième train à ce moment?

0,6 km =  x
1 min.   50 min.
On obtient 30 km. La distance à ce moment est de 30 km.

Tu calcules de la même manière le temps que prendra le train 2 pour atteindre l'intersection, puis la distance parcourue à ce moment par le train 1. J'ai obtenu 66,6 km, or la gare est à 40km de l'intersection. Le train se situe donc à 26,6 km de l'autre côté du croisement. Cette distance est donc la distance minimale! J'obtiens un temps de 83,3 min. À toi de faire les calculs et de vérifier si j'ai tort.

Oups! j'ai fait une petite erreur! Dans mon premier calcul, je dis que le train a parcouru 30 km. C'est bien le cas, mais il se situe alors à 20 km de l'intersection!! C'est cette distance qui est la plus petite! Le temps est donc de 50 minutes! hehe! désolée!

Bonsoir,

J'ai vu plusieurs fois des exercices de type I et suis surpris que la symétrie en x et y ne soit pas utilisée : on peut d'abord calculer S=x+y et P=xy.
Ici
S²-2P=25 et P=12
S²=49 S=7 ou -7
x et y sont solution de z²-Sz+P=0
z²-7z+12=0 d'où x=3 et y=4 ou bien x=4 et y=3
z²+7z+12=0 d'où x=-4 et y=-3 ou bien x=-3 et y=-4
S={(3;4);(4;3);(-4;-3);(-3;-4)}

Rebonjour a tous !! Merci de m'avoir aider !!!
Par contre, j'en ai reparler avec mon prof de math.... il me dit qu'il n'y a que deux solutions pour le premier exercice !!!!!
Il précise que pour la première équation, on peut utiliser (x+y)² - 2xy = 25

Voilà... mais je comprend pas comment c'est possible d'obtenir que deux solutions si on a déjà deux équations qui sont supérieurs a 0... delta dit qu'il y a deux solutions !! Donc ça nous fait 4 solutions !!!!
Si quelqu'un voitcomment on trouve 2 solutions, dites le moi !!!
Merci

Si il n'y a pas de conditions imposées sur x et y, il y a bien 4 solutions qui sont celles que Dasson a indiquées.

Par la méthode suggérée par ton prof:
(x+y)² = x²+y²+2xy
(x+y)² = 25 + 2*12
(x+y)² = 49
(x+y) = +/- 7

xy = 12 -> y = 12/x

(x + (12/x)) = +/-7
x² + 12 = +/- 7x
x² +/- 7x + 12 = 0

Qui donne comme solutions x =+/-3 et x = +/-4
En remettant ces valeurs dans xy = 12, on trouve les y correspondant -> les couples (x,y):
(4,3) ; (3,4) ; (-4,-3) et (-3,-4)
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Soit ton prof a oublié des solutions, soit il y avait des conditions sur x et y (par exemple que x et y doivent être dans R+).
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Bonjour,
mon prof n'a rien spécifié, elle a juste dit que pour la première, on obtené (x+y)² - 2xy = 25et que d'ici, on parvenait a simplifié avec celle d'en dessous....
j'ai une idée mais si quelqu'un pouvais essayer de le faire, je pourrais comparer mes résulats.... svp.
je crois que c'est bon mais.. me connaissant....

Tu es têtu, mais rien ne changera le fait, qu'il y a bien 4 couples solutions.

Si tu veux t'en convaincre, il suffit de replacer les solutions dans le système de départ et voir que cela colle.

exemple x=4 et y = 3
remis dans
x² + y² = 25 -> 4² + 3² = 25  (OK)
xy = 12 -> 4*3 = 12  (OK)
donc la solution x = 4 et y=3 convient.

Je te laisse vérifier que les 3 autres couples donnés conviennent aussi ...
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ha oui, c'est vrai..... je pense que mon prof ne voulais que les solutions 3 et 4. je m'excuse !!! (hihihi).. au fait, quand il est marqué: (x+y) = +/- 7 ça veut dire racine je suppose ?! mais pourquoi -7 (c'est racine de 7 et aussi racine de -7 ,non ?)
Enfin oui, c'est ça... c'est logique !
merci beaucoup, de m'avoir aider ! je suis très très contente d'avoir compris le systeme !!
Si quelqu'un a tjs une idée pour le second... parce que celui de pinotte est bien mais apparmeent mon professeur voudrais qu'on utilise la formule: v=d/t et bien sur, comme c'est ds mon programme, d'utilser la forme cannonique pour résoudre la distance minimale.... (la formule j'y arrive a peu près) mais par contre, je vois pas comment mon prof veut qu'on utilise d = v*t ???!!je comprend pas vraiment sa démarche. Selon elle c'est très simple.... (selon elle)

Bonjour,
j'ai un dm a faire pour mardi et je n'arrive pas a faire cet exo:

Deux voies férrées se croisent à angle droit. Deux trains roulent vers le croisement: l'un, parti d'une gare située a 40 km du croisement, parcours 800m par minute et l'autre, parti d'une gare située a 50 km du croisement parcourt 600m par minute. Au bout de combien de temps les locomotives se trouveront-elles à une distance minimale l'une de l'autre, et quelle est cette distance ?

Mon prof m'a dit qu'il falait utiliser le formule v = d/t et que de toute manière, le résultat été forcément compris en 0 et 64 minutes... j'ai essayer une truc ou je trouve que la plus courte distance est de 16 km (à vol d'oiseau avec pythagore) et ceci au bout de 62 minutes. Le problème c'est que j'ai pas de résonnement ! je l'ai fait comme ça avec plusieur nombre (10, 50 puis 60,61,62... voyant que les intervalles se rapprochés !!). Bref, je sais pas comment il faut le prouver !
D'après mes cours, je sais qu'il faut que j'utilise une forme cannonique à la fin pour trouver la distance minimale. Voilà...
si quelqu'un pouvais m'aider... ça serait extremement gentil !

*** message déplacé ***

Svp aidez moi !
il me faudrais une démarche a suivre svp....

Vitesse du premier train: v1 = 800m/min = 48 km/h

Distance du premier train au croisement:
d1 = 40 - 48.t   (t en heure et d1 en km)
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Vitesse du second train: v1 = 600m/min = 36 km/h

Distance du premier train au croisement:
d2 = 50 - 36.t   (t en heure et d1 en km)
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Pythagore dans le triangle (train1, train2 , croisement) -->
En appelant d la distance  entre les 2 trains:

d² = d1² + d2²

d² = (40 - 48.t)² + ( 50 - 36.t)²
d² = 1600 - 3840t + 2304t² + 2500 - 3600t + 1296t²
d² = 3600t²  - 7440t + 4100

la distance d est minimum pour la même valeur de t pour laquelle d² est minimum.

d² = 3600t²  - 7440t + 4100
d² = (60t - 62)² + 256

d² (et donc d) est minimum pour 60t = 62
donc pour t = 62/60 heure soit 62 minutes.
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A ce moment d² = 256 -> d = 16 km
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Sauf distraction.  

oulalalala, merci merci beaucoup... c'est extactement une explication comme celle ci que je recherché !
ce qui me rassure, c'est que c'est bien le résultat que j'ai trouvé (oufff, soulagement). Le seul probleme c'est que moi je l'avait pas mis en km/h donc les nombes était un embéttant à calculer. Et j'arrivais pas à faire ma forme cannonique...
je suis très heureuse... merci beaucoup.
C'est très gentil a vous de vous proposé pour répondre aux questions.
Mille merci