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Droites concourantes
bonjour,
je cale sur le sujet suivant:
"ABC est un triangle.Les points A',B',C' sont les milieux des côtés [BC],[AC],[AB].
Soit R un point du plan. A1 est le symétrique de R par rapport au point A'.B1 est le symétrique de R par rapport au point B'..C1 est le symétrique de R par rapport au point C'.
Démontrer que les droites (AA1),(BB1) et (CC1) sont concourantes."
B' milieu de [RB1]
A' milieu de [RA1]
C' milieu de [RC1]
A'B' // A1B1
B'C' // B1C1
A'C' // A1C1
mézalor
A1B1//AB
B1C1//BC
A1C1//AC
Le triangle A1B1C1 est l'image de A'B'C' dans l'homothétie de centre R
et de coefficient 2.
Après je ne vois plus
Bonjour,
en faisant ça avec des vecteurs tu verrais que l'homothétie en question n'est pas du tout de centre R et pas du tout de rapport 2 mais moins 1
(que vA1B1 = -vAB etc)
et le centre de cette homothétie est ... justement le point de concours qu'on demande de prouver !!
si , voilà la fin:
ACA1C1 est un parallélogramme
[CC1] et [AA1] se coupent en leur milieu.
De même [AA1] et [BB1] se coupent en leur milieu.
surtout que j'ai mal lu ton message de 13:46
j'ai cru que tu parlais de l'homothétie entre ABC et A1B1C1 (qui est comme j'ai dit)
alors que tu parlais de celle entre A'B'C' et A1B1C1 (qui est bien comme tu as dit)
la confusion est due au message d'avant (de 13:24) où tu ne parlais pas de A'B'C' mais de ABC
petite question: quelle propriété permet d'exhiber l'homothétie de rapport -1 ?
me rappelle plus si la composée de deux homothéties est une homothétie.
la composée de deux homothéties est une homothétie si le produit des rapports est différent de 1
et une translation si ce produit = +1
comme ici le produit est -1/2 (ABC -> A'B'C') * 2 (A'B'C' -> A1B1C1) = -1, c'est effectivement une homothétie
(et donc les droites AA1, BB1, CC1 passent par le centre de cette homothétie, donc sont concourantes
et sans cette propriété de composition des homothéties tu peux le faire "en longueurs" et parallèles, comme tu as fait
(ou mieux avec les vecteurs qui fait les deux d'un coup)
mais le final est alors bien de montrer des parallélogrammes dont les diagonales se coupent en leur milieu.
Salut avec un coup de barycentre (peut être au programme de 1iere)
On peut écrire que :avec les point milieux
2A'=B+C
2B'=A+C
2C'=A+B
Avec les symétries de l énoncé :
2A'=A1+R
2B'=B1+R
2C'=C1+R
on écrit que
C+C1=B+B1=A+A1 point de concourt est donc un point S tel que (S, 2) est barycentre de (C, 1 )et (C1, 1) aussi de (B, 1) et ( B1, 1) et aussi de (A, 1) et( A1, 1)
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