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Droites Concourantes

Posté par
NSdou
26-10-20 à 13:38

Bonjour, j'ai besoin de votre aide, je ne suis pas tres fort en démonstation:


ABC est un triangle, K le symétrique de B par rapport à A. Les points I et J sont tels que
vecteur BC= 2 vecteur CI           et        2 vecteur JA+ 3 vecteur JC= vecteur nul 0

      Démontrer que les droites (AI),(BJ) et (CK) sont concourantes.

(Je ne dois pas utiliser de barycentres)

Merci d'avance de vos réponses

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites Concourantes 26-10-20 à 13:52

Bonjour,

sans barycentres, on peut faire ça par exemple avec des coordonnées et des équations de droites dans un repère choisi
par exemple le repère (A; AB; AC)

Posté par
NSdou
re : Droites Concourantes 26-10-20 à 14:04

Je ne sais pas si on a le droit d'utiliser de repère ...
N'y a t il pas une autre façon de procéder ?

Posté par
NSdou
re : Droites Concourantes 26-10-20 à 14:13

Est il possible de prouver que le point de concours est le milieu de [AI] ?
A partir de là je pense pouvoir me débrouiller ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites Concourantes 26-10-20 à 14:28

à mon avis :

à grand renfort de plusieurs Thalès enchainés, sur plusieurs droites ajoutés ça marche aussi
mais va savoir lesquelles..

s'inspirer d'une démonstration du théorème de Ceva qui satisferait à ces interdits flous et arbitraires ...

il y a diverses façons de démontrer ce théorème, entre autres par compositions d'homothéties (=Thalès)
à traduire \;avec des Thalès niveau 3ème donc, si je comprends bien tes contraintes.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites Concourantes 26-10-20 à 15:22

en cherchant un peu quelles parallèles on pourrait ajouter pour avoir du Thalès là dedans, on peut imaginer

étape 1 soit D l'intersection de (AI) et (CK)
tracer une parallèle (AE) à (CK) etc

Droites Concourantes

étape 2 : soit D' (à priori distinct) l'intersection de (AI) et (BJ)
tracer une parallèle (AF) à (BJ) etc

Droites Concourantes

et au final :
en déduire que D et D' sont confondus, parce que le même rapport sur le segment [AI]

à part le placement des points I, J, K par les vecteurs de l'énoncé, le reste est niveau "3ème guidé", comme je disais,
juste ne pas se mélanger les pinceaux dans les calculs de fractions avec ces quatre utilisations de Thalès

on peut faire d'autres choix de paires de droites
celui là est en rapport avec ;

Citation :
Est il possible de prouver que le point de concours est le milieu de [AI] ?

Posté par
NSdou
re : Droites Concourantes 26-10-20 à 15:44

MERCI BEAUCOUP

Je devrais y arriver sans problème avec ces indication

Je vous souhaite une bonne journée

Posté par
NSdou
re : Droites Concourantes 27-10-20 à 11:35

Désolé de vous redéranger mais comment utilisez vous le théorème de tales dans la deuxième figure pour prouver que D' est le milieu de [AI] ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites Concourantes 27-10-20 à 11:58

Thalès dans CAF donne la position de F sur la droite (BC) (CF/CB)
la position de I sur cette droite est déja connue par l'énoncé
donc on peut calculer IB/IF :

Citation :
juste ne pas se mélanger les pinceaux dans les calculs de fractions

BF = CF - CB
BF/CB = CF/CB - CB/CB = CF/CB - 1 etc
donc IF = ...

et par conséquent utiliser Thalès dans IAB pour obtenir ID'/IA, la position de D' sur (AI)

Posté par
NSdou
re : Droites Concourantes 27-10-20 à 12:19

Merci encore



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