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Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère

Posté par
ohmarie
30-04-20 à 19:21

Bonjour,

Je rencontre un problème sur un exo où il faut prouver que des droites sont perpendiculaires. J'ai réussi ce dernier avec un produit scalaire et un repère mais il faut savoir aussi  le traiter sans repère avec une décomposition de vecteurs.

Le sujet est le suivant: "Sur la figure ci-contre, les ptns A, B et C sont alignés; les triangles ABD et ACE sony isocèles rectangles en A. Les ptns I et J sont les milieux respectifs de [BE] et [CD].
Démontrer que:
1) = (AI) et (CD) sont perpendiculaires
2) = (AJ) et (BE) sont perpendiculaires

Je vous remercie d'avance pour votre aide. J'attends de boucler cet exo avec impatience!

** image recadrée sur la seule figure **
Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 30-04-20 à 20:00

Bonjour,

2\vec{AI} = \vec{AB}+\vec{AE}   etc

et développer le produit scalaire   4 \vec{AI}\cdot\vec{CD} = \left(\vec{AB}+\vec{AE}\right)\cdot\left(\dots\right)

Posté par
carpediem
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 30-04-20 à 20:01

salut

la relation de Chasles est ton amie ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 30-04-20 à 20:01

oups, pas 4, juste 2

Posté par
ohmarie
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 02-05-20 à 16:21

J'avais déjà fait la mm démarche avant d'envoyer mon msg, dc vous m'aidez pas trop.
En effet, j'avait dvlp le produit scalaire 2AI . CD = (AB + AE) . (CA + AD).
Puis AE . CA + AB . AD sont orthogonaux et dc = 0.
Il reste AB . CA + AE . AD dt AB . CA sont colinéaires de sens et AE . AD sont colinéaires de mm sens. Seulement, je n'arrive pas à l'exploiter afin d'avoir un produit scalaire = 0 et affirmer dc que les droites sont .

J'aimerai qd mm vous remercier pour la rapidité de votre réponse. J'attends la prochaine de tte hâte!

PS: Pouvez-vous aussi me dire comment ajouter une flèche sur des lettres pour indiquer un vecteur. Ça m'aidera bcp ds les prochains msg!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 02-05-20 à 16:44

Thalès montre que en longueurs AB/AC = AD/AE

PS :

• quand on déja fait quelque chose, on dit explicitement et dès le message de demande ce qu'on a deja fait, essayé, commencé, explicitement ce qui bloque sur la question
c'est écrit dans Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci point 4

• pour mettre des flèches sur les vecteurs il n'y a qu'une seule méthode : écrire en LaTeX
Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère
quand on écrit une formule en LaTeX on écrit l'ensemble de toute la formule en un seul bloc LaTeX et pas par petits bouts

sinon il faut dire "tout en vecteurs" par exemple

Posté par
carpediem
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 02-05-20 à 19:05

a figure est "mal faite" ... mais ne pas oublier que les hypothèses permettent d'affirmer qu'il y a symétrie par rapport à la bissectrice issue de A ... qui est aussi médiatrice et hauteur ...

Posté par
ohmarie
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 03-05-20 à 10:59

Merci pour votre réponse. Mais si je ne passais pas par Thalès et que je partais au départ de la relation de Chasles :AI . CD =(AE + EI) . (CA + AD) = AE . CA + AE . AD + EI . CA + EI . AD = AE . AD + \frac{1}{2}EB . CA + \frac{1}{2}EB . CA. Or pour, \frac{1}{2}EB . AD, on peut projeter B sur (AD). Ici, je pars du fait que I est un milieu sur les vecteurs, puis projette ensuite.
soit AI . CD = AE . AD + \frac{1}{2}EB.CA + \frac{1}{2}EA . AD = AD.(AE + \frac{1}{2}EA ) + \frac{1}{2}EA . AD. J'arrive à ce stade, où je n'arrive pas à exploiter les vecteurs et démontrer que les droites sont .

D'ailleurs je n'arrive tjs pas à faire des vecteurs sur latex mm avec vos conseils.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 03-05-20 à 11:25

quand je dis la formule entière c'est la formule, pas les textes entre deux formules !!

pour les vecteurs :
Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère

à suivre pour le calculs (je dois quitter en urgence pendant cette frappe)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 03-05-20 à 12:14

on a en reprenant tes calculs

\vec{AI}\cdot\vec{CD} = \vec{AE}\cdot\vec{AD} + \frac{1}2}\vec{AB}\cdot\vec{CA} + \frac{1}{2}\vec{EA}\cdot\vec{AD}  = \vec{AE}\cdot\vec{AD} - \frac{1}2}\vec{AB}\cdot\vec{AC}  - \frac{1}{2}\vec{AE}\cdot\vec{AD} \\  \vec{AI}\cdot\vec{CD}  = \frac{1}{2}\vec{AE}\cdot\vec{AD} - \frac{1}2}\vec{AB}\cdot\vec{AC}

et il faut justifier que en longueurs AE\times AD = AB\times AC

et là il faudra bien faire intervenir que les triangles sont rectangles isocèles !!
(sinon on n'aura pas l'orthogonalité si les triangles rectangles ne sont pas isocèles)

Posté par
ohmarie
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 03-05-20 à 18:01

Oh mon dieu ! Que je suis bête effectivement... j'aurais dû inversé les vecteurs pour à la fin obtenir un produit scalaire = 0. J'étais trop focalisé sur la relation de Chasles et projeté.

Merci infiniment pour le conseil sur les vecteurs et également l'exo ! Vous assurez un max mm pdt le confinement !

Posté par
carpediem
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 03-05-20 à 18:55

mathafou @ 03-05-2020 à 12:14

et il faut justifier que en longueurs AE\times AD = AB\times AC

et là il faudra bien faire intervenir que les triangles sont rectangles isocèles !!
(sinon  on n'aura pas l'orthogonalité l'égalité si les triangles rectangles ne sont pas isocèles)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 03-05-20 à 19:38

je parlais bien de l'orthogonalité de CD et AJ qui est ce qu'il faut démontrer

(conséquence de la non égalité de AE*AD et de AB*AC, si non isocèles parfaitement)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Droites perpendiculaires - Produit scalaire sans repère 03-05-20 à 19:38

** AI



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