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eclairage public

Posté par
flight
06-06-23 à 12:36

Bonjour

Je vous propose l'exercice suivant ,  dans un soucis d'économie , une petite commune souhaite maitriser ses dépenses d'eclairage publique  .
Sur une artère se trouve 50 luminaires , la commune souhaite éteindre 15 de ses luminaires  la nuit sauf  les luminaires situés aux deux extremités de l'artère qui doivent foncctionner et  avec la contrainte que deux liminaires adjacents ne doivent jamais être allumés  ensembles .
Combien existe t il de facons de faire ?

Posté par
flight
re : eclairage public 06-06-23 à 12:45

rectification lire  :

Sur une artère se trouve 50 luminaires , la commune souhaite allumer 15 de ses luminaires  la nuit , les luminaires situés aux deux extremités de l'artère doivent fonctionner et  avec la contrainte que deux liminaires adjacents ne doivent jamais être allumés  ensembles .
Combien existe t il de facons de faire ?

Posté par
dpi
re : eclairage public 07-06-23 à 11:39

Bonjour,
Je tente...

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 07-06-23 à 12:23

Bonjour dpi
Il faut lire la rectification.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 07-06-23 à 13:36

Voici une piste :

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Posté par
flight
re : eclairage public 07-06-23 à 15:30

Bonjour Sylvieg c'est exactement ca

Posté par
dpi
re : eclairage public 07-06-23 à 17:42

Suite,
Oui,j'avais répondu à l'énoncé initial...

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Posté par
flight
re : eclairage public 07-06-23 à 18:28

Bonsoir dpi ..c'est toujours pas ca

Posté par
dpi
re : eclairage public 09-06-23 à 08:37

Bonjour,

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 09-06-23 à 10:19

Pour moins tourner en rond, voir mon message du 7 et aussi ci-dessous

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Posté par
dpi
re : eclairage public 09-06-23 à 18:13

Suite,

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Posté par
dpi
re : eclairage public 10-06-23 à 07:48

Fin,

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : eclairage public 11-06-23 à 06:55

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 11-06-23 à 08:18

C'est beaucoup plus que ça dpi.
Regarde mes messages et Denombrement.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 11-06-23 à 12:01

Je traite un des cas que tu as envisagé : 20 luminaires en tout dont 6 vont rester en activité.
Le premier et le dernier restent en activité.

Un codage d'une possibilité, avec a pour allumé et e pour éteint :
a e e a e a e e e e e e a e e e a e e a
On enlève un e entre les a car il y en a au moins un :
a e a a e e e e e a e e a e a
On enlève le premier et le dernier a qui sont déterminés :
e a a e e e e e a e e a e
On obtient 13 lettres parmi lesquelles il y a 4 lettres a.

Opération inverse à partir de 13 lettres a ou e avec 4 lettres a :
a a a a e e e e e e e e e
On ajoute les deux a des extrémités :
a a a a a e e e e e e e e e a
On ajoute un e entre les a :
a e a e a e a e a e e e e e e e e e e a

On a donc 715 possibilités pour le cas de 20 luminaires dont 6 vont restent en activité.

Posté par
dpi
re : eclairage public 11-06-23 à 14:55

Merci Sylvieg,

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Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 11-06-23 à 15:23

De rien, et je corrige ma coquille :
715 possibilités pour le cas de 20 luminaires dont 6 restent en activité.
Bonne fin de week-end

Posté par
dpi
re : eclairage public 12-06-23 à 08:18

Bonjour,
Déduction ??

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Posté par
dpi
re : eclairage public 12-06-23 à 09:08

Suite
Toujours sur le test (20;6)
Une idée en utilisant le binaire (1 allumé et 0 éteint )on voit
que les positions vont de  529749 à 699009 .
On devrait trouver l'incrément qui fait passer du premier au dernier.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 12-06-23 à 17:28

Bonsoir dpi,
Peux-tu être plus explicite sur l'utilisation du binaire ?
Il ne faut pas que deux 0 se suivent.
Comment obtiens-tu 529749 et 699009 ?

Posté par
dpi
re : eclairage public 13-06-23 à 07:47

>Sylvieg
Toujours dans mon modèle (20;6)
On pose 1 =allumé et 0=éteint
on va donc de 10101010101010000001
                            à 10000001010101010101
soit en décimal de  699009 à 529749.
(Déjà on est sûr que la solution est <169260 )
Reste à trouver comment  éliminer les 11 successifs.
Ce n'est qu'une idée ,mais je pense qu'elle n'est pas jouable...

Posté par
dpi
re : eclairage public 13-06-23 à 09:07

Au passage...
715 positions pour (20;6) me parait plus que mon bidule qu'y en trouve 435 (sauf erreur) .
Un programmeur validera t-il la bonne réponse

Posté par
dpi
re : eclairage public 14-06-23 à 09:04

Bonjour,
Après une semaine de réflexion,j'ai  enfin trouvé la solution pour 20 luminaires dont 6 allumés non consécutifs en ayant en plus le premier et le dernier toujours allumés.

En utilisant le codage binaire pour les 16 luminaires concernés ,il y a exactement 462 possibilités et non 715 issus du calcul initial.

Posté par
dpi
re : eclairage public 14-06-23 à 12:11

J'en déduis la formule suivante:

soit N les luminaires de la rue et n ceux qu'on veut allumer sans en
avoir deux consécutifs:

C(N-n-3;n)
soit pour N=20 et n=6
C(11;6)=462
pour  l'énoncé  N=50 et n=15
C(32;15)= 565 722 720

Pour tester:
N=30 et n=9
C(18;9) =48620

Posté par
dpi
re : eclairage public 14-06-23 à 16:06

Bonjour flight
As-tu vu ma réponse car jusque là ,rien d'officiel

Posté par
flight
re : eclairage public 14-06-23 à 22:39

Bonsoir dpi , avec N luminaires , ceux des extremités doivent etre allumés donc les luminaires 2 et N-1 sont forcement eteints. il reste donc  N-4 luminaires dont il faut s'occuper sans que deux luminaires consecutifs soient allumés , comme les luminaires 1 et N sont allumés , et qu'on doit en allumer 15 , on va donc travailler sur 13 luminaires à allumer sur les N-4 sans avoir deux luminaires consecutifs allumés , ce qui peut se faire de C(N-4 - 13 +1 , 13)=C(N-16,13)   si N = 50  , on a donc C(34,13) facons de faire

Posté par
flight
re : eclairage public 15-06-23 à 00:24

....avec tes données (N , n ) la formule qui en découle serait  C(N-4-(n-2)+1, n-2)=C(N-n-1,n-2)  donc avec N=30 et n = 9 ca donne  C(20,8)=125970  facons de faire  

Posté par
flight
re : eclairage public 15-06-23 à 00:25

erreur lire plutot  C(20,7)=77520 cas possibles

Posté par
dpi
re : eclairage public 15-06-23 à 08:28

Bonjour flight,
Justement...NON
Sylvieg pour 20 luminaires dont premier et derniers allumés +6 non consécutifs  m'avait donné 715 comme réponse.
comme à ce stade ,on peut avec astuce binaire faire un plan complet,
on arrive à 462 façons.

Comme je la croyais j'ai d'ailleurs répondu  C(34.13) le 12 à 8 h 08
soit 927 983 760 façons.

Le doute m'habitant ,j'ai revérifié pour 20;6
et je confirme qu'il n'y a pas 715 façons ,mais 462
Je donne les 20 premières et les 20 dernières....
Comme j'avais déjà vu pour 10;6
Je confirme que la bonne combinaison est C(N-3-n;n)
eclairage public

eclairage public

Posté par
flight
re : eclairage public 15-06-23 à 12:28

Citation :
20 luminaires dont premier et derniers allumés +6 non consécutifs


sur 20 luminaires tu dois allumer en tout 8 luminaires ( 6+2)
tout va se jouer ensuite sur 16 luminaires et  6 non consecutifs parmi ces 16 là .
soit ici C(16-6+1,6)=462 possibilités ce que tu a trouvé  , ma formule
generale    C(N-n-1,n-2)  donne  C(20-8-1,6)=C(11,6)= 462
je ne vois pas en quoi "justement non" ce justifie dans ton precedent post

Posté par
dpi
re : eclairage public 15-06-23 à 12:40

On est donc d'accord pour 20;6 et on tombe sur la même combinaison :C(11;6)=462
Mais alors pourquoi pour le test à 30 tu trouves  77520
alors qu'avec la mienne je trouve  48620  =C(18;9)

Posté par
flight
re : eclairage public 15-06-23 à 12:55

C(N-n-1,n-2) = C(30-9-1,7)= C(20,7)=77520

(ici N= 30 , n=9 )

Posté par
dpi
re : eclairage public 15-06-23 à 14:08

Je pense que nous fatiguons....

On vérifie :
10;3   4 solutions  qui viennent de C(4;3) =4 avec4= 10-3-3 et  3 qui demeure
20;6 462 solutions qui viennent de C(11;6)=462 avec 11=20-3 -6et 6 qui demeure.
30;9 48620 solutions qui viennent de
C(18;9) 48620 avec 30-3-9=18 et 9   qui demeure
Pour l'énoncé initial:
50;15  565 722 720 solutions qui viennent de C(32;15)=565 722 720
avec  50-3-9=32 et 9 qui demeure.

Posté par
dpi
re : eclairage public 15-06-23 à 14:22

dernière phrase (relecture difficile avec couleurs )

avec 50-3-9 et 9 qui demeure

Posté par
dpi
re : eclairage public 15-06-23 à 14:24

décidément,

avec 50-3-15=32 et 15 qui demeure.

Posté par
flight
re : eclairage public 15-06-23 à 19:11

tu t'y retrouve ou non ?

Posté par
dpi
re : eclairage public 16-06-23 à 07:00

Bonjour,
Ce qui m'a motivé ,c'est que d'habitude je fais confiance à Sylvieg
qui pour mon exemple 20;6 trouvait 715 alors que mon bidule donnait 462 .
Cela voulait dire que sa formule n'était pas la bonne...
Je suis surpris que personne ne soit venu ,certainement en pensant
que cela n'en voulait pas la peine .
Je confirme mes réponse tant que la réponse officielle pour 50;15
n'est pas donnée.

Posté par
flight
re : eclairage public 16-06-23 à 13:06

voila la réponse pour N =50 et n =15 : C(34,13) =927983760

Posté par
dpi
re : eclairage public 16-06-23 à 19:24

Cette réponse:
927 983 760 ,je l'ai donnée  le 12 à 8 h 08
Mais je la conteste pour une raison très simple:
Je l'ai donnée sur une déduction du calcul de Sylvieg or il
se trouve que sa répons est fausse pour 20;6 à savoir 715 (avec la même formule).
Nous savons formellement que c'est 462 =C(11;6)
Par ailleurs  un modèle 10  luminaires avec 3 allumés en plus des deux
extrêmes  donne  C(4;2) =4    
On obtient   le 4 en faisant( comme pour 462 que tu as validé)
10-3-3 =4
Pour 50 je donne donc 565 722 720 tant qu'on ne m'aura pas
dit où je me trompe dans mon raisonnement.

Je vais me reposer 15 jours au Québec

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 18-06-23 à 09:46

Bonjour dpi,
J'espère ne pas troubler ton repos au Québec.
Pour 20 et 6, nous ne parlons pas de la même chose.
Je traite ce cas où il y a 6 luminaires allumés :

Citation :
715 possibilités pour le cas de 20 luminaires dont 6 restent en activité.
et toi tu traites ce cas où il y en a 8 allumés :
Citation :
la solution pour 20 luminaires dont 6 allumés non consécutifs en ayant en plus le premier et le dernier toujours allumés.

Pour 20 luminaires dont 8 allumés, la réponse est bien 462

Pour ton exemple avec 10 luminaires dont 3 allumés en plus des deux extrêmes, on trouve bien 4.

Posté par
dpi
re : eclairage public 21-06-23 à 14:33

Bonjour,
Je suis sur l ordi de mon copain (QWERTY)
Nous verrons au retour....

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : eclairage public 21-06-23 à 16:36

Bon séjour

Posté par
dpi
re : eclairage public 01-07-23 à 11:31

Bonjour ,
De retour reposé
Effectivement (merci le repos....)
*Je notais N le nombre d'emplacements pour réverbères
*n le nombre de réverbères à allumer
*en respectant la règle initiale:
2 extrémités toujours allumées et n sans être voisins .
Ainsi pour n=20 et n=6 le nombre d'emplacements possibles est 462
Je confirme pour N=30 et n=9          C(N-3-n;n)= 48620
Pour mémoire pour l'énoncé initial:
Je  n'avais pas lu la remarque de flight du 22/06  15-->13
N=50 et n=13----> C(50-3-13;15)=927 983 760

Posté par
dpi
re : eclairage public 05-07-23 à 14:04

Bonjour,

J'ai eu du temps au Québec
J'ai définitivement la preuve pour N=30 et n=9
C'est à dire :
30 emplacements
2 extrémités toujours allumées
9 à allumer sans en avoir deux consécutives.
Ceci au passage vérifie ma formule   C(N-3-n;n )
Ici C(18;9)=48620.
Je garde mon bidule....

eclairage public

Posté par
flight
re : eclairage public 06-07-23 à 12:18

Bonjour
Pour N=30 et n=9 luminaires à allumer, si ceux des extrémités doivent être allumés c'est forcément 30-4 ampoules dont ont ne s'occupe pas, puisque les  2 lampes situés  à côté de celles situées au extrémités ne doivent pas fonctionner, il reste donc en réalité 7 ampoules à allumer parmi 26 en faisant en sorte que deux ampoules consécutives ne soient pas allumées cela peut donc se faire de C(26-7+1,7)=C(20,7) façons soit 77520 façons de faire.

Posté par
dpi
re : eclairage public 06-07-23 à 18:12

Depuis le début tu n'as pas vu ma définition malgré mes explications...
On est tombé d'accord pour 20 voir ta citation.
Donc 462 et non 715.
Pour 30 j'ai  suivi la même logique  en donnant  à n le nombre
des ampoules à allumer étant bien entendu que nous ne parlons plus
des 2 extrémités qui sont une constante ainsi que les  deuxième et avant dernière éteintes.
Ceci m'a simplifié le travail en testant sur 26 et 9
Tu peux voir le résultat de mon bidule qui confirme.

Posté par
flight
re : eclairage public 06-07-23 à 19:36

je ne sais pas si ton erreur est ici mais il me semble que si

"J'ai définitivement la preuve pour N=30 et n=9
C'est à dire :
30 emplacements 'oui au debut
2 extrémités toujours allumées ' donc on travail sur 30-4=26 ampoules
9 à allumer sans en avoir deux consécutives."  ...non ici c'est 7 à allumer car les extremités comptent aussi

Posté par
dpi
re : eclairage public 07-07-23 à 08:17

Bonjour,
Sylvieg peut arbitrer car elle a bien compris la confusion.
L'exemple 20 en est la preuve. Je disais 20/6  en pensant  20 dont 2+6
et je notais N=20 et n=6  car je ne tenais plus compte des 2 extrémités.
Pour 30/9 il s'agit bien de  30 dont 2+9  en notant N=30 et n=9.
Je dois donc m'excuser d'avoir voulu prendre de exemples  exploitables en vue d'une vérification....



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