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Egalité de deux ensembles

Posté par
bouchaib 14-06-24 à 16:27

Bonjour,
                  Question :

on pose      F=   et  E=\{x\in\R : -\frac{1}{2}\prec \frac{x}{x^{2}+4}\prec\frac{1}{2}\}.

Montrer que E=F?

    Réponse :    -\frac{1}{2}\prec\frac{x}{x^{2}+4}\prec\frac{1}{2}\Leftrightarrow |x|^{2}-2|x|+4 \succ0.

  donc le signe du trinôme de seconde degré est celui du coefficient  a,  ici a=+1 car le discriminant est négatif, donc x la dernière proposition est vraie d'où E==F.
Merci par avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 16:41

Bonjour

C'est juste.

Posté par
bouchaibre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 16:48

Merci professeure.
Dans la réponse j'ai sauté des étapes pour ne pas être lent .
Merci encore.

Posté par
Ulmierere : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 17:53

Tu peux aussi te passer des valeurs absolues en fait. Comme 2(x^2+4) > 0, l'inégalité qui définit E est équivalente à -(x^2+4) < 2x < (x^2+4), qui équivaut à (x^2-2x+4 > 0) \wedge (x^2+2x+4 > 0).

Or, pour tout x réel, x^2\pm 2x+4 = x^2\pm 2x+1 + 3 = (x\pm 1)^2 + 3 \geqslant 0+3 > 0

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 19:00

Bonjour,
La question revient à démontrer que la double inégalité est vraie pour tout x réel.
Pour démontrer chacune des inégalités, on peut utiliser la méthode "signe de la différence".
C'est à dire
transformer \; \dfrac{x}{x^{2}+4} + \dfrac{1}{2} \; et \; \dfrac{1}{2} - \dfrac{x}{x^{2}+4} \; en espérant trouver que c'est toujours strictement positif.

Posté par
bouchaibre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 19:23

Merci encore.

Posté par
Ulmierere : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 20:22

Allez, encore une autre méthode

Citation :
Par imparité de la fonction f: x\mapsto 2x/(x^2+4) il suffit de montrer que f est (strictement) majorée par 1 sur \R_+.

\begin{array}{lcll} \\ (x-2)^2 \geqslant 0 &\iff& x^2 + 4 -4x \geqslant 0 &{ }\\ \\ &\iff& \dfrac{4x}{x^2+4} \leqslant 1 & \text{parce que } x^2+4 > 0\\ \\ &\implies& \dfrac{2x}{x^2+4} \leqslant \dfrac12 < 1 & \text{parce que } 2 > 0 \\ \end{array}

Posté par
bouchaibre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 20:23

Merci beaucoup.

Posté par
bouchaibre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 20:28

Merci beaucoup.
Le post de Ulmiere est codé donc on arrive pas à lire le reste après l'idée de la parité et la majoration de la f par 1.
Merci de décoder .

Posté par
Ulmierere : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 20:39

Le problème vient de ton côté, chez moi c'est parfaitement lisible

Posté par
bouchaibre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 21:02

Merci et pardon .

Posté par
Panter Correcteurre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 23:38

Bonsoir,

Tu n'es pas le seul bouchaib, il y a un petit souci dans le code LaTeX du dernier message d'Ulmiere du 14-06-24 à 20:22 (que je salue au passage ).
Je n'ai rien vu de spécial qui pourrait causer le problème, normalement, ça devrait compiler...
Bon, je me suis permis de changer le code un tout petit peu pour qu'il s'affiche correctement:

Ulmiere @ 14-06-2024 à 20:22

\begin{matrix}(x-2)^2 \geq 0 &\iff& x^2 - 4x + 4 \geq 0 \\ \\ &\iff& \dfrac{4x}{x^2+4} \leq 1 & \text{parce que } x^2+4 > 0\\ \\ &\implies& \dfrac{2x}{x^2+4} \leq \dfrac{1}{2} < 1 & \text{parce que } 2 > 0 \end{matrix}


Cordialement,
Panter

Posté par
bouchaibre : Egalité de deux ensembles 14-06-24 à 23:50

Merci beaucoup et à tous.


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