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Posté par
Tireuuuuuu
re : encadrer une somme 18-11-20 à 21:31

Bonsoir,

Je sais qu'il n'est conseillé sur les forums de "déterrer" des sujets.. mais mon énoncé est exactement le même que celui-ci, et je suis d'accord avec l'ensemble des explications.

Je m'adresse à Nicolas plus particulièrement, qui, j'ai vu, appréciait qu'on déterre les sujets dont il s'est occupé il y a 10ans+, lorsqu'il passe en "coup de vent"...

Bref, pour en revenir à ma question :
je ne comprends pas pourquoi le "+1" de "E(kx)<kx+1" devient n/n^2 et donc 1/n ?

A la limite, le dénominateur qui devient n^2 je comprends, mais je n'arrive pas à voir pourquoi l'on multiplie le numérateur par n.....

J'ai dis Nicolas, mais si quelqu'un d'autre peut me répondre, je veux bien s'il vous plaît.

J'essaie d'effectuer une citation du texte pour vous indiquer à quel endroit je ne comprends pas :

Nicolas_75 @ 30-06-2007 à 02:45


On somme :
\frac{1}{n^2}x\Bigsum_{1\le k\le n}k\le\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\frac{1}{n^2}x\Bigsum_{1\le k\le n}k+\frac{1}{n^2}n

x\frac{n(n+1)}{2n^2}\le\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<x\frac{n(n+1)}{2n^2}+\frac{1}{n}


En espérant importuner personne, et que ma question ne soit pas trop bête,

Merci d'avance,

Cdt, Paulo.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 08:43

Bonjour,

Notons \lfloor x\rfloor=E(x)

Par définition de la partie entière :
\forall k,x,\;kx\le\lfloor kx\rfloor<kx+1

On somme sur k :
\sum_{1\le k\le n}kx\le\sum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\sum_{1\le k\le n}(kx+1)

On découpe la somme de droite en deux :
\sum_{1\le k\le n}kx\le\sum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\sum_{1\le k\le n}kx+\sum_{1\le k\le n} 1

\sum_{1\le k\le n}kx\le\sum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\left(\sum_{1\le k\le n}kx\right)+n

On divise chaque membre par n^2 :
\frac{1}{n^2}\sum_{1\le k\le n}kx\le\frac{1}{n^2}\sum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\frac{1}{n^2}\left(\sum_{1\le k\le n}kx\right)+\frac{1}{n}

On factorise par x dans les sommes de gauche et de droite :
\frac{x}{n^2}\sum_{1\le k\le n}k\le\frac{1}{n^2}\sum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\frac{x}{n^2}\left(\sum_{1\le k\le n}k\right)+\frac{1}{n}

On remplace \sum_{1\le k\le n}k par \frac{n(n+1)}{2} :
\frac{x}{n^2}\frac{n(n+1)}{2} \le \frac{1}{n^2}\sum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor < \frac{x}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{n}

On fait tendre n vers l'infini :
\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor=\frac{x}{2}

Nicolas

Posté par
Tireuuuuuu
re : encadrer une somme 19-11-20 à 18:15

Bonjour,

Nicolas_75 @ 19-11-2020 à 08:43

Bonjour,

Par définition de la partie entière :
\forall k,x,\;kx\le\lfloor kx\rfloor<kx+1


si x=2.1 et k=2
alors kx=4.2 et E(kx) = 4  ?
4.2<4  ?

je laisse des points d'interrogation car je ne suis pas sûr de ce que j'avance, mais j'ai créé un compte exprès pour pouvoir venir discuter de ça.

mes profs de maths négligent cette "définition de la partie entière" et sont d'accord uniquement avec kx-1<=E(kx)<=kx+1 mais à démonter avec une séparation de la partie Entière et de la partie Décimale.

J'étais pourtant, moi, opérationnel avec ce que tu disais, je trouve que tu maîtrises bien ton sujet et je te remercie par ailleurs pour cette réponse après 13 annnées.

Je ne sais pas utiliser Latex pour écrire de manière beaucoup plus lisible... désolé !

Cdt, Paulo.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 18:47

Tu as absolument raison. J'ai écrit une énorme bêtise.
Je reviens dans quelques minutes.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 18:50

Il faut partir de :
\forall k,x,\;\;kx-1 < \lfloor kx\rfloor \le kx
et dérouler le calcul de façon similaire à ci-dessus.

Posté par
Tireuuuuuu
re : encadrer une somme 19-11-20 à 18:55

Aucun soucis !

Nicolas_75 @ 30-06-2007 à 13:13



\forall%20k,x,\;kx-1<\lfloor%20kx\rfloor\le kx



Ici, si x est négatif, l'égalité est fausse également.

En fait, je crois que la première est valable lorsque x < 0
Et la deuxième, lorsque x > 0.

Mais lorsqu'on est dans grand R, la suggestion dans l'exercice (qui est similaire) est d'utiliser l'encadrement kx-1<Ent(kx)<kx+1 après l'avoir démontré.

En m'aidant de ce que tu as proposé il y a 13 ans, j'arrive à l'utiliser et à trouver un résultat qui me semble correct.

En revanche, je n'arrive pas à le démonter........

Merci encore.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 18:56

Comment obtient-on la relation du message précédent ?

Par définition, \lfloor kx\rfloor est l'unique entier tel que :
\lfloor kx\rfloor \le kx < \lfloor kx\rfloor +1 \;\;\; (1)

On a donc déjà : \lfloor kx\rfloor \le kx \;\;\; (2)

Par ailleurs, retranchons 1 à chaque membre de (1) :
\lfloor kx\rfloor - 1 \le kx-1 < \lfloor kx\rfloor

On vient de trouver : kx-1 < \lfloor kx\rfloor \;\;\; (3)

En combinant (2) et (3), il vient
kx-1 < \lfloor kx\rfloor \le kx
qui est la relation du message précédent.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 18:59

Selon moi, la "bonne" inégalité de départ est bien la nouvelle :
\forall k,x,\;\;\;kx-1 < \lfloor kx\rfloor \le kx

Tu dis qu'elle est fausse pour x négatif.
Je ne crois pas.
Prenons x = -2,1 et k = 2.
Dans ce cas, kx = -4,2 et E(kx) = -5
On a bien -5,2 < -5 <= -4,2

Posté par
Tireuuuuuu
re : encadrer une somme 19-11-20 à 19:04

Ok, je croyais que la partie entière de (-4.2) était égale à 4 et non à 5 !

Alors, cet encadrement sera vrai quelque soit x, k appartenant à grand R.

Je vais appliquer pareil mais au lieu d'avoir +1/n à droite j'aurais -1/n.

Tu saurais comment faire apparaître kx+1 à droite de l'encadrement à la place de kx ?
Sinon, aucun problème et merci infiniment pour ces réponses hyper rapides.

Cdt, Paulo.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 19:05

Tu veux partir de :
kx-1 < E(kx) < kx + 1
pour x grand dans R.

Cela me semble vrai.

Cependant deux remarques...

(1) Tout d'abord, il est inutile de supposer x grand dans R. C'est aussi vrai pour x négatif. En fait, c'est vrai pour tout x.

(2) Cette double-inégalité est plus "large" / moins précise que celle que j'ai démontrée ci-dessus :
kx-1 < E(kx) =< kx
Elle en découle immédiatement.
En effet, si kx-1 < E(kx) =< kx (ce que j'ai démontré ci-dessus), alors en ajoutant 0 < 1 à l'inégalité de droite, il vient :
kx-1 < E(kx) < kx+1 (ton point de départ)

D'un point de vue mathématique, il me semble plus naturel de partir de
kx-1 < E(kx) =< kx
qui est l'inégalité qui "colle le plus" au sujet.

Mais kx-1 < E(kx) < kx+1 n'est pas faux.

Posté par
Tireuuuuuu
re : encadrer une somme 19-11-20 à 19:06

Merci pour ces précisions alors.

Ravi de s'instruire... de nos jours !

A+ l'ami

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 19:07

Citation :
Ok, je croyais que la partie entière de (-4.2) était égale à 4 et non à 5 !

E(-4,2) est, par définition, le plus grand entier inférieur ou égal à -4,2. C'est donc -5 (et non pas 5 comme tu l'écris )
Une autre façon de voir les choses est qu'on arrondit -4,2 à l'entier inférieur : -5.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 19-11-20 à 19:07

Je t'en prie, et encore désolé pour l'erreur plus haut.

Posté par
Tireuuuuuu
re : encadrer une somme 19-11-20 à 19:12

Oui effectivement je n'ai pas précisé les " - " ("moins" phonétiquement parlant) pour en parler. Mais on s'était compris :p

Ce n'est pas que j'ignorais cela, mais dans la précipitation et avec des lacunes de concentration au bout de quelques heures, j'avais oublié que pour les chiffres négatifs, la partie entière s'arrondissait au chiffre d'en dessous... merci !!  

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