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encadrer une somme

Posté par
abdalnour
29-06-07 à 12:13

Bonjour,
l'exercice étudier lim qd n->+inf de
        k=n            
1/n2*E(kx)
        k=1
x R
J'ai compris comment encadrer une fonction partie entière. Mais comment faire avec la somme (déja que j'ai toujours eu du mal avec les sommes si quelqu'un pouvait me faire un petit rappel)
Merci d'avance

Posté par
Rouliane
re : encadrer une somme 29-06-07 à 12:22

Bonjour,

Encadrer la partie entière E(kx) puis somme ton inégalité de 1 à n

Posté par
abdalnour
re : encadrer une somme 29-06-07 à 16:30

ok j'essaie
kx-1<E(kx)kx
(kx-1)/n2<E(kx)/n2kx/n2
après je "somme"mon inégalité comme tu dis lol

(kx-1)/n2<E(kx)/n2kx/n2
Comment fait-on les limites des sommes?Je suis un peu perdu avec k x et n.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 29-06-07 à 16:35

Bonjour,

\Bigsum k se calcule, non ?
Donc tu peux trouver une forme close/explicite pour le membre de gauche et de droite.

Nicolas

Posté par
moctar
re : encadrer une somme 29-06-07 à 17:49

Bonsoir,
j'ai essayé de résoudre ce problème et je trouve une limite égale à x.
Est cela ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:01

Je ne crois pas. As-tu vérifié avec ton tableur préféré ?

Je note \lfloor x\rfloor=E(x)

Par définition de la partie entière :
\forall k,x,\;kx\le\lfloor kx\rfloor<kx+1
On somme :
\frac{1}{n^2}x\Bigsum_{1\le k\le n}k\le\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\frac{1}{n^2}x\Bigsum_{1\le k\le n}k+\frac{1}{n^2}n

x\frac{n(n+1)}{n^2}\le\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<x\frac{n(n+1)}{n^2}+\frac{1}{n}
Donc :
\fbox{\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor=\frac{x}{2}}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:02

Bon petit dej Nicolas (c'est l'heure non ? )

Le message qui sert à rien

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:04

Je viens de finir !

Bonjour Kevin

Message utile : il sert à saluer mon infophile préféré (qui ne dort jamais ?)

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:09

Merci Nicolas

Bonne journée alors

Kévin qui ne dort pas beaucoup

Posté par
john_kennedy
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:30

heu tu prends ton ptit dej à 2h du matin?
Je me croyais leve tôt, là c'est du nulle part ailleurs!

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:33

john > Nicolas est en Chine

Posté par
john_kennedy
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:39

aaaaaaah d'accord je comprend mieux, merci kévin ^^

par contre ce que je ne comprends moins, c'est le résultat de la limite!

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:43

A gauche Nicolas a du oublier un 2 au dénominateur, c'est ça que tu ne comprends pas ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:45

D'où le "sauf erreur" !

Merci Kévin.

Je note \lfloor x\rfloor=E(x)

Par définition de la partie entière :
\forall k,x,\;kx\le\lfloor kx\rfloor<kx+1
On somme :
\frac{1}{n^2}x\Bigsum_{1\le k\le n}k\le\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<\frac{1}{n^2}x\Bigsum_{1\le k\le n}k+\frac{1}{n^2}n

x\frac{n(n+1)}{2n^2}\le\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor<x\frac{n(n+1)}{2n^2}+\frac{1}{n}
Donc :
\fbox{\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}\Bigsum_{1\le k\le n}\lfloor kx\rfloor=\frac{x}{2}}

"Sauf erreur".

Nicolas

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:45

D'ailleurs à droite aussi sauf erreur

Après on utilise les gendarmes

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:46

Ah ben voila

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:47

C'est ce qui arrive quand on tape du LaTeX avant le café du matin.

Posté par
john_kennedy
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:49

Exact, je me disais bien qu'il manquait quelquechose !

Moi je vais me pieuter, mon cerveau turbine très mal

** Schumi qui me guette pour un nouveau défi tordu **

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:50



Moi faut pas que je traine trop longtemps sinon il va me falloir un bol de café demain

Bonne journée Nicolas et bonne nuit john

Posté par
john_kennedy
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:53

Thanks!
Par contre, fais gaffe Kévin, tu vas devenir narcoleptique à ne pas dormir assez

Bonne nuit ^^

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 02:55

Narcoleptique, c'est noté

Non mais je me mets en condition pour l'année prochaine

Tu vas en prépa ?

Prend mon adresse plutôt pour discuter si tu veux

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 03:07

En prépa, il faut dormir !!!
"Le sommeil est la moitié de la réussite" dixit ma maman.

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 03:09

dixit la mienne aussi

Sur ce j'y vais, à bientôt

Posté par
mikayaou
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:04

Salutatous !

Avec tous ces cafés bus à des z'heures z'indues, c'était plus dans expresso - que dans lycée/autre - qu'il fallait mettre ce topic

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:53

A l'instant même, je reviens d'un Starbuck où j'ai bu un... double-expresso !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:53

Mais 09h53, z'est pas z'indu !

Posté par
mikayaou
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:54

ah! les Starbuck, c'est comme les Mac Do', y'en a partout ...

Salut Nicolas

Posté par
mikayaou
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:55

...je crois comprendre, Nicolas... (9:53 et pas ...)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:56

Bonjour mikayaou !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:57

Il n'y avait rien à comprendre. Café à 09h53, heure de l'Île, 16h53, heure locale.

Posté par
mikayaou
re : encadrer une somme 30-06-07 à 09:58

désolé, je n'avais pas bien lu un certain mail

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:00

Lequel ? Je suis intrigué. (Réponds par mél privé si tu veux)
Pour la petite histoire, j'étais allé chez le coiffeur. Désolé. Juste histoire de meubler un peu en cette période estivale.

Posté par
abdalnour
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:01

Merci Nicolas pour ta correction,
donc t'as sorti le x parce que c'est un constante? Je note,je savais même pas qu'on avait le droit de faire ça.
Ensuite par contre je suis désolé mais je sais pas comment t'as fait pour enlever le signe somme?Faut-il apprendre par coeur
k=n
=n(n+1)/2       ???
k=1

Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:04

Je t'en prie.

Citation :
donc t'as sorti le x parce que c'est un constante?

Oui. Cela s'appelle une factorisation.
\Bigsum_{1\le k\le n}(x.a_k)=x.a_1+x.a_2+...+x.a_n=x(a_1+...+a_n)=x\Bigsum_{1\le k\le n}a_k

Citation :
Faut-il apprendre par coeur

Oui. Et savoir le redémontrer.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:05

Soit S = 1 + 2 + ... + n
On écrit S "dans les deux sens" :
S = 1 + 2 + ... + n
S = n + ... + 2 + 1
On additionne membre à membre :
2S = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
2S = n(n+1)
S = n(n+1)/2

Posté par
mikayaou
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:09

Un sacré gosse, ce Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:11

Je suis de plus en plus perdu...

Posté par
abdalnour
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:14

mdr c'est moi qui suit censé dire "je ss de plus en plus perdu"
non non c'est bien je comprends c'est intéressant et puis c'est vrai que c'est une factorisation en fait merci parce que j'avais pas "tilté".
Merci beaucoup nico je vais enregistrer cette conversation.

Posté par
mikayaou
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:15

soit je n'ai pas compris ton 10:11 ( second degré non décellé ? ), soit je rappelle que la méthode que tu emploies à 10:05 est celle qu'a inventé Gauss à même pas 10 ans

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:16

Je t'en prie, abdalnour
(Mon message en petites lettres s'adressait à mikayaou )

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:18

Citation :
je rappelle que la méthode que tu emploies à 10:05 est celle qu'a inventé Gauss à même pas 10 ans

Elle est superbe, non ? Si tu sous-entends que j'ai le niveau qu'avait Gauss à 10 ans, je prends cela comme un formidable compliment.

Ton "Un sacré gosse, ce Nicolas" faisait donc référence à Gauss ?

10h11 : "Je suis de plus en plus perdu..." faisait référence à "Un sacré gosse, ce Nicolas" peut-être maintenant compris , mais surtout à "désolé, je n'avais pas bien lu un certain mail" toujours nébuleux.

Posté par
mikayaou
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:21

ah Nicolas ! pas bien réveillé ( ou trop fatigué )

je dois malheureusement vous quitter pour le WE sans net pour moi et vous le souhaite radieux :bof:

Cherche bien, Nicolas : tu devrais trouver ...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 10:23

Bon week, mikayaou.
Et merci de cette JFF rien que pour moi.

Posté par
moctar
re : encadrer une somme 30-06-07 à 12:37

Bonjour,
Nicolas_75
Pourquoi tu dis que 4$kx\le E(kx)<kx+1
C'est pas cette définition que j'ai de la partie entière.
Je pense que tu as donné la définition de la partie entière par excès,non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : encadrer une somme 30-06-07 à 13:13

Décidément, c'est la journée.
Merci d'avoir relevé.

\forall%20k,x,\;kx-1<\lfloor%20kx\rfloor\le kx

La suite est similaire

Posté par
moctar
re : encadrer une somme 30-06-07 à 13:33

ok,je revérifie mes calculs

Posté par
moctar
re : encadrer une somme 30-06-07 à 18:43

Nicolas_75>>
quand tu dis que 4$x\frac{n(n+1)}{n^2}\le \frac{1}{n^2}\Bigsum_{k=0}^n E(kx)<x\frac{n(n+1)}{n^2}+\frac{1}{n} alors la limite est bien x car:

4$\lim_{n\to +\infty} x\frac{n(n+1)}{n^2}=\lim_{n\to +\infty} x\frac{n(n+1)}{n^2}+\frac{1}{n}=x

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 18:44

moctar > Nicolas a rectifié, il avait oublié le 2 au dénominateur

Posté par
moctar
re : encadrer une somme 30-06-07 à 18:47

désolé,j'avais pas vu.
Merci

Posté par
infophile
re : encadrer une somme 30-06-07 à 18:49

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