Niveau première

eNCORE DES suitess!

Posté par jud (invité) 23-04-05 à 14:15

Bonjour, merci de m'aider...

On considére la suite des nb entiers U1+=16 U2=1156 U3=111556 U4=11115556.
On passe du nb Un au nb U(n+) en intercalant 1 et 5 au milieu de Un.
Soit Un la suite de nbs entiers aisi définis.
a.Déterminé la racine carrée de chacun des 4^premiers termes( je l'ai fait): U1=4 U2=34 U3=334 U4=3334
b.Soit A le nb qui s'écrit avec n-1 chiffres 3 suivis d'un chiffre 4.
Prouver que A-1 est la somme des termes d'une suite géométrique dont on indiquera le premier terme et la raison.
c.En déduire que A=1/3(10^n-1)+1 puis que A^2=1/9(10^2n-1)+4/9(10^n-1)+1.
d.Détreminer l'expression du terme général de la suite Un sous la forme d'un carré.

MERCI BOKOUUUU

Posté par jud (invité)EXERCICE costaud sur les suites... 24-04-05 à 14:16

bONJOUR,JE pense que mon sujet n'a pa été envoyé parce ke ca fé 2 jour kil i é é ocune réponse..
Voila la consigne:

On considére la suite de nombres entiers
U1=16 U2=1156 U3=111556 U4=11115556.
On passe de Un au nombre Un+1 en intercalant 1 et 5 au milieu de Un.
Soit Un la suite de nbs entiers ainsi défini.

a.Déterminer la racine carrée de chacun des 4 premiers termes de la suite.
b.Soit A le nb qui s'écrit avec n-1 chiffres 3suivis d'un chiffre 4 . pROUVER QUE A-1 est la somme des termes d'une suite géométrique dont on indiquera le premier terme et la raison.
c.En déduire que A=1/3(10^n-1)+1
puis que A^2=1/9(10^2n - 1) + 1
d.Déterminer l'expression du terme général de la suite Un sous la fomr d'un carré.

MERCI...

*** message déplacé ***

Posté par re : eNCORE DES suitess! 24-04-05 à 14:20

Bonjour

extrait de la FAQ du forum :

Q02 - Personne n'a répondu à ma question. Puis-je la reposter à nouveau ?

Posté par jud (invité)re : eNCORE DES suitess! 24-04-05 à 19:26

qUelqu'un peut m'aider pour ce probléme SVp, c pr LUNDI é je n'y comprend rien, mm la consigne, je ne compren pa

MERCI

Posté par re : eNCORE DES suitess! 24-04-05 à 20:33

Salut Jud ,

Tu sais, si on ne répond à ton problème, ce n'est pas forcémment parce qu'on a pas reçu ton message, mais peut-être parce-qu'on y arrive pas, ou qu'on est en train, tout simplement d'y réfléchir .
Enfin voilà . Je vais essayer de t'aider.

a - Déterminer la racine carrée de chacun des 4 premiers termes de la suite.
Alors là, tu l'avais déjà fait. On obtient bien :

$2$\rm~\sqrt{u_1}~=~\sqrt{16}~=~4$
$2$\rm~\sqrt{u_2}~=~\sqrt{1156}~=~34$
$2$\rm~\sqrt{u_3}~=~\sqrt{111556}~=~334$
$2$\rm~\sqrt{u_4}~=~\sqrt{11115556}~=~3334$

b - Soit An le nombre qui s'écrit avec n-1 chiffres 3 suivis d'un chiffre 4 . Prouver que An-1 est la somme  des termes d'une suite géométrique dont on indiquera le premier terme et la raison.
On remarque tout d'abord que :
$2$\rm~A_1~=~4~~ie~~A_1-1~=~3$
$2$\rm~A_2~=~34~~ie~~A_2-1~=~33$
$2$\rm~A_3~=~334~~ie~~A_3-1~=~333$
$2$\rm~A_4~=~3334~~ie~~A_4-1~=~3333$
etc...

Par hypothèse, 4 est toujours le chiffre des unités, donc An-1 est le nombre qui s'écrit avec n chiffres 3. Or :

$2$\rm~A_n-1~=~3333....3~=~3\times10^n~+~3\times10^{n-1}~+~3\times10^{n-2}~+~...~+~3\times10^2~+~3\times10^1~+~3\times10^0$

On reconnait ici la somme des termes d'une suites géométrique de raison 10 et de premier terme 3.

c - En déduire que   $2$\rm~A~=~\frac{1}{3}(10^n-1)+1$    puis que   $2$\rm~A^2~=~\frac{1}{9}(10^2n~-~1)~+~1$
Et bien, on a vu que An-1 était la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de raison 10 et de premier terme 3. On a donc :

$2$\rm~A_n-1~=~3\times\frac{1-10^{n}}{1-10}$
ie   $2$\rm~A_n-1~=~3\times\frac{1-10^{n}}{-9}$
ainsi   $2$\rm~A_n~=~-\frac{1}{3}(1-10^{n})~+~1$
donc   $2$\rm~A_n~=~\frac{1}{3}(10^{n}-1)~+~1$

Voilà, ensuite pour la deuxième partie de la question :

$2$\rm~(A_n)^2~=~(\frac{1}{3}(10^{n}-1)~+~1)^2$
ie   $2$\rm~(A_n)^2~=~(\frac{1}{3}10^{n}-\frac{1}{3}+1)^2$
d'où   $2$\rm~(A_n)^2~=~(\frac{1}{3}10^{n}~+~\frac{2}{3})^2$
par conséquent   $2$\rm~(A_n)^2~=~\frac{1}{9}10^{2n}~+~\frac{4}{9}10^n~+~\frac{4}{9})$
ainsi   $2$\rm~(A_n)^2~=~\frac{1}{9}10^{2n}~+~\frac{4}{9}(10^n+1))$

(Je pense que mon resultat est juste, mais ce n'est pas ce que l'on te demande de montrer dans ton énoncé. Pourrais-tu vérifier ton énoncé et me dire si c'est juste ou non)

d - Déterminer l'expression du terme général de la suite Un sous la fomr d'un carré.
Par hypothèse, on a :

$2$\rm~A_n~=~\sqrt{U_n}$
ie   $2$\rm~U_n~=~(A_n)^2$
ainsi   $2$\rm~U_n~=~\frac{1}{9}10^{2n}~+~\frac{4}{9}(10^n+1)$
en factorisant par 9   $2$\rm~U_n~=~\frac{10^{2n}+4\times10^n+4}{9}$
donc   $2$\rm~U_n~=~\frac{(10^n+2)^2}{9}$

Voili, voilou .
J'attend ta réponse pour la question c).

À +

Posté par jud (invité)re : eNCORE DES suitess! 25-04-05 à 00:43

Ouii dsl vous avez raison, j'ai mal lu la consigne mais l'égalité est:
A^2=1/9(10^2n - 1) + 4/9 ( 10^n - 1) + 1

VOILA

Posté par re : eNCORE DES suitess! 25-04-05 à 01:47

Re-Salut ,

Alors en fait mon résultat est tout à fait juste. En effet, on se rend compte que l'on a :

$2$\rm~A_n~=~\frac{1}{9}\times10^{2n}~+~\frac{4}{9}(10^n+1)$
ie   $2$\rm~A_n~=~\frac{1}{9}10^{2n}+\frac{4}{9}\times10^n~+~\frac{4}{9}$
or   $2$\rm~\frac{4}{9}~=~-\frac{1}{9}~-~\frac{4}{9}~+~1$
ainsi   $2$\rm~A_n~=~\frac{1}{9}10^{2n}-\frac{1}{9}~+~\frac{4}{9}\times10^n-\frac{4}{9}~+~1$

finalement, en factorisant   $2$\rm~A_n~=~\frac{1}{9}(10^{2n}-1)~+~\frac{4}{9}\times(10^n-1)~+~1$

Et voilà .
Si tu as encore des questions, n'hésite pas .
J'espère avoir pu t'aider.

À +

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