il n'est pas possible d'avoir un triangle rectangle dans un coin, d'aire 1/4 et d'hypoténuse < 1 ...
en effet soient x et y les cotés de ce carré

xy/2 = 1/4 et donc xy = 1/2
c² = x² + y² = (x+y)² - 2xy = (x+y)² - 1
le minimum de c, donc de x+y, avec xy = 1/2 = constant est lorsque x = y = 1/2
et alors c² = 1/2 + 1/2 = 1

AMHA le seul espoir pour n = 4 est une topologie de ce genre :


bien entendu ça ne marche pas avec un triangle équilatéral centré (idem pour l'hexagone de ma tentative de n = 7)

E et F sont ici totalement libres (4 degrés de liberté : leurs coordonnées )
G n'a plus alors qu'un seul degré de liberté : l'aire de EFG = 1/4 impose G sur la droite en pointillé parallèle à EF

on veut imposer les aires bleues et vertes par exemple = 1/4 (et alors l'aire orange est forcément ce qui reste =1/4)
et les deux égalité EM = FN et FN = GP pr exemple (et alors par transitivité EM = GP)
donc 4 contraintes pour 5 degrés de liberté, on peut espérer que ce sera possible
quant à calculer tout ça ...

Ca brûle ...

Je pense que la solution ne doit pas être loin de cette "chose"
(à paramétrer...)

grillé par mathafou (j'étais sur une cession précédente..

Avec  Héron  on peut avoir  EFG  par exemple  0.81  0.7  0.78  (dans
ma figure  ) puis bidouiller ,
Je pense qu'un de nos excellents participants trouvera le système d'équations ....

mon bidouillis geogebra en l'état actuel :

plutôt que d'avoir E et F libres avec chacun 2 degrés de liberté et G un seul (sur un droite définie par E et F imposant aire de EFG = 1/4,
je choisis :
M un seul degré de liberté sur BC et P un seul degré de liberté sur AD
puis E (un seul degré de liberté) sur la parallèle à (MP) imposant aire de ABMEP = 1/4
je construis alors G avec PG = EM
puis F sur la parallèle à EG imposant aire(EFG) = 1/4

il ne reste plus que avec ces trois degrés de liberté sur M, P, E à chercher à atteindre FN égal à PG=EM et aire de CMFN = 1/4
(et l'aire du reste DPGN sera automatiquement 1/4 aussi)

donc 2 contraintes pour 3 degrés de liberté.
mais hélas rien n'est indépendant, en ajustant pour avoir la longueur, ça détruit l'égalité de l'aire et ajuster ça n'est pas si facile ...
ici c'est ajusté à 0.01 près seulement

De mon coté ,j'ai fait des bidouillages  me donnant  EM=PG=NF 8.75 est-ce que derny peut confirmer....

tu veux dire 0.875 (par rapport au coté 1 du carré) ...

comme il y a un degré de liberté de plus que de contraintes, il est fort possible qu'il y ait plusieurs valeurs.
et peut être même une définissable de façon exacte (par radicaux)

j'arrive à EM = FN = GP = 0.90364 à 0.5 10^-5 près et les aires égales aussi à 0.5 10^-5 près.
améliorer ça avec un gros zoom et souris sur Geogebra est compliqué
améliorer la précision serait en définissant M, N, E de ma construction par trois variables numériques, u et v ordonnées de M et P et t = abscisse de E, au lieu de déplacer à la souris
à suivre ...

Voici mon bidule avec une grille de 10x10   (ne pas oublier de diviser par 10 ...°

On ne doit pas être trop loin (mais je reste à l'écoute )

Bon,il ne pleut plus ---stop

C'est moins que 0.9 et plus que 0.875

Quand on fait bouger un peu les lignes , on voit qu'il y a des solutions inférieures à 1 . Il y a en a sans doute une en radicaux mais ce n'est pas l'objectif principal : quelle est la plus petite ???

Imod

J'ai répondu avant de voir l'intervention de Derny , je pense que l'ensemble des valeurs possibles est un intervalle contenant donc une infinité de solutions rationnelles .

Imod

C'est le seul n où il n'y a pas de centre de symétrie.
Je donne ma solution.
A l'époque j'avais essayé de trouver l'équation finale qui aurait donné la solution. Mais les équations étaient grande comme la table et cela devenait vraiment trop lourd à manier. Alors j'ai rentré mes équations dans l'ordinateur qui, par approximations successives par ricochets d'une équation à l'autre, le système a fini par se stabiliser à la valeur 0.89949075. je n'était pas sûr des décimales suivantes qui n'étaient pas stables. Essayez avec géogébra de rentrer cette valeur et voyez le résultat. Joli casse-tête non ?

Merci
A  demain...

Bonjour,
Après de nombreux ajustements et connaissant  le segment à 0.899
j'arrive à un montage a peu près correct avec un triangle central
EFG avec  EF0.825  ; FG 0.71  ;GE 0.758
Sans autre moyen de calcul je stoppe là

Dernière mouture que je propose de faire vérifier par les Géobristes.

Curieusement  le triangle central est presque isocèle.

les géogébristes (enfin au moins moi) déclarent forfait
comme déja dit il y a trop de paramètres à ajuster simultanément (pas de construction complète connue)

le mieux que j'ai est trois paramètres pour deux objectifs

même en fixant un des paramètres, il en reste deux à faire varier simultanément pour obtenir deux objectifs indépendants simultanés, alors que chacun des paramètres agit sur chacun des objectifs. bref la galère à ajuster

je n'ai même pas réussi à reproduire mon ajustement à 10^-5 près obtenu jadis (08-06-22 à 17:15) avec d'autres paramétrages :
par exemple, en fixant la longueur = 0.89949075, ni même à 0.8895, ni même à ma valeur du 08-06 à 17:15
0.889 étant à priori impossible si 0.89949075 est bien la plus petite valeur (0.899 < 0.89949075)

bien sur si on pouvait descendre à deux paramètres (dont un fixé arbitrairement) et un seul objectif, ce serait bien plus simple ...
mais je n'ai pas trouvé de telle construction.

ou se manger les équations et rentrer "ça" (même pas essayé de les écrire...) dans un logiciel de calcul formel :
celui de Geogebra, certes, au lieu d'utiliser Geogebra pour construire, l'utiliser pour calculer
ou Xcas (en fait à la base le même)
ou autres (Maxima, Wolfram/Mathematica etc)

De toute façon ,l'essentiel c'est d'avoir approché pour ce cas  4
et bravo! pour les formules des autres cas qui  ,elles, sont  exactes.

>derny
Comme tu sembles avoir trouvé le segment idéal0.9
As-tu essayé d'y adjoindre un triangle équilatéral d'aire 0.25
soit de coté 0.759835685 ?

Suite,
Il faut oublier la tentative de triangle équilatéral d'aire 0.25.
En effet son inclinaison idéale de 20.428°  en tenant compte des "bouts" vérifie bien une aire de 0.25 pour le quadrilatère ,mais  0.251
pour le quadrilatère adjacent et donc 0.249 pour le troisième

de toute façon je n'ai pas franchement compris ton histoire de triangle équilatéral
tu parlais de EFG (des figures précédentes) équilatéral ?
avec EM = FN = GP cela imposerait que MNP serait lui aussi équilatéral ...

comme les "bouts" MPE, NFM et PGN sont d'aires égales, cela imposerait que les parties de carré extérieures au triangle MNP seraient elles aussi égales.
quand M varie sur [une partie de] [BC], l'aire de ADNP est constante (le milieu J de NP est fixe, la demi somme des bases est constante) et égale à
les aires des deux triangles BMP et CNM sont toujours > celle de ADNP, avec égalité quand P est en A (ou N en D)

... si EFG ...

Donc le découpage en 4  du carré par 3 segments égaux reste une énigme ,malgré la donnée ordinateur de la longueur de ces segments
(cf derny )

@Mathafou

Tes deux triangles jaunes me rappellent d'autres problèmes bien plus compliqués . Si le grand triangle est équilatéral et que les longueurs NG , MF , PE sont  égales , est-ce que le petit est aussi équilatéral  ? même problème avec les angles .

Imod

Bien sûr si EFG est équilatéral sachant que FN=GP=EM  le triangle
NMP est est équilatéral.
C'est ainsi que j'ai abandonné cette solution:
Derny semble sûr de son 0.8994...
l'équation du second degré se résoud pour les cotés de EFG=0.7598...
Ce qui donne 0. 13965... pour les "bouts"MF ,PE et NG.
Sachant que l'aire de BPEM doit être 0.25 ,on calcule que l'angle de  EM avec AB est 20.4288 ...°
Hélas avec les angles et les segments connus ou calculés ,le quadrilatère FMCN  a une aire de 25.145°.
La piste est fausse!

une aire de  0.25145