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Niveau énigmes
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Encore un partage du carré

Posté par
derny
06-06-22 à 13:05

Bonjour.
(Ce pb traîne dans mes archives depuis plusieurs dizaines d'années sans que personne ne le pose alors le voici) :
Comment partager un carré unité en n surfaces égales à l'aide de (n-1) segments de droite de même longueur minimale ?
On peut blanker dans un premier temps

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 06-06-22 à 17:42

Bonjour,
Je sais que c'est ton genre préféré

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Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 06-06-22 à 18:21

Bonjour

Pour n=3 je verrais bien

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Imod

Posté par
verdurin
re : Encore un partage du carré 06-06-22 à 18:41

Bonsoir,

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Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 06-06-22 à 19:33

@Verdurin , je ne suis pas sûr du tout car avec l'augmentation du nombre de parts , on augmente grandement le nombre de paramètres et même si les aires et les longueurs de coupes doivent rester égales on dispose d'une grande flexibilité .  Ce problème dans sa généralité est sans doute trop difficile , personnellemnt je me contenterai de savoir à partir de quel n ( s'il existe ) , la longueur de coupe est strictement inférieure à 1 .

Imod

Posté par
derny
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 08:49

Bonjour
dpi, un bon début mais, à tous, c'est la suite qui est intéressante.

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 08:49

Je pense que le saucissonnage  par tranches de 1 est battu  par <1 à partir de n? mais seul un puissant calcul le prouvera ,c'est le genre de problème qui nous fait douter

Posté par
derny
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 09:00

Si la réponse était 1 pour tout n, le problème n'aurait aucun intérêt.
Pour prouver qu'on peut faire moins que 1 la démonstration est très simple et ne nécessite aucun calcul.
Vu la valeur des intervenants de ce forum, je vous laisse cogiter un peu avant d'intervenir à nouveau.

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 10:04

On cogite ,on cogite !

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Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 10:11

En effet , 9 parts sans trop forcer :

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Imod

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 10:28

La même idée fournit bien d'autres solutions :

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Imod

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 10:35

Une tentative qui approche et qui nous fait croire aux solutions

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Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 10:39

>Imod
J'aime bien la solution /2

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 11:08

On peut remarquer que si on accepte moins de n-1 segments pour faire n parts on crée d'autres solutions ( par exemple dans le cas à 8 parts ) .

Imod

PS : Il serait peut-être temps d'enlever les blanks et et repérer les meilleures solutions trouvées

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 11:48

bonjour,

sous forme de plaisanterie :

Encore un partage du carré

6 régions avec 5 segments égaux ... "qui dépassent"

(égaux à \sqrt{\dfrac{2}{3}} \approx 0.816)

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 11:59

Je ne trichais pas

8 parts avec 6 segments de même longueur dans le carré :

Encore un partage du carré
Imod

Posté par
derny
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 12:00

Ca a cogité en effet. On avance. J'aurais du préciser que, dans l'esprit de ce casse-tête les segments ne peuvent se croiser sinon cela fait 2 segments. Ni ne doivent sortir du carré.
Imod a trouvé les solutions valables pour tout n de 8 à l'infini. Reste n= 4 à 7.

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 12:13

Tu vas bien vite Derny

J'ai donné une solution pour n=8 et n=9 ( est-ce la meilleure ) , le procédé se généralise-t-il si facilement ?

Sinon d'accord , il reste n= 4 à 7 et là il faut clairement changer de stratégie ou accepter L=1

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 12:53

la généralisation de la méthode de Imod conduit à des segment qui tendent vers 1 quand n (8) augmente indéfiniment. certes ils sont tous < 1 ...

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Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 14:38

>mathafou
J'ai essayé pour n =7 et comme j'avais un blocage ,je suis allé voir ton
blank pour n=12.

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 15:03

dpi si, si
NA = 1-MN, non
NA= 1-DN

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 15:06

PS, ça ne marche pas bien entendu pour n < 8 ...
Z² - Z + 2/7 = 0 a un Delta = 1 - 8/7 <0 ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 15:52

pour n = 5 c'était archi connu ...
tellement que je n'y avais même pas pensé de prime abord

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Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 16:08

et dans la foulée le "presque pareil" n = 6

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Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 18:04

Ouahhh , du coup ça va très vite avec Mathafou .

Si je n'ai rien raté , il manque juste le cas n=7 . Il faudrait bien sûr prouver qu'on atteint bien le minimum dans chaque cas mais là ça semble hors de portée .

Imod

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 18:05

>mathafou
Mes plus plates excuses  DN=0.78867513 et NA=0.21132477  l'aire du triangle est bien 1/12

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 18:26

Pour n= 7 ,je pense qu'il est inutile de chercher car notre vénérable JP  a démontré en aout 2005 que c'était impossible pour un rectangle (cf page 3776 "supérieur")

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 18:37

Pour 4 ( que j'ai oublié ) je verrais bien un truc comme ça :

Encore un partage du carré
Imod

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 18:41

@Dpi , un lien direct ici serait sans doute plus commode , non ?

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 18:46

oui, il reste n = 7 (et prouver ou infirmer que n = 2, 3 ou 4 impose une longueur de 1)
Je n'ai pas trop le temps de chercher pour l'instant n =7, mais on pourrait peut être imaginer un truc du genre :

Encore un partage du carré
je ne blanque pas "ça" car en l'état les aires ne sont pas égales et les segments non plus

on peut imaginer que les 12 degrés de liberté (2 coordonnées x 6 sommets) de l'hexagone central permettraient, ou pas, avec beaucoup de chance, de satisfaire les 6 égalités d'aires (la 7ème étant alors forcément bonne)
et les 5 égalités de segments (a=b=c=d=e= f ça fait 5 égalités)
... ou prouver que ça ne marche pas...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 18:51

le n = 4 de Imod à l'instant est avec une longueur de 1
la plus petite hypoténuse d'un triangle rectangle d'aire 1/4 est 1 lorsque ce triangle rectangle est isocèle.

ah bein si n=7 a été démontré impossible ...

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 19:05

Mince , avec 2/3 et 3/4 pour les segments verts et bleus , je dépassais à peine 1 et j'avais un petit espoir

Pour n=7 , j'attends le lien de Dpi , je ne vais pas fouiller dans les archives du supérieur

Imod

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 19:17

@Mathafou : Pour n=7 , tu as sans doute essayé avec un hexagone régulier au centre ?

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 19:20

un hexagone régulier ne marche pas
ni pour les aires, ni pour les longueurs.

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 19:27

D'accord , en tout cas ta figure a clairement un centre de symétrie , centre de l'hexagone .

Imod

Posté par
derny
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 21:30

Bonsoir à tous
Le travail collectif paye. Ca avance. Je suppute que bientôt n=7 tombera. Il serait bien aussi de donner les valeurs exactes du segment pour tous ces cas car pas insurmontable.
Quand tout cela sera fait, le plus dur restera à faire ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 07-06-22 à 23:37

valeurs exactes en l'état actuel :

 Cliquez pour afficher

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 00:54

le lien cité par dpi est Partage de surface en 7 parts égales
mais ça ne correspond pas au présent problème puisqu'il s'agissait de partager en 7 par 3 droites
et pas par 6 segments non sécants, pas forcément alignés sur 3 droites, et de plus égaux.

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 08:31

J'ai voulu redémontrer comment arriver  à  la formule de mathafou
pour n 8
On part de l'idée qu'un triangle rectangle sera dans la figure....

 Cliquez pour afficher

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 08:46

petite confusion..

 Cliquez pour afficher

Posté par
derny
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 09:43

Bonjour
Je vois que dpi est à l'ouvrage de bon matin.
Je pense qu'à partir de maintenant il est inutile de Blanker.
Je ne comprends pas pourquoi n=7 vous résiste. J'ai la même solution, mutatis mutandis, que celles pour n=5 et n=6. Cependant, il se pourrait qu'une solution du genre mathafou le 07/06/22 18h46 soit meilleure. Pour ce genre de vérifications les calculs sont coriaces et doivent se terminer par l'ordinateur. J'ai à peine commencé et je ne sais pas si j'aurais le temps.
Quand je dis que "...  le plus dur restera à faire", je ne pensais pas à ce cas mais au cas n=4 car d=1 n'est pas la solution.

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 10:19

Je pensais que 7 n'était pas possible ,mais puisque dernyEncore un partage du carré a une
solution ,cela vaut la peine de persister (temps pluvieux).

Comme la nomme mathafou ,je pense à cette "chose"

Posté par
derny
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 10:26

Oui dpi.
Coup de pouce :
Jusqu'à présent toutes les solutions ont un centre de symétrie.
Pour les cas n=5 à n=7 on démontre (en dérivant) qu'il faut partir au milieu des côtés.
Les segments à l'intérieur du carré intérieur peuvent être disposés de différentes façons.

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 11:06

J'étais sur le même type de figure que Dpi

Encore un partage du carré

Le raisonnement est assez simple , on place le carré central de façon à ce que son aire soit 3/7 puis on choisit comme base du trapèze 1/3 du petit carré .

Après , pour une preuve du minimum j'ai de sérieux doutes

Imod

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 11:10

Edit : la base du parallélogramme est le tiers du côté du petit carré .

Imod

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 11:20

grillé parImod
mais "comme base du trapèze 1/3 du petit carré" ??? pas d'accord edit : vu par lmod entre temps

quand j'ai modifié le cas n = 5, issu d'une démonstration visuelle classique du théorème de Pythagore (Perigal) , pour obtenir n = 6, j'aurais du obtenir ce cas n = 7 "dans la foulée" .

Encore un partage du carré

les points de construction de la découpe du petit carré sont au tiers de sa médiane
le trapèze jaune a pour somme petite base + grande base = 2/3 du côté du petit carré (edit)
et l'inclinaison de son coté est définie par sa longueur = MN
la figure de dpi avec un trapèze central ne marche pas (télescopage)

Posté par
dpi
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 11:59

On arrive...( Ah si les gouvernants étaient aussi motivés !!)
Pour mémoire le petit coté des quadrilatères mesure  0.056377

Posté par
derny
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 12:04

C'est tout bon. Peut-être il faudrait voir si un autre schéma est meilleur pour n=7. Pour n=5 ou 6 je ne pense pas qu'il vaille la peine d'essayer d'améliorer.
Reste le "gros morceau" : le cas n=4. Foncez

Posté par
mathafou Moderateur
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 12:18

"petit coté des quadrilatères mesure 0.056377" erreur de recopie \dfrac{2\sqrt{7}-\sqrt{21}}{14}\approx 0.05{\red 0}6377
(edité)

Posté par
Imod
re : Encore un partage du carré 08-06-22 à 12:23

Je trouve que ça fonce déjà pas mal

Il n'y a pas tant de cas mais on a aussi parfois d'autres occupations . Pour n=4 , il me semble qu'il reste un seul cas de figure à étudier .

Imod

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