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Encore un peu d'arithmétique...(2)

Posté par
blang 27-07-09 à 20:47

Soit 3$ (x_n)_{n \in \mathbb{n}} la suite définie par 3$ (x_0;x_1;x_2;x_3) = (4;0;0;3) et la relation de récurrence 3$ x_{n+4}=x_{n+1}+x_n. Prouver que si 3$ p est un entier premier, alors 3$ x_p est divisible par 3$ p

Posté par
betatesterre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 31-07-09 à 11:55

Ce problème nous a déjà été proposé par kaiser : suite récurrente linéaire d'ordre 4

Posté par
blangre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 31-07-09 à 12:35

betatester> Merci pour la référence ! La preuve de Camélia est bien plus jolie que celle que j'avais trouvée (basée sur les formules de Waring). A noter qu'une preuve élémentaire de (p premier tr(Mp) tr(M) [p]) figure ici : Exo défi > Sorte de Fermat matriciel

Posté par
Camélia Correcteurre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 31-07-09 à 15:46

Bonjour

Qu'est-ce que c'est que de vieillir... Ca fait trois jours que je cherche... sans trouver!!!

Posté par
blangre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 31-07-09 à 16:06

Bonjour Camélia ! Et alors, comment trouves-tu ta solution ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 01-08-09 à 16:57

Super! j'aimerais quand même voir la tienne...

Posté par
blangre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 01-08-09 à 18:07

Camélia>

Je parviens à prouver en notant a, b, c et d les racines (distinctes) du polynôme caractéristique 3$ X^4-X-1 que pour tout n : x_n=a^n+b^n+c^n+d^n. J'utilise ensuite les formules de Waring (voir par exemple ici: ) qui donnent, pour n>0, l'expression du polynôme symétrique S_n=X_1^n+X_2^n+X_3^n+X_4^n en fonction des polynômes symétriques élémentaires \Sigma_1(X_1,X_2,X_3,X_4), \Sigma_2(X_1,X_2,X_3,X_4), \Sigma_3(X_1,X_2,X_3,X_4), et \Sigma_4(X_1,X_2,X_3,X_4) pour en déduire que pour tout n>0 :  3$ \fbox{x_n=n \times \sum_{3s+4t=n}^{} \frac{ \left( \begin{array}{c} s+t \\ s \end{array} \right)}{s+t}}. Or si 3s+4t=n avec n est premier, on voit que s+t et t sont premiers entre eux. Comme 3$t \left( \begin{array}{c} s+t \\ s \end{array} \right)=(s+t)\left( \begin{array}{c} s+t-1 \\ s \end{array} \right) , s+t divise 3$ \left( \begin{array}{c} s+t \\ s \end{array} \right) d'après le théorème de Gauss. Finalement 3$ \sum_{3s+4t=n}^{} \frac{ \left( \begin{array}{c} s+t \\ s \end{array} \right)}{s+t} est entier, ce qui prouve que xn est divisible par n quand n est premier.

Posté par
Camélia Correcteurre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 02-08-09 à 14:46

Merci blang, en effet, modestement, , je préfère ma démonstration!

En relisant le topic en question, j'ai été frappée par la collaboration et le type de discussion et d'élaboration de preuve, qui me paraissent vraiment intéressants. Vieillis-je vraiment, ou c'est devenu plus rare?

Posté par
blangre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 02-08-09 à 15:15

Camélia> Oui je reconnais que j'ai bourriné

Je suis resté un long moment sans venir sur l'île. Je ne saurais dire si c'est devenu plus rare. La période des vacances est sans doute toujours un peu creuse ?

Posté par
1 Schumi 1re : Encore un peu d'arithmétique...(2) 03-08-09 à 00:54

Vieillis-je vraiment, ou c'est devenu plus rare? >> Oui! (vieille blague de logique... J'ai pas pu m'empêcher... )

Posté par
Camélia Correcteurre : Encore un peu d'arithmétique...(2) 03-08-09 à 15:56

>Ayoub J'aurais préféré que tu répondes NON!


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