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ENIGMA 11: Constructeurs de lettres***

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
17-12-07 à 21:47

Bonsoir,

Ca fait longtemps que j'ai pas posté une énigme qui utilise un peu plus de mathématiques !


On va prendre n un entier naturel non nul...

On construit un alphabet à n caractères puis on forme les mots qui ne contiennent pas deux fois la même lettre.

Pouvez vous me calculer le nombre de mots ainsi formés?

Une petite précision aux bacheliers qui veulent s'intéresser à cette énigme:
On admet que: \rm\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=0}^n\frac{1}{k!}=e


ENIGMA 11: Constructeurs de lettres


A vous

P.S: Comme d'habitude, une petite démonstration mathématique est fortement recommandée pour avoir son smiley !

Posté par
Eric1
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 17-12-07 à 21:54

perdubonjour


les mots de 1 lettre: n
2 lettres: n*(n-1)
3 lettres: n*(n-1)(n-2)
..
mots de n lettres: n!

=(k=1 à n) (n!/k!)=n!(k=1 à n) 1/k!

si on suppose que n tend vers l'infini (comme suggéré par l'aide)
on obtient: e*n! mots

Posté par
jamo Moderateur
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 17-12-07 à 22:12

perduBonjour,

Nombre de mots à 1 lettres : n = n!/(n-1)!

Nombre de mots à 2 lettres : n*(n-1) = n!/(n-2)!

Nombre de mots à 3 lettres : n*(n-1)*(n-2) = n!/(n-3)!

...

Nombre de mots à n lettres : n*(n-1)*(n-2)*...*1 = n!/1!

Il suffit donc de faire la somme de tout ceci, en factorisant par n! :

N = n!*(1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... + 1/(n-1)!)

Cette expression n'est pas tellement simplifiable.

Et je ne vois pas trop à quoi sert l'indication de la limite à l'infini donnée dans l'énoncé, à part donner une approximation ...

Posté par
davidh
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 17-12-07 à 22:57

gagnéBonjour,

Pour un mot de 1 caractère, on a n mots possible.
Pour un mot de 2 caractères, on a n(n-1) mots possibles...

Pour un mot de k caractères, on a n!/(n-k)! mots possibles (avec k < n)

Pour un mot de n caractères, on a n! caractères.

En posant 0!=1, on obtient que le nombre de mots possible est  \bigsum_{k=0}^{n-1}{\frac{n!}{k!}}.

Ceci peut s'écrire comme une fonction de Bessel.

Merci pour l'énigme

Posté par
Ju007
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 17-12-07 à 23:21

gagnéBonjour,

Si on cherche le nombre de mots à k lettres dont toutes sont différentes, il est égal à \large{k! \(n \\k\)}.
En effet, il faut choisir k lettres parmi n (\(n \\k\)) à partir desquelles on réordonne les k lettres. (k!)

or \large k! \(n \\k\) = k! \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!}

d'où le nombre de mots au total est

\large \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!} = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(n-k)!} = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}

Bon je ne vois pas où e peut intervenir! A part qu'un équivalent en +infini est e.n! mais bon...

Ma réponse est donc \Large \fbox{ \clubsuit n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \clubsuit}. (moins 1 si on ne compte pas le mot vide)

Posté par
frenicle
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 18-12-07 à 08:05

gagnéBonjour

Soit k un entier compris entre 1 et n. Il y a C_{n}^k manières de choisir k lettres distinctes parmi les n que comporte l'alphabet, et k! façons de former un mot avec ces k lettres.

Le nombre M de mots cherché est donc :

3$ M = \sum_{k=1}^n C_{n}^k k! = \sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} k! = \sum_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!} = n!\sum_{k=1}^n \frac{1}{(n-k)!} = n!\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!}

3$ M = n!(e - \sum_{k=n}^{\infty} \frac{1}{k!}) = n!e - 1 - n!\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!}

Posons 3$ r = n!\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k!}

On a

3$ r < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^k} = \frac{1}{n}

Et donc, r < 1.

M est donc un entier compris entre n!e - 1 et n!e - 2.

M est donc la partie entière de n!e - 1.

Les premières valeurs de M sont : 1, 4, 15, 64, 325, 1956, 13699, 109600, 986409, 9864100, ...

Cordialement
Frenicle

Posté par
Nofutur2
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 18-12-07 à 10:16

gagnéLe nombre mots de k lettres sans répétition est égal au nombre d'arrangements A(n,k)=n!/(n-k)!.
Le nombre de mots total est donc égal à : Sn= Somme (k=1,k=n) n!/(n-k)!.
Sn= n ! [Somme (k=0,k=n-1) 1/k!]
Sn= n ![ [Somme (k=0,k=oo) 1/k!] - [Somme (k=n,k=oo) 1/k!]
Sn = n! [e-sn]= n!e-n!sn.
On peut donner un majorant et un minorant de n!sn.
sn= Somme (k=n,k=oo) 1/k!] < 1/n! [1+(1/n) + (1/n)2+(1/n)3+…..]=1/n! [1/(1-(1/n)] =1/[(n-1)!(n-1)], donc n !sn < n/(n-1)
Par ailleurs n ! sn = [1+ 1/(n+1)+ 1/(n+1)(n+2) + …]>1
Donc Sn est tel que :
(n !e) - n/(n-1)  < Sn < n!e -1
Le seul nombre entier de cet intervalle est E(n!e -1)= E(n!e) -1
Sn= E(n!e) -1

Posté par
gloubi
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 18-12-07 à 15:34

perduBonjour,

Pour n = 1, on a 1 mot ("a")
Pour n = 2, on a 4 mots ("a", "b", "ab", "ba")
Pour n = 3, on a 18 mots(3 façons de prendre 1 ou 2 lettres parmi 3, donc 3x4=12 mots de 1 ou 2 lettres, et 3! mots de 3 lettres).

On peut conjecturer que le nombres de mots qu'on peut réaliser avec n caractères, sans avoir 2 caractères identiques est: n.n!

C'est vrai pour n = 1, 2 et 3.
Si c'est vrai pour une valeur n donnée, le nombre de mot qu'on pourra créer avec n+1 lettres est:
(n+1).n.n! + (n+1)! =  n.(n+1)! + (n+1)! = (n+1).(n+1)!
(n+1 façons de choisir n lettres parmi n+1 et (n+1)! mots de n+1 lettres)

Ma réponse, donc: avec un alphabet de n lettres, on peut créer n.n! mots ne comportant pas deux fois la même lettre.

Avec 26 lettres, par exemple, on peut composer 26x26! 1028 mots sans deux lettres identiques.
(10 milliards de milliards de milliards, bonjour le dictionnaire!)

A+  

Posté par
simon92
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 18-12-07 à 17:30

perdubonjour monrow,
elle a l'air interéssante cette énigme,
on a un alphabet de n lettre
Il y a n mots a "1" lettres
Il y a n(n-1) mots a "2" lettres
Il y a n(n-1)(n-2) mots a "3" lettres
...
Il y a n(n-1)(n-2)...2 mots a "n-1" lettres
Il y a n! mots a "n" lettres
Donc on fait la petite somme
en bidouillant avec les factorielles, on a facilement:
S= n!\times \(\frac{1}{\Bigsum^n_{k=0} k!}\)
Voila, ca peut peut-être se simplifier mais le fond y est
Je voispas trop le rapport avec l'expression donnée pour les bacheliers, surtout que e étant un transitif, et le nombre de mots formés étant un naturel, y a quand même un truc bizarre: le nombre peut pas être lié a un transitif
bon, bah voila

Posté par
manpower
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 18-12-07 à 19:17

gagnéBonsoir,

Huumm, j'ai du mal à comprendre ce que vient faire le rappel !

Pour un entier naturel n, on peut former des mots de longueur k (1 \le k \le n).
Pour chaque longueur, sachant qu'il n'y a pas de répétition, et en tenant compte de l'ordre (on a affaire à des arrangements), on a A^n_k=\frac{n!}{(n-k)!}.

Ainsi, on a pour former l'ensemble des mots (intelligibles ou non), \bigsum_{k=1}^n A^n_k=\bigsum_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!} possibilités.
Après, on peut éventuellement travailler sur l'écriture de ce résultat...
\bigsum_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!}=n!\bigsum_{k=1}^n \frac{1}{(n-k)!}=n!\bigsum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{k!}=n!(1+\bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!})-1  ~ n!(1+e) lorsque n tend vers +\infty. (d'après le rappel, qu'on peut prouver par un DSE de ez)

Merci pour l'énigme.

Posté par
alexandros
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 18-12-07 à 21:06

perdun²x n puissance n²

Posté par
master_och
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 19-12-07 à 01:46

gagnéBonsoir Monrow

Pour avoir un mot à p caractères on a Anp possibilités, donc pour avoir n'importe quel mot on a p=1-->n Anp=p=1-->nn!/(n-p)! = n! .p=1-->n1/(n-p)! =
n! . p=0-->n-11/p!, or  un alphabet est d'habitude constitué de plus de 25 lettres donc n-1 est suffisament grand pour avoir p=0-->n-11/p! e
je réponds donc n!.e.

merci pour l'énigme .

Posté par
veleda
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 19-12-07 à 11:43

gagnébonjour,

avec n caractères sans lettres répétées on peut former des mots de longueur k 1kn;
pour former un mot de k lettres distinctes il faut
a) choisir k lettres parmi les n caractères de l'alphabet: il y a n \choose kchoix possibbles
b)former tous les mots possibles avec ces k lettres :il y en a k!
donc Nk le nombre de mots de longueur k répondant à la question est n\choose kk!
Nk=(n!/(k!(n-k)!))k!=n!/(n-k)!
Nn=n!/0!=n!
N1=n!/(n-1)!=n

le nombre de mots formés de lettres distinctes issues de l'alphabet à n caractères est égal à la somme des Nk
\bigsum_{k=1}^nn!/(n-k)!=n!\bigsum_{k=1}^n 1/(n-k)!

merci pour cette énigme mathématique j'espère ne pas avoir fait une de mes habituelles étourderies

Posté par
torio
ENIGMA 11: Constructeurs de lettres 19-12-07 à 13:27

gagné Il y a  n !/(n-1)! mots de 1 lettre
Il y a  n !/(n-2)! mots de 2 lettres
Il y a  n !/(n-3)! mots de 3 lettres
Il y a  n !/(n-4)! mots de 4 lettres
.etc....
Il y a  n !/(n-n)! mots de n lettres


On doit sommer tout ça et J.K. Horn a trouvé que cela fait :

[e*n ! -1]      où  [] est la partie entière

A+
Torio

Posté par
rogerd
Des lettres et des mots 19-12-07 à 15:32

gagnéJ'essaie d'incorporer du LaTeX mais je ne sais pas comment faire pour qu'il apparaisse sous forme compilée. J'espère quand même être lisible...

J'appelle "bons mots" les mots ne contenant pas deux fois la même lettre.
Soit p(n) le nombre de bons mots construits sur un alphabet de n lettres.

Première méthode:
Avec les n lettres de l'alphabet, on peut former:
*n mots (tous bons) de 1 lettre
*n(n-1) bons mots de 2 lettres
...
*n(n-1)...n(n-1)..(n-q+1) bons mots de q lettres
...
*n! bons mots de n lettres
D'où une première forme pour la réponse:
$ p(n)=\sum_{q=1}^n n(n-1)..(n-q+1)$

En mettant n! en facteur, cela donne quelque chose de plus esthétique mais pas plus facile à calculer:

$p(n)=n!\Sum_{q=1}^n(1/(n-q)!)$

ou encore
$p(n)=n!\Sum_{k=0}^{n-1}(1/k!)$

Deuxième méthode:
Si l'alphabet comporte k+1 lettres, les bons mots sont:
*les mots de 1 lettre (il y en a k+1)
*les mots de 1 lettre suivie d'un bon mot de  k lettres (il y en a (k+1)p(k))
D'où la formule de récurrence:
p(k+1)=(k+1)(1+p(k)).
En partant de p(1)=1, on calcule p(n) de proche en proche.
On peut aussi écrire la formule de récurrence sous la forme
p(k+1)/(k+1)! = 1/k!+p(k)/k!
En sommant ces égalités pour k de 1 à n-1, on retrouve la dernière formule obtenue par la première méthode.

Remarque: appelons "bon mot maximal" un bon mot utilisant toutes les lettres. Si l'alphabet comporte n lettres, il y a n! bons mots maximaux.

Le rappel fait avec l'énoncé prouve que le rapport
"nombre de bons mots/nombre de bons mots maximaux" tend vers e quand n tend vers +l'infini.

Merci pour cette énigme

Posté par
isisstruiss
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 19-12-07 à 16:28

gagnéBonjour,

Le nombre de mots de longueur k sur un alphabet de n caractères sans qu'il y aie répétition de caractères est \frac{n!}{(n-k)!}, avec k<n et n,k\in\mathbb{N}, bien entendu.

Le nombre de mots total est exactement M=\bigsum_{k=1}^n\frac{n!}{(n-k)!}=n!\bigsum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{j!}

Je ne vois pas tellement l'utilité de la somme infinie ici, on ne nous dit rien de plus sur n. Il est vrai que cette somme partielle s'approche très rapidement de e mais l'énoncé ne donne aucune préférence pour les valeurs de n, je reste dans le cas général sans approximation.

Isis

Posté par
ITMETIC
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 20-12-07 à 09:45

gagnéFormer un mot de m lettres (1mn) qui ne contient pas deux fois la même lettre revient à choisir à choisir m lettres parmi n le nombre de mots ainsi formés est n!/(n-m)! (Arrangement)

Le nombre total de mots sera donc n!/(n-m)! pour m variant de 1 à n
En factorisant n! et en appelant n-m=k on obtient n!1/k! pour k variant de 0 à n-1

Posté par
lo5707
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 20-12-07 à 21:28

gagnébonjour,

voyons ce que ça donne pour les premières valeurs de n:

n=1:
1 caractère, donc 1! mot de 1 caractère.
n=2:
2 caractères, donc 2! mots de 2 caractères + 2 fois 1! mot de 1 caractère.
n=3:
3 caractères, donc 3! mots de 3 caractères + 3 fois 2! mots de 2 caractères + 3 fois 1! mot de 1 caractère.
n=4:
4 caractères, donc 4! mots de 4 caractères + 4 fois 3! mots de 3 caractères + 6 fois 2! mots de 2 caractères + 4 fois 1! mot de 1 caractère.
n=5:
5 caractères, donc 5! mots de 5 caractères + 5 fois 4! mots de 4 caractères + 10 fois 3! mots de 3 caractères + 10 fois 2! mots de 2 caractères + 5 fois 1! mot de 1 caractère.
...
n=k:
\Bigsum_{i=0}^{k-1} \(k\\i\) \times (k-i)! mots

Ma réponse est donc:
Avec un alphabet de n caractères, on peut former \Bigsum_{i=0}^{n-1} \(n\\i\) \times (n-i)! mots.


Merci pour l'énigme.

Posté par
chocwoman
constructeur de lettres 20-12-07 à 22:07

gagnési n est fixé on peut former n mots d'une lettre.
nombre de mots de 2 lettres:il faut prendre 2 lettres parmi n:c'est une combinaison de 2 dans n.ces 2 lettres étant choisies on peut les placer de 2 facons différentes.

nombre de mots de 3 lettres:il faut prendre 3 lettres parmi n;c'est une combinaison de 3 parmi n.ces 3 lettres étant choisies on a 3! dispositions possibles.
en raisonnant de meme jusqu'à avoir un mot de n lettres

le nombres de mots possibles est:
(k=1 à k=n) de ((combinaison de k parmi n)*k!)
qui est égal à (k=1 à k=n) de (n!/((n-k)!))
qui est aussi égal à
n!*(k=o à k=n-1) de (1/k!)

je ne sais pas si on peut simplifier plus ce résultat

Posté par
piepalm
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 21-12-07 à 16:09

gagnéIl y a n mots d'une lettre, n(n-1) mots de deux lettres, jusqu'à n! mots de n-1 lettres, et n! mots de n lettres. Soit en sens inverse, un total de  n!(1+1/1!+...+1/(n-1)!)
Or e*n!=n!(1+1/1!+...+1/(n-1)!)+1+exp(t)/(n+1) avec 0<t<1: dès que n>1, exp(t)/(n+1)<1
Donc  n!(1+1/1!+...+1/(n-1)!)= E(e*n!)-1 , avec E partie entière

Posté par
iker
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 21-12-07 à 23:42

gagnéBonjour,

On construit un alphabet à n caractères, puis on forme tout les mots qui ne contiennent pas deux fois la même lettre.

On forme donc tout les mots de 1 lettre
puis on forme donc tout les mots de 2 lettres qui ne contiennent pas deux fois la même lettre
puis on forme donc tout les mots de 3 lettres qui ne contiennent pas deux fois la même lettre
puis on forme donc tout les mots de 4 lettres qui ne contiennent pas deux fois la même lettre
...
puis on forme donc tout les mots de n-1 lettres qui ne contiennent pas deux fois la même lettre
puis on forme donc tout les mots de n lettres qui ne contiennent pas deux fois la même lettre.

Le nombre de mots total est la somme du nombre de mots formés à chaque étape.

Le nombre de mots de k lettres que l'on peut former avec n lettres est le nombre de tirages différents de k lettres parmis n (ou arrangements de n lettres k à k) que l'on peut effectuer en tenant compte de l'ordre et sans remise.

Ce nombre est A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}

Le nombre total de mots (appelons le N) est égal à la somme des A^k_n pour k allant de 1 à n.


N=\sum_{k=1}^n A^k_n
N=\sum_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!}
N=n! \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n-k)!}

Je poste bien que je sois troublé par l'indice qui me fais penser à un certain DL : me suis-je arrêté trop tôt? (à condition de ne pas mettre complètement "planté" ) Pas grave, je mangerai du pour les fêtes.

Posté par
dhalte
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 23-12-07 à 15:11

gagnéBonjour, et bonnes fêtes

\displaystyle \Large n!\times\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}

Si a_n est le nombre de mots obtenu avec n lettres selon les règles exposées, alors a_{n+1} est obtenu en formant d'abord les (n+1) mots de 1 lettre, puis les mots de plus de 1 lettre débutant par chaque lettre de cet alphabet de (n+1) lettres à laquelle on accole un mot constitué avec un alphabet de n lettres, après avoir retiré cette première lettre par laquelle débute ce nouveau mot : a_{n+1} = (n+1) + (n+1)\times a_n

Cette relation fait furieusement penser à la relation plus simple f_{n+1}=(n+1)\times f_n
et si f_0=1, alors f_n=n!

Etudions alors la suite b_n définie par b_n=\frac{a_n}{n!}
On établit sans peine que b_{n+1}=\frac{1}{n!}+b_n

D'où on déduit (par récurrence, et parce que b_1=1) que \displaystyle \Large b_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}

et pour n très grand : a_n\approx e\times n!

Posté par
abde haj
Constructeurs de lettres 24-12-07 à 14:20

perdule nombres des mots est  factoriel n

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 14:24

ENIGME CLOTUREE

Bon la réponse était évdemment 3$\fbox{M_n=n!%20\Bigsum_{k=0}^{n}%20\frac{1}{k!}=E(n!e-1)=E(n!e)-1}

L'indice était là juste pour mettre le résultat sous une autre forme comme celle faite par frenicle et nofutur2... C'était de ma faute, il fallait que je prècise de déterminer ce nombre en fonction de n! et e, c'est pour celà que je lui ai donnée 3 *** ...

Merci pour votre participation

Posté par
master_och
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 16:09

gagnéBonjour

Citation :
C'était de ma faute, il fallait que je prècise de déterminer ce nombre en fonction de n! et e

Je trouve pas que c'est une vrai faute vue le nbre d'étoiles affecté à l'énigme .

En fait je crois qu'il y a eu beaucoup de smileys non mérités(y compris le mien, à propos un grand merci à toi Monrow, mais en fait j'aurais pas discuté ta décision si c'était un poisson bien mérité, attention même si tu le fera après ce poste )

D'autre part je viens de lire la démo de Frenicle que je trouve vraiment très interessante et que je crois la seule démo qui a bien expliqué la formule finale E(n!e)-1 (avec je suppose la démo de Nofutur que j'ai pas lu ...).

Franchement un grand bravo à Frénicle et à Nofutur .

J'ai peu être aimé la démo de Frénicle car j'ai réfléchi à l'idée de remplacer la somme par la différence entre 2 sommes qui tendent vers l'infini mais j'ai pas continuer car j'avais pas en tête l'idée de la partie entière.

Posté par
gui_tou
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 16:11

à tous ceux qui ont trouvé (même aux autres )

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 16:34

master_och>> C'est qu'il y avait des smiley de plus () mais bon ... j'ai compté juste pour tous ceux qui ont trouvé le sigma

Posté par
master_och
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 17:03

gagné

Citation :
C'est qu'il y avait des smiley de plus

j'espère que ce sera toujours pareil

La décision en fin de compte reste la tienne .

Posté par
master_och
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 17:07

gagnéEn fait Monrow, c'est maintenant que je me suis rappelé, je t'ai envoyé un mail dans lequel je te demandais si les réponses sous forme de sigma seront accéptés ou pas mais j'ai pas eu de réponse, ne l'as tu pa recu

Posté par
jamo Moderateur
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 17:09

perduIl est normal qu'aucune indication, même mineure, ne soit donnée par e-mail ...

Posté par
master_och
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 17:14

gagnéEt bah justement jamo, je lui ai dit dans mon email que s'il croit que ma question est illégale il me le signal, et d'ailleur on a parlé de ce problème dans un autre topic(que je vais chercher) et on m'a dit que je peux poser des questions sur les énigmes en cours aux posteurs d'énigmes et c'est a lui de décider s'il répond ou pas ...

Posté par
master_och
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 17:16
Posté par
geo3
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 20:13

Bonsoir
=> monrow
Voilà ce que j'avais envie de répondre mais je ne l'ai pas fait de peur du poisson peut-être mais qu'aurais-je  obtenu ? Merci

En appelant A ni le nombre de groupements avec ordre de i lettres choisies parmi n , le nombre de mots que l'on peut former est égal à la somme de ces Ani depuis 1 jusque n

3$A^i_n = \frac{n!}{(n-i)!}

3$\sum^n_{i=1}A^i_n=n!\sum^n_{i=1}\frac{1}{(n-i)!}=n!\sum^{n-1}_{i=0}\frac{1}{i!}=n!*e-n!\sum^{\infty}_{i=n}\frac{1}{i!}

donc (hic) ( en négligeant 3$n!\sum^{\infty}_{i=n}\frac{1}{i!} ) je dirai que le nombre de mots = la partie entière de 5$\red{n!.e}  

A+

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 20:28

Salut geo3

Dommage , mais je pense que je t'aurais donné un smiley puisque je n'ai pas corrigé le fait de trouver le résultat en fonction de n! et e et qu'il suffisait de laisser le sigma

Posté par
simon92
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 20:39

perduolala, je suis furax, j'ai mal conclue...
alors que j'avais tout bien fait sur le papier!! connerie de latex!

Posté par
jamo Moderateur
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 20:44

perdusimon92 >> c'est à ça que sert l'aperçu !

Posté par
simon92
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 20:51

perduoui oui!! je sais ! je sais! en plus j'ai pas fait les combinatoires et tout, j'ai réfléchit! au moins 2 grandes minutes
c'est pas grave, moi je vote pour que Isiss gagne ce mois ci car elle est fait des superbe démo (bon la, c'était pas extraordinaire) mais depuis un mois, elle est présente

Posté par
geo3
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 21:09

Rebonsoir
En effet dommage
Le e m'a un peu perturbé
Je pense qu'avec le sigma la réponse finale est

3$n!\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!} = n!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}

et non  

3$n!\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}

Ce n'est pas pareil ( je peux me tromper)
Bravo à frenicle et à Nofutur2 pour avoir introduit le e avec détails.
A+

Posté par
monrow Posteur d'énigmes
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 21:17

Citation :
3$n!\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}%20=%20n!\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}


C'est pas la même chose, non?

Posté par
geo3
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 27-12-07 à 22:25

Rebonsoir
Mais

3$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}

est différent de

3$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}

A+

Posté par
Eric1
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 01-01-08 à 22:26

perduje me suis embruillé avec la même chose... le mot vide est il un mot

En théorie des langages, je crois que s'en est un, mais ...

Posté par
gui_tou
re : ENIGMA 11: Constructeurs de lettres*** 03-01-08 à 21:04

Bonjour Bonjour

Cet exo est tiré du Concours Communs Polytechniques - option PSI :

Citation :
Soit un alphabet à "n" caractères. Déterminer l'expression de 3$M_n, le nombre de mots que l'on peut écrire en utilisant une fois au plus chaque caractère.
Montrer que 3$1+M_n=E(n!e) où E représente la partie entière.


Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 44:56:34.
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