Bonjour,

question 1 : personne ne sait
question 3 : personne ne sait
pour ces deux questions on a des résultats partiels, non démontrés (on ne sait pas s'il y a mieux ou pas), seules des tailles "faibles" ont des démonstrations.
pour les tailles moyennes que des "champions" qui ont trouvé un "record actuel", toujours susceptible d'être battu.
et pour les "grandes tailles" ça échappe complètement.

un petit exemple : D



question 2 :

Bonjour,

en ce qui concerne la question n°3, qui me semble déjà bien assez compliquée, je propose une première solution partielle et minorant le nombre de cercles.
Si n=3, alors N=7
Si n=5, alors N=19
Si n=7, alors N=37

Si n=2k+1, alors N=2k+1+2(2k)+2(2k-1)+... +2(k+1)=3k²+3k+1

Si la solution me semble optimale pour 3, dès que n croit, il reste bcp de place et on doit arriver à caser des cercles sur les bords.
Et puis, reste a voir pour les n pairs...

envoi prématuré avant relecture ni complètement répondu. (saleté de touches de fonctions à la noix sur clavier trop petit pour mes gros doigts)

un petit exemple : Dans 5R on peut placer 19 cercles
peut on en placer un 20ème ? mystère.
ce qui est prouvé :
19 cercles tiennent dans un cercle de rayon 4.864
le meilleur arrangement connu avec 20 cercles tient dans 5.122
mais personne ne sait prouver qu'on ne peut pas faire mieux : mettre 20 cercles dans un rayon plus petit.

sources : résultats de Hugo Pfoertner, un des quelques spécialistes de la question.
dans l'espace (sphères) c'est même encore pire...

question 2 :
tout dépend ce qu'on appelle "trait"...
si je trace un trait "circulaire" et un trait ondulé qui oscille un nombre quelconque de fois de part et d'autre j'ai autant de région que je veux
Il faut donc déja se limiter par exemple à des "géodésiques" (des arcs de grands cercles) le problème est alors équivallent au nombre de régions du plan délimitées par N droites.
si on se limite à des cercles (pas forcément grand cercles) le problème sera équivallent au nombre de régions du plan délimitées par des droites et cercles. (et comme une droite est un cercle "de rayon infini", par des cercles seulement)
ce problème est "connu".
(la flemme de chercher)
n = 1 : 2 régions
n = 2 : 4 régions
n = 3 : 8 régions
n = 4 : (hé hé)

on peut passer à des traits "équivallents" à des ellipses. Ca fait plus, puisque déja en traçant deux ellipses on a 6 régions.

Pour répondre au pb des "trous sur les bords", dès que n est "assez grand", et monter la difficulté de la recherche :
avec n = 9 = 2*4 + 1 la formule 3k²+3k+1 ne donne "que" 61 cercles
or dans le rayon 9 on peut caser 64 cercles de rayon 1 "au moins" personne ne sait si on ne peut pas en caser un 65ème, 64 cercles "ça laisse du flottement" :

l'image est obtenue pour un grand cercle de rayon 1 et des petits cercles de rayon 0.11158259582572625, ce qui inversement pour r = 1 donne R = 1/0.11158259582572625 = 8.96197 < 9

pour 65 cercles le meilleur arrangement connu donne un rayon de 9.0174 > 9

source : site

A titre d'exemple et dans la même série, les 61 cercles dans le cercle de rayon 9R.

et la figure que j'ai donnée juste au dessus en met 64 dans le cercle de rayon 9R ...

Un trait rectiligne.

c'est QUOI un trait rectiligne sur une sphère ???????

Par une droite alors. Tu dois amorceler.

on ne peut pas tracer une droite sur une sphère.
réfléchis à ce que tu écris.

>sauf non euclidien

ah ben alors, si on considère des "sphères" dans un espace hyperbolique, ah ça ...


sinon c'est bien ce que je disais avec mes géodésiques
sur la surface courbe d'une sphère les arcs de grands cercles jouent le rôle de "droites" (distance la plus courte entre deux points)
et le problème est alors identique par projection à trouver le nombre de régions du plan délimitées par N droites ou cercles. (mon premier post scindé en deux, deuxième partie Enigme de geometrie 2 le 23-02-13 à 22:27

Bonjour,

Ce problème est un classique chez les cabliers.

Exemple:
Quelles sont les dimensions idéales d'un touret* pour mettre
dessus 1200 m de diamètre 17 mm .

*genre de bobine avec 3 diamètres possibles
a)axe de rotation disons 0 pour mémoire
b)diamètre d'enroulement départ
c)diamètre total
et une largeur (écartement des "joues").

Si certains veullent essayer....