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Enigmo 137 : Un problème de brebis

Posté par
jamo Moderateur
04-10-09 à 12:17

Bonjour,

Dans un parc carré de 100 mètres de côté, une brebis est reliée à l'aide d'une corde au milieu d'un côté.

Question : Quelle est la longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré ?
Je veux la réponse en mètres avec une précision au millimètre.

Bonne recherche !

Enigmo 137 : Un problème de brebis

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 12:38

gagnéJe trouve une longueur de 58,282 m arrondi au mm le plus proche.

Posté par
manpower
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 13:28

gagnéBonjour dominical,

Nofutur2 a triché! Il a répondu avant 13 h!

Bon heureusement que la valeur exacte n'est pas exigée...
Un peu de trigo et un peu de Pythagore pour décomposer l'aire du disque (j'ai pas voulu intégrer!),
puis l'approximation de la solution de l'horrible équation (avec Acos) obtenue et hop, on obtient une corde de 58,282 m (58,28221624...).

Merci pour l'Enigmo.

PS: J'attends impatiemment l'Enigmo 4 étoiles avec un bouc !

Posté par
frapy
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 14:19

perduBonjour !

Je dirais 52.152 mètres, arrondi au millimètre.

Sauf erreur évidemment !

Merci !
F.

Posté par
geo3
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 15:39

gagnéBonjour
Je trouve 58,282 m
Merci
A+

Posté par
mat-thieu
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 15:47

perduVoici ma réponse  : 34,549 mètres.

Posté par
Externius
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 16:26

perduma réponse est : 52.054454m environ ^^ , soit au mm près 52.0544

mon calcul est :


5000=  (x²)/2 - 2 ((arccos(50/x) X (x²)) / (180X2)) + 100x tan ( arccos ( 50/x))

ainsi pour x= 52.054454 on obtient 4999.999291

négligeons la tète de la brebis ^^, sinon elle brouterait bien 30cm plus loin XD

Posté par
stefan2025
enigmo 136 04-10-09 à 16:45

perduJe pense que la solution est la suivante.
On divise le carré initial en 2.
On obtient 2 carré de même aire donc de même mesure (50m)
On trace dans un des carré sa diagonale. On la calcule grâce au théorème de Pythagore. Une fois l'hypoténuse trouvée on calcule l'aire du triangle.
On la multiplie par 4 et on obtient bien l'aire du triangle initiale mais /2.
La réponse est50.24 m pour la longueur de la corde.
Je pense avoir bon =) mais on est jamais trop sûr.

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 17:15

gagnéBonjour.
La longueur de la corde doit être 58,282 m.
Soit h la longueur en mètres que peut parcourir la brebis sur chaque côté latéral.
La surface que peut brouter la chèvre mesure : 50h + (2500+h³)*arctan(50/h).
On trouve h à l'aide du solveur.
La longueur de la corde est (h²+2500).

Posté par
Rudi
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 18:36

gagnéBonjour

===== Réponse proposée =====

58282 mm

===== Méthode suivie=====

Enigmo 137 : Un problème de brebis

On peut poser AB=BC=a et chercher R

Surface broutée vert clair = moitié du pré de côté a

Surface broutée = demi-cercle de centre I et rayon R - 2 surfaces (BFG)

Surface_BFG = secteur IFG - triangle IBG = R²(t/2) - IB.BG/2 = R²t/2 - (a/2)(racine(R²-a²/4))/2

t = arccos(a/2R)

Surface_BFG = secteur IFG - triangle IBG = R².arccos(a/2R)/2 - a.racine(R²-a²/4)/4

Surface broutée = pi.R²/2 - R².arccos(a/2R) + a.racine(R²-a²/4)/2

pi.R²/2 - R².arccos(a/2R) + a.racine(R²-a²/4)/2 = a²/2

pi.R² - 2R².arccos(a/2R) + a.racine(R²-a²/4) = a²

en posant x = a/2R, on arrive à l'équation :

(pi - 2arccos(x)) + 2x.racine(1-x²) -4x² = 0

dont la solution, à l'aide d'un grapheur, est x = 0,857895

Enigmo 137 : Un problème de brebis

ce qui fournit R = a/2x = 58,282 m

Sauf erreur de calcul ou de raisonnement

Rudy

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 18:40

gagnéBonjour Jamo,

Je propose 58,282 m.

Si on appelle x la longueur de la corde, la surface est égale à x2Arcsin(50/x) + 50(x2-2500)

Merci encore une fois.

Posté par
torio
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 19:41

gagné58.282 mètres

A+
Torio

Posté par
jimss
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 19:43

gagnéBonsoir,
Voici ma proposition : la longueur de la corde est de 58,282 m.

Posté par
pourt
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 19:55

perdu50 mètres

Posté par
carpediem
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 20:26

gagnésalut

on obtient une équation transcendante mais mon esclave me propose

58.282

sauf erreur je n'ai pas tord

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 20:44

gagnéBonjour Jamo

je propose 58 mètres et 282 millimètres, en espérant que ce soit juste !

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 20:56

perduBonjour jamo ,

La longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré = 56,419 m.

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 20:57

gagnéErf, me suis trompé, la réponse est 70,711 mètres je crois bien...

Posté par
dhalte
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 21:43

gagnéBonjour

58,282 mètres

Posté par
totti1000
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 04-10-09 à 23:17

gagnéSalut Jamo,
je propose 58,282 mètres.

Posté par
Kiind3r
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 07:12

perduBonjour , je tiens a m'excusez si c''est une gourde , chui qu'en 3e ^^

serais-ce (100²)/2 = 5000  5000/= 1591.549 ??

j'ai pas l'imprésion mais bon , qui ne tente rien , n'a rien ^^

Posté par
ptitjean
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 10:30

gagnéBonjour à tous,

Ma réponse est de 58,282 m

Pour la mise en équation, j'obtiens que l'aire A broutée, en fonction de L la longueur de corde, avec L50:
A(L)=\frac{L^2}{2}(\pi-2cos^{-1}(\frac{50}{L}))+50\sqrt{L^2-50^2}

J'avoue que j'ai utilisé Matlab ensuite pour trouver rapidement la valeur approchée de L qui fonctionne

Merci pour l'énigme !
(décidément, les chèvres sont sujets à beaucoup de calculs... Tu en cherches une pour tondre ton jardin Jamo ? )

Ptitjean

Posté par
LeDino
58.22 05-10-09 à 14:00

gagnéBonjour,

La corde mesure 58.282 m.
Merci pour l'énigme.

Explication en image :

58.22

Posté par
Atea
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 14:05

gagnéBonjour,

Je trouve une longueur de 58,282m.

Posté par
13or
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 17:54

gagné58,282 m
Merci jamo

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 18:48

gagnéBonjour

Je crois que la corde doit mesurer environ 58,282 mètres

MM

Posté par
evariste
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 19:05

gagné58,282 m

Posté par
tacotac
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 19:35

perdusi le  terrain(ABCD)  fait  10 000 m²
et  que l'on  veuille que  le  mouton  puisse  en  brouter la  moitié :  5000 m² ( la  droite  (MN) passe par le milieu de (AC) et le  milieu de (BD) )

donc (MN)=100m
     (MC)=(1/2)AC en m
     (MD)=(1/2)BD en m
     (CD)=100m
le  point K est le  milieu de (CD) et  est le point  d'intersection des droites (MK) et (NK) .

D'aprés le  théoreme de Pythagore :  

MK²=MC²+CK²
MK²=50²+50²
MK²=5000
MK= 70,711" alt="\sqrt{5000} 70,711" class="tex" />

donc la longe  doit être comprise entre 70.711 m et  plus pour que la  brebis puisse  brouter  la moitié  du terrain  .


Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 05-10-09 à 19:49

perduBonsoir jamo,

Étourdi hier , je me suis trompé de résultat, je devais écrire 58,282m.

La longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré = 58,282 m.

Un grand merci pour toutes les énigmes.

Posté par
dpi
la brebis 05-10-09 à 20:52

perduJe pense qu'une corde de 64 m 979 mm conviendrait très bien

Posté par
dpi
arcsinus 06-10-09 à 08:38

perduJe connais la règle ,mais j'ai tapé arccosinus au lieu de arcsinus j'aurais du trouver  58 m 282 mm

Posté par
geronimo 652
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 06-10-09 à 20:44

perdubonjour Jamo,

la longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré est de:
10$ \red \fbox{39,894 m}

merci pour l'énigme et @ +

juste pour le fun la valeur exacte est 3$50\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}m

Posté par
cauchy83
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 07-10-09 à 15:07

perduj'ai trouvé 56.49 mètres

Posté par
Max_Evans
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 08-10-09 à 06:02

perduBonjour,

Soit L la longueur de la corde. La brebis broutera alors un demi-cercle de rayon L soit une aire de

Comme on veut que \frac{100^{2}}{2} = \frac{\pi^{2]L}{2}

Posté par
Labo
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 08-10-09 à 10:15

perduBonjour Jamo,
pas de solution

Citation :
Quelle est la longueur de la corde pour que la brebis puisse brouter exactement la moitié de la surface du parc carré ?

la surface du carré est un entier naturel
  aire broutée par la brebis en fonction de la longueur de la corde
A= πl2/2
πl2≠10000 , π irrationnel

Posté par
gloubi
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 08-10-09 à 12:31

gagnéBonjour,

Mon tableur me dit: longueur de la corde 58,282 m.

Merci pour l'Enigmo  

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 08-10-09 à 14:40

gagnéBonjour,

La corde doit mesurer 58,282 m.

Démonstration :
aire du parc carré = 100*100=10 000 m²

1. si la corde mesure 50m alors la brebis peut brouter un demi-disque de rayon 50m, soit 39,3% du parc.
La corde mesure donc plus de 50m et la surface que la brebis peut brouter est alors un demi-disque tronqué par les bords du parc.

2. soit r la longueur de la corde (=donc le rayon du disque), on peut diviser la zone broutée en un portion de disque et 2 triangles rectangles :
Aire(zone broutée)=50\sqrt{r^2-50^2}+arcsin(\frac{50}{r})r^2

La résolution de Aire(zone broutée)=5000m² nous donne le résultat arrondi au millième inférieur : 58,282 m

Posté par
nono91210
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 08-10-09 à 20:35

perduje dirais... la moitié d'un coté donc la corde doit mesurer 50 mètre.

Posté par
adoulou
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 08-10-09 à 23:42

perdula réponse est 70.710m  
70710 millimètre.

Posté par
alfred15
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 10-10-09 à 00:07

gagnéBonsoir,

je propose une longueur de corde de 58,282 mètres.

Merci pour l'énigme

(PS : j'ai utilisé un solveur, je suis curieux de savoir comment ce problème pouvait être résolu analytiquement)

Posté par
myself
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 11-10-09 à 11:02

perduavec une bête étude de fonction, je tente 3$60,670 \quad m

Posté par
Hiphigenie
Un problème de brebis - Réponse 11-10-09 à 19:51

perduBonjour,

Après des calculs farfelus, longs et périlleux, la réponse...

Il suffit que la brebis puisse atteindre le sommet situé sur le côté parallèle au côté où elle est attachée. La longueur de la corde sera l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les autres côtés mesurent 50 m et 100 m.

Cette corde mesurera (100²+50²)= 111,803 m.

Ouf !

Posté par
fabrice
ENIGMO 137 12-10-09 à 10:53

gagné
L = 58.282 m


Surface = (pi*L2*alpha)/360 + (racine(L2-2500)*50)

avec alpha : angle d'ouverture du 'camembert' en degrès

et

L = 50 / sin (alpha/2)

On part de alpha pour trouver L, que l'on teste progressivement pour s'approcher de S = 5000.

Fabrice

Posté par
alazar
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 12-10-09 à 20:41

perdurapport des aire d'un demi disque sur l'air d'un carrée.
je trouve
r=56.419 m (en arrondissant)

Posté par
yessoma
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 12-10-09 à 23:13

perdu39,894 mètres

Posté par
michael1
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 13-10-09 à 20:50

perdu70,71 metre

Posté par
Raziel
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 14-10-09 à 19:30

perdu17 mètres et 850 millimètres.

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 15-10-09 à 13:41

gagnéJ'ai obtenu
58,282m

en prenant les deux triangles latéraux + le secteur circulaire d'angle 118,162°

Posté par
soudidou148
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 17-10-09 à 19:58

perdula longueur de la corde doit faire pres de 56.43 metre

Posté par
kemlicz
re : Enigmo 137 : Un problème de brebis 18-10-09 à 16:41

gagnéBonjour
On pose R le rayon cherché.
Il suffit (?) de résoudre l'équation :
R2xArcsin(50/R)+50xRacine(R2-502)=5000
Avec Excel on trouve que R vaut environ 58,282 m.

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