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Posté par
1emeu
re : Enigmo 177 : Une petite équation 11-02-10 à 17:48

gagnéBonjour,

je propose les 4 solutions suivantes:
x=\sqrt{\frac{k}{3}}
k=23,233,268,303

Voici une preuve:

Tout d'abord on remarque que x est nécessairement positif. D'autre part, 3x^2 doit etre entier. Donc x=\sqrt{\frac{k}{3}}. A présent il reste à chercher l'ensemble des k entiers pour lesquels x est solution. Pour cela, on remarque que
3 x^2-35 E(x)+47 \geq 3 x^2 - 35 (x+1) + 47
Or le polynome  3 x^2 - 35 (x+1) + 47 est strictement positif dès que x\geq 12.
On cherche donc les valeurs de k dans l'intervalle {0..3*144}.
Une recherche exhaustive permet de conclure.

Merci pour l'énigme,
1emeu

Posté par
jada
ma réponse 11-02-10 à 21:29

gagnéalors
pour les valeurs négatives de x le polynôme sera toujours strictement positif, donc IR- est à éliminer.

ensuite il faut résonner sur E(x)
en effet pour E(x) >= 11 on a 3x² + 47 = 410 > 35 E(x) = 385, donc au delà de 11 c'est à éliminer aussi.
il nous reste les valeurs de E(x) comprises entre 1 et 10
il faut procéder au calcul valeur par valeur, x= racine ( (35E(x) - 47)/3)? si on trouve un valeur de x qui correspond à la partie entière que nous avons alors c'est une solution.

E(x)=2    ---->  x= racine (23/3)
E(x)=8    ---->  x= racine (233/3)
E(x)=9    ---->  x= racine (268/3)
E(x)=10   ---->  x= racine (101)

Posté par
Nikos59
re : Enigmo 177 : Une petite équation 12-02-10 à 16:22

perduLes solutions de l'équation 3x²-35.E(x)+47 = 0 sont

x=2,76887462097269
x=8,81286937760152
x=9,45163125250522
x=10,0498756211209
                     ______________
On doit résoudre x= V(35.E(X)-47)/3

pas de solution négative car E(x)>=2

soit x>12
(3x²+47)/35 >13.685  => E(X)>13.85 donc >=13
les solutions possibles se situent sur l'intervalle [2;12]

Informatiquement; une petite macro peut nous aider:
i = 1
For n = 2 To 12

If Int(((35 * n - 47) / 3) ^ 0.5) = n Then
Range("A" & i).Select
ActiveCell.Value = ((35 * n - 47) / 3) ^ 0.5
i = i + 1
End If
Next


Je pense qu'il y a une solution plus raffinée mais je ne suis pas spécialiste.

Posté par
infophile
re : Enigmo 177 : Une petite équation 13-02-10 à 21:17

gagnéBonjour

Ce n'est pas une équation du second degré car x²-35E(x)+47 n'est pas un polynôme du second degré, la preuve l'équation x²-35E(x)+47=0 admet 4 solutions (tandis qu'un polynôme de degré 2 a au plus 2 racines).

Pour la résoudre on peut se servir des enveloppes x²-35x+47 et x²-35(x-1)+47, et à l'intérieur on a des portions de paraboles sur chaque intervalle [n,n+1[. Après quelques petites études de fonctions on trouve comme solutions :

3$ S=\{\frac{1}{3}\sqrt{69},\frac{1}{3}\sqrt{699},\frac{2}{3}\sqrt{201},\sqrt{101}\}

Posté par
veleda
re : Enigmo 177 : Une petite équation 14-02-10 à 09:42

gagnébonjour jamo,
merci pour cet exercice intéressant
je trouve 4 solutions
\sqrt{\frac{23}{3}},\sqrt{\frac{233}{3}},\sqrt{\frac{268}{3}},\sqrt{101}
j'espère ne pas  m'être trompée

j'ai utilisé le fait que E(X)\le X<E(X)+1
cela permet d'écrire sauf erreur de ma part que Z=E(X) vérifie
(1)3Z²-35z+470
(2)3Z²-29Z+50>0
ce qui donne E(X){2,8,9,10}

bon dimanche

Posté par
jw_dagon
RE: Enigmo 177 17-02-10 à 23:04

gagnéBonsoir,

Je trouve quatre solutions, dont voici les valeurs exactes (en image, désolé mais je n'arrive pas à me servir correctement des polices mathématiques du post).

Merci pour l'enigme.

RE: Enigmo 177

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 177 : Une petite équation 18-02-10 à 20:46

Clôture de l'énigme

Bonne participation pour cette énigme mathématique.

Il y a en effet 4 solutions à cette équation, je vous laisse lire les diverses explications fournies par plusieurs participants.

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 177 : Une petite équation 19-02-10 à 23:07

perduil va quand même falloir que j'apprenne à taper correctement sur un clavier !!!! (223 à la place de 233)

Pas grave, le problème était intéressant Jamo

amicalement

MM

Posté par
xtreboul
re : Enigmo 177 : Une petite équation 17-04-10 à 23:16

Je dis bravo à : godefroy_lehardi
pour l'elegance de sa methode!

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