bonjour, voila ma réponse:
1680
57120
1940448
1680+1=1681
la racine de 1681 est 41
la moitié de 1680 est 840, j'ajoute 1 est j'obtiens 841
la racine de 841 est 29
57120+1=57121
la racine de 57121 est 239
la moitié de 57120 est 28560, j'ajoute 1 est j'obtiens 28561
la racine de 28561 est 169
1940448+1=1940449
la racine de 1940449 est 1393
la moitié de 1940448 est 970224, j'ajoute 1 est j'obtiens 970225
la racine de 970225 est 985
Bonjour,
1680; 57120; 1 940 448 sont les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.
Bonjour !
Voici les trois nombres qui suivent 48 et qui possèdent des propriétés semblables : 1680, 57120 et 332928.
Cordialement,
r2.
Bien voila, il suffisait de mettre cela dans Excel (ou tout tableur automatique), ca ne me tentait pas de me rendre si haut par moi-même : en fait il suffit de tabler 2 colonnes : les X="racine de (2n^2-1)" et les Y="2*(racine de (2n^2-1)^2-1)". Pour chaque X naturel, on a la réponse Y.
Donc il en falait 3 , les voici: 1680, 57120, 1940448.
rac(1681)= 41 (carré parfait), rac(841)=29 (carré parfait)
rac(57121)=239 (carré parfait), rac(28561)=169 (carré parfait)
rac(1940449)=1393 (carré parfait), rac(970225)=985 (vous l'aurez deviner, carré parfait)
Ma réponse à l'énigme :
j'ai trouvé (après le 48) :
1680
57120
1940448
et même : 65918160
Il y en a surement de plus grands encore, mais au delà de 2^30, et CamL refuse de s'y aventurer (je le comprend).
1680
1680+1=1681=41²
840+1=29²
57120
57120+1=239²
57120/2+1=28560+1=169²
et je crois que j'arrete la
Bonsoir
On cherche entier tel que et par soustraction on a l'équation diophantienne classique .
Les solutions entières se déterminent par récurrence :
avec .
Il existe donc une infinité de solutions ! Voici les 3 (allez même 4 pour le fun) suivants 48 :
1680, 57 120, 1 940 448, 65 918 160, ...
Complément : on peut montrer que
D'ailleurs historiquement ce fut une des innombrables méthodes pour approximer le nombre
Les trois entiers naturels vérifiant ton égalité sont:
1680: 1681=41² et 841=29²
57120: 57121=239² et 28561=169²
1940448: 1940449=1393² et 970225=985²
Bonjour JAMO!
Ma proposition
les 3 nombres demandés sont:
1)---> n = 1.680
2)---> n = 57.120
3)---> n = 1.940.448
Commentaires:
On doit avoir n+1=p² et n/2+1=q² , p et q etant des entiers naturels
........n.............p.........q
1 680 41 29
57 120 239 169
1 940 448 1 393 985
Elements de solutions :
Utiliser l'arithmetique general et modulaire (les congruence)
On montre que:
* n est pair
* p et q sont premiers entre eux;
* p est élément de {10k+1; 10k+3; 10k+7; 10k+9 avec k element de IN}
* q est élément de {10k; 10k+1; 10k+4; 10k+5; 10k+6; 10k+9 avec k element de IN}
* n est élément de {10k; 10k+8 avec k element de IN}
....et maintenant à chacun son chemin....
Bonjour à tous, et merci pour l'énigme!
Sous mathematica:
n = 5; While[n < 40000, If[IntegerQ[Sqrt[2 n^2 - 1]] == True, Print[2 n^2 - 2],]; n++]
et pouf... les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés sont:
1680
57120
1940448
il en existe cependant d'autres,
(
65918160
2239277040
76069501248
... (les temps de calculs augmentent vite)
)
Salut JAMO!
C'etait plus fort que moi!
Permets moi d'ajouter le dessert:
les 3 nombres demandés sont:
1)---> N1 = 1.680
2)---> N2 = 57.120
3)---> N3 = 1.940.448
et après ca ?:
4)---> N4 = 65.918.160 = 8.119²-1 = 2(5.741²-1)
5)---> N5 = 2.239.277.040 = 47.321²-1 = 2(33.461²-1)
6)---> N6 = 76.069.501.248 = 275.807²-1 = 2(195.025²-1)
Commentaires:
La suite Nk+1/Nk converge-t-elle vers un réel lamda? (lamda (environ)= 33,97?)
Question ouverte !
Bonjour,
J'espère que dans ma précipitation, je n'en ai pas oublié un au passage
Je trouve les nombres 1 680, 57 120 et 1 940 448
Merci
Ptitjean
Nous trouvons (ce sont les plus petits verifiant l'enoncé):
1680 1681 841
En effet 1681 = 412
841=292
Sinon une autre solution pour montrer qu'elle n'est pas unique est:
57120 57121 28561
avec 2392 = 57121
169 2 = 28561
Je crois que 1940448 1940449 970225 marche aussi
Bonjour jamo, et merci pour cette énigme.
Avec une méthode "barbare" j'ai finit par trouver ces trois entiers ...
Réponse:
- 1680
- 57 120
- 1 940 448
J'espère ne pas m'être trompé ou en avoir oublié au passage.
Une chose est sûre: ceux-ci marchent.
Début de ma démarche:
Et
Ensuite:
Ce qui me donne un équation du second degré, que j'ai choisit de mettre en :
Qui m'a donnée une valeur de en fonction de k .
Puis ensuite j'ai cherché longtemps avec ma calculette.(1h au moins)
Bonjour, alors moi j'ai trouvé 41, 239 et 577 pour les trois premiers supérieurs à 48.
Très bonne éngime en passant =)
J'en trouve 3 :
1680:1680+1=412 et 1680/2+1=292
57120:57120+1=2392 et 57120/2+1=1692
1940448:1940448+1=13932 et 1940448/2+1=9852
Clôture de l'énigme
Les 3 nombres suivants vérifiant les données du problème sont :
1680
57120
1940448
Ah ah, je me suis trompé royalement... Je tiens à féliciter tous ceux qui, s'ils n'ont pas trouvé tous les nombres, ont au moins eu le mérite de savoir lire l'énoncé !
Salut!
Au theoricien avertis!!!
les 3 nombres demandés par JAMO etaient:
1)---> N1 = 1.680
2)---> N2 = 57.120
3)---> N3 = 1.940.448
et après on trouve les autres autres suivants :
4)---> N4 = 65.918.160 = 8.119²-1 = 2(5.741²-1)
5)---> N5 = 2.239.277.040 = 47.321²-1 = 2(33.461²-1)
6)---> N6 = 76.069.501.248 = 275.807²-1 = 2(195.025²-1)
QUESTIONS!
* La suite Nk est elle infinie?
* Si oui, la suite Nk+1/Nk converge-t-elle vers un réel lamda? (lamda (environ)= 33,97?)
Question ouverte !
J'espère que quelqu'un vaudrait bien se prononcer sur la question!
Bien à vous!
bonjour
ma réponse le voici.
il nous faut 49² - 1 soit vrais
il nous u(o) et u(o) + 1 soit vrais
en conséquence pour trouver on peut associé à celui ci une Supprimer le mot répété suite de raison u(o) et u(o)+1 pour qu'il soit vérifier.
on définit ainsi: un= u0 + nr
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