Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Posté par
afraise888
réponse à l'énigme 10-04-10 à 14:51

gagnébonjour, voila ma réponse:

1680
57120
1940448


1680+1=1681
la racine de 1681 est 41
la moitié de 1680 est 840, j'ajoute 1 est j'obtiens 841
la racine de 841 est 29

57120+1=57121
la racine de 57121 est 239
la moitié de 57120 est 28560, j'ajoute 1 est j'obtiens 28561
la racine de 28561 est 169

1940448+1=1940449
la racine de 1940449 est 1393
la moitié de 1940448 est 970224, j'ajoute 1 est j'obtiens 970225
la racine de 970225 est 985

Posté par
Jun_Milan
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 11-04-10 à 14:32

gagnéBonjour,

1680; 57120; 1 940 448 sont les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.

Posté par
pierrecarre
Énigme 188 11-04-10 à 15:56

perduBonjour !

Voici les trois nombres qui suivent 48 et qui possèdent des propriétés semblables : 1680, 57120 et 332928.

Cordialement,

r2.

Posté par
gablesmath
Il y a une infinité de réponses 11-04-10 à 17:56

gagnéBien voila, il suffisait de mettre cela dans Excel (ou tout tableur automatique), ca ne me tentait pas de me rendre si haut par moi-même : en fait il suffit de tabler 2 colonnes : les X="racine de (2n^2-1)" et les Y="2*(racine de (2n^2-1)^2-1)". Pour chaque X naturel, on a la réponse Y.

Donc il en falait 3 , les voici: 1680, 57120, 1940448.

rac(1681)= 41 (carré parfait), rac(841)=29 (carré parfait)
rac(57121)=239 (carré parfait), rac(28561)=169 (carré parfait)
rac(1940449)=1393 (carré parfait), rac(970225)=985 (vous l'aurez deviner, carré parfait)

Posté par
rezoons
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 11-04-10 à 19:44

gagnéBonjour ,
je trouve
1680
57120
1940448

Posté par
Noflah
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 12-04-10 à 01:22

gagnéMa réponse à l'énigme :
j'ai trouvé (après le 48) :

1680

57120

1940448

et même : 65918160

Il y en a surement de plus grands encore, mais au delà de 2^30, et CamL refuse de s'y aventurer (je le comprend).

Posté par
Aurelien_
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 12-04-10 à 17:01

perduBonjour,

Pour moi, il n'y en a que 2 autres : 1680 et 57120

Posté par
a-b
Bonjour 14-04-10 à 12:02

gagné1680
57120
1940448

Posté par
armand2012
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 14-04-10 à 21:20

perdu1680
1680+1=1681=41²
840+1=29²

57120

57120+1=239²
57120/2+1=28560+1=169²

et je crois que j'arrete la

Posté par
infophile
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 16-04-10 à 00:09

gagnéBonsoir

On cherche k entier tel que k+1=a^2 et 2k+1=b^2 par soustraction on a l'équation diophantienne classique 2a^2-b^2=1.

Les solutions entières se déterminent par récurrence :

3$ (a_{n+1},b_{n+1})=(3a_n+4b_n,2a_n+3b_n) avec (a_0,b_0)=(1,1).

Il existe donc une infinité de solutions ! Voici les 3 (allez même 4 pour le fun) suivants 48 :

1680, 57 120, 1 940 448, 65 918 160, ...


Complément : on peut montrer que 3$ \lim_{n\to +\infty}\frac{a_n}{b_n}=\sqrt{2}

D'ailleurs historiquement ce fut une des innombrables méthodes pour approximer le nombre \sqrt{2}

Posté par
Victimofweb
Ma réponse 16-04-10 à 06:01

gagnéBonjour,
Les 3 entiers supérieurs à 48 vérifiant vos conditions sont 1680,57120 et 1 940 448.
+

Posté par
PloufPlouf06
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 18-04-10 à 02:34

gagnéBonjour,

Les nombres sont : 1680, 57120, 1940448.

Merci pour l'énigme

Posté par
Plop
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 18-04-10 à 09:13

perduLes trois plus petits sont : 2, 4 et 12.
En effet, 2+1=3 et \frac{2}{2} +1=1+1=2 ; 4+1=5 et \frac{4}{2} +1=2+1=3 ; 12+1=13 et \frac{12}{2} +1=6+1=7.

Posté par
rdces
réponse à l'enigme 18-04-10 à 09:59

gagnéLes trois entiers naturels vérifiant ton égalité sont:

1680: 1681=41² et 841=29²

57120: 57121=239² et 28561=169²

1940448: 1940449=1393² et 970225=985²

Posté par
loan
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 19-04-10 à 15:52

perdu1680
57120
ensuite il n'en existe pas en dessous d'un million...

Posté par
xtreboul
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 19-04-10 à 21:47

gagnéBonjour JAMO!

Ma proposition

les  3 nombres demandés sont:

1)---> n = 1.680
2)---> n = 57.120
3)---> n = 1.940.448

Commentaires:

On doit avoir n+1=p² et n/2+1=q² , p et q etant des entiers naturels
........n.............p.........q
      1 680          41         29
     57 120         239        169
  1 940 448       1 393        985

Elements de solutions :
Utiliser l'arithmetique general et modulaire (les congruence)
On montre que:
* n est pair
* p et q sont premiers entre eux;
* p est élément de {10k+1; 10k+3; 10k+7; 10k+9 avec k element de IN}
* q est élément de {10k; 10k+1; 10k+4; 10k+5; 10k+6; 10k+9 avec k element de IN}
* n est élément de {10k; 10k+8 avec k element de IN}
....et maintenant à chacun son chemin....

Posté par
Rmx
Ma deuxième réponse! 19-04-10 à 23:41

gagnéBonjour à tous, et merci pour l'énigme!

Sous mathematica:
n = 5; While[n < 40000, If[IntegerQ[Sqrt[2 n^2 - 1]] == True, Print[2 n^2 - 2],]; n++]

et pouf...  les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés sont:
  1680
  57120
  1940448
il en existe cependant d'autres,
  (
  65918160
  2239277040
  76069501248
  ... (les temps de calculs augmentent vite)
)

Posté par
xtreboul
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 19-04-10 à 23:49

gagnéSalut JAMO!

C'etait plus fort que moi!
Permets moi d'ajouter le dessert:

les  3 nombres demandés sont:

1)---> N1 = 1.680
2)---> N2 = 57.120
3)---> N3 = 1.940.448

et après ca ?:

4)---> N4 = 65.918.160 = 8.119²-1 = 2(5.741²-1)
5)---> N5 = 2.239.277.040 = 47.321²-1 = 2(33.461²-1)
6)---> N6 = 76.069.501.248 = 275.807²-1 = 2(195.025²-1)

Commentaires:

La suite Nk+1/Nk converge-t-elle vers un réel lamda? (lamda (environ)= 33,97?)
Question ouverte !

Posté par
ptitjean
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 20-04-10 à 14:02

gagnéBonjour,

J'espère que dans ma précipitation, je n'en ai pas oublié un au passage
Je trouve les nombres 1 680, 57 120 et 1 940 448

Merci
Ptitjean

Posté par
Niwet
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 20-04-10 à 14:20

gagnéNous trouvons (ce sont les plus petits verifiant l'enoncé):

1680 1681 841

En effet 1681 = 412
841=292


Sinon une autre solution pour montrer qu'elle n'est pas unique est:
57120  57121 28561

avec 2392 =  57121
169 2 = 28561

Je crois que 1940448 1940449 970225  marche aussi

Posté par
13or
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 20-04-10 à 23:59

gagné1 680
57 120
1 940 448

Posté par
lightwave
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 21-04-10 à 10:59

perduBonjour,

Voici ma proposition pour cette énigme :

2 solutions : 1680 et 57120.

Posté par
LeFou
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 23-04-10 à 17:48

gagnéBonjour jamo, et merci pour cette énigme.

Avec une méthode "barbare" j'ai finit par trouver ces trois entiers ...

Réponse:

- 1680
- 57 120
- 1 940 448


J'espère ne pas m'être trompé ou en avoir oublié au passage.
Une chose est sûre: ceux-ci marchent.

Début de ma démarche:
\exists b \in \mathbb{N},n+1=b^2
\exists a \in \mathbb{N},\frac{n}{2}+1=a^2

Et b^2=2a^2-1

Ensuite: \exists k \in \mathbb{N},a=2k+1
         \exists k' \in \mathbb{N},b=2k'+1

Ce qui me donne un équation du second degré, que j'ai choisit de mettre en k':
k'^2+k'-2(k^2+k)=0
Qui m'a donnée une valeur de k' en fonction de k .
Puis ensuite j'ai cherché longtemps avec ma calculette.(1h au moins)

Posté par
mimimi88
réponse de l'énigme 23-04-10 à 21:36

perduBonjour, alors moi j'ai trouvé 41, 239 et 577 pour les trois premiers supérieurs à 48.
Très bonne éngime en passant =)

Posté par
myself
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 24-04-10 à 05:24

gagnétrès brutalement (en essayant tous les carrés en fait) :

1680,57120,1940448

Posté par
jver
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 25-04-10 à 10:49

gagné1 680
57 120
1 940 448

Posté par
Guguss
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 25-04-10 à 12:30

perduBonjour,
Les 3 nombres entiers qui vérifient ces mêmes proriétés sont :
1680
19600
57120

Posté par
le_chat
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 25-04-10 à 18:33

gagnéJ'en trouve 3 :
1680:1680+1=412 et 1680/2+1=292
57120:57120+1=2392 et 57120/2+1=1692
1940448:1940448+1=13932 et 1940448/2+1=9852

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 26-04-10 à 16:56

Clôture de l'énigme

Les 3 nombres suivants vérifiant les données du problème sont :

1680
57120
1940448

Posté par
Plop
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 26-04-10 à 19:03

perduAh ah, je me suis trompé royalement... Je tiens à féliciter tous ceux qui, s'ils n'ont pas trouvé tous les nombres, ont au moins eu le mérite de savoir lire l'énoncé !

Posté par
Louisa59
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 26-04-10 à 19:49

Bonsoir

jamo, pourquoi y en a qui n'ont ni un ou un

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 27-04-10 à 08:51

lièvre59 >> en effet, c'est bizarre, j'avais oublié d'en noter certains, c'est corrigé maintenant.

Posté par
xtreboul
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 27-04-10 à 12:49

gagnéSalut!

Au theoricien avertis!!!

les  3 nombres demandés par JAMO etaient:

1)---> N1 = 1.680
2)---> N2 = 57.120
3)---> N3 = 1.940.448

et après on trouve les autres autres suivants :

4)---> N4 = 65.918.160 = 8.119²-1 = 2(5.741²-1)
5)---> N5 = 2.239.277.040 = 47.321²-1 = 2(33.461²-1)
6)---> N6 = 76.069.501.248 = 275.807²-1 = 2(195.025²-1)

QUESTIONS!

* La suite Nk est elle infinie?
* Si oui, la suite Nk+1/Nk converge-t-elle vers un réel lamda? (lamda (environ)= 33,97?)

Question ouverte !
J'espère que quelqu'un vaudrait bien se prononcer sur la question!
Bien à vous!

Posté par
xtreboul
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 27-04-10 à 18:45

gagnésalut!
Ah j'avais pas tout lu!
Infophile a apporté des reponses a mes questions dans sa reponse!

Posté par
rob1stru
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 11-02-19 à 18:02

avec un petit programme j'ai pu en trouver un bien grand...
87784138523760.

Posté par
mathematicien
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 22-06-19 à 12:54

bonjour
ma réponse le voici.
il nous faut 49² - 1 soit vrais
il nous u(o) et u(o) + 1 soit vrais
en conséquence pour trouver on peut associé à celui ci une Supprimer le mot répété suite de raison u(o) et u(o)+1 pour qu'il soit vérifier.
on définit ainsi: un= u0 + nr

Posté par
lake
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 22-06-19 à 22:19

Bonsoir,

>>mathematicien

Et en français, ça donne quoi ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 27-06-19 à 22:42

quel intérêt de faire une réponse, surtout aussi incompréhensible, à une énigme clôturée il y a plus de 9 ans ?

1 2 +


Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 148:41:34.
Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !