J'ai trouvé 1680, 57120 et 1940448.

Bonjour Jamo,

Je propose :
1680
57120
1940448

Joyeuses Pâques !

Bonjour,

Après 48, les trois premières solutions sont :

1680
57120
1940448

Merci pour l'énigme .

Salut Jamo,
je propose 1680, 57120 et 1940448.

Bonjour,
1680
57120
1940448
Merci pour l'enigme

Bonjour
les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés sont
1680  , 57.120 et 1.940.448  
il doit y en avoir d'autres par ex. 65.918.160 et 2.239.277.040
A+

Bonjour,

au-delà du nombre 48 proposé dans l'exemple,

les 3 plus petits nombres qui répondent aux critères de recherche sont:

1680       avec 1680 + 1 = 41² et 1680/2+1 = 29²

57120      avec 57120 +1 = 239² et 57120/2+1 = 169²

1940448    avec 1940448 + 1= 1393² et 1940448/2 + 1 = 985²

Bien à vous

Slt à tous

Je propose :

1 680
57 120
1 940 448

Merci pour l'énigmo.

Bien à vous tous.

Bonjour Jamo

Les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 dont les successeurs et les successeurs de leurs moitiés sont des carrés parfaits sont:

son successeur 1681 est le carré de 41, sa moitié est 840 et le successeur de sa moitié 841 est le carré de 29

son successeur 57121 est le carré de 239, sa moitié est 28560 et le successeur de sa moitié 28561 est le carré de 169

  son successeur 1940449 est le carré de 1393, sa moitié est 970224 et le successeur de sa moitié 970225 est le carré de 985

bonjour,

je n'en trouve que 2 (en tout cas, inférieurs à 1300000) :

1680 et 57120

merci pour cette enigme

Bonjour.
1680, 57120, 1940448

Je propose
1680
57120
1940448

Une idée de démonstration ci-dessous :


Une petite équation de Pell Fermat à résoudre dans IN: 2a²-1=b²
On remarque que si (a;b) est solution alors (3a+2b;4a+3b) est solution.
Un petit raisonnement par l'absurde suivit d'un raisonnement par récurrence permet de montrer que l'ensemble de ces couples est le seul ensemble solution avec (1;1) comme plus petit élément
On obtient donc les couples solutions suivant :
(29 ;41)
(169 ;239)
(985 ;1393)

Ainsi les nombres cherchés sont :
1680
57120
1940448
Sauf erreur de ma part

Bonjour Jamo,

1680
57120
1940448
---------------
65918160
Merci pour l'énigmo.

Bonjour !

Voici ma réponse :

Les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces deux propriétés sont : 1 680, 57 120 et 1 940 448.

Merci !

Bonjour jamo,

Vraiment très belle énigme, j'ai du passer un temps sérieux avant de savoir la réponse...

Soit n le nombre presque carré
Il faut que:
n+1=a^2
n/2+1=b^2 (système 1)

avec a et b des entiers

D'après cela, je déduis en plus, qu'il faut que n soit un entier pair (et supérieur á 48); a et b impaire (avec a^2 et b^2 impaire)

Du système 1, j'ai aboutit á:
1/2 n =a^2-b^2
3/2n + 2=a^2 + b^2 (système 2)

Du système 2, j'ai aboutit á:
a^2-b^2=-1
a^2=2*b^2-1

De la je ne savais plus quoi faire, donc j'ai eu l'idée d'utiliser Excel en inserrant la suite Un tel que Un=V(2n^2-1) pour n impaire; et j'ai relevé les 3 résultats (sans compter le 7) tel que le nombre Un est un entier.

J'ai trouvé donc: a1=41 pour b1=29; a2=239 pour b2=169; a3=1393 pour b3=985

Pour trouve n; j'ai utilisé: n=a^2-1
donc n1=1680; n2=57120; n3=1 940 448 sont les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.

Merci jamo pour l'enigme

Bonjour
Effectivement il y a trés peu de candidats après 48
1680  (41/29)  
57120  (239/169 )
1940448 (1393/985 )

Il existe trois autres nombres supérieurs à 48 qui sont:
- 1 680
- 57 120
- 1 940 448

Coucou,

Voici ma réponse:

1680
57120
1940448

Bonne soirée (heu nuit).

Bonjour,

je propose 1 680, 57 120 et 1 940 448.

On a 1 681=41² et 841=1 680/2+1=29², 57 121=239² et 28 561=57 120/2+1=169², 1 940 449=1393² et 970 225=1 940 448/2+1=985².

1 680 ; 57 120 ; 1 940 448

Bonjour Jamo

Je pense que les suivants sont :

1680 ; 57120 et 1940448

MM

Bonjour jamo,

Les trois nombres sont :

1680
57120
1940448

Bonjour Jamo,

Je propose:

1680
57120
1940448

Bonjour Jamo

les trois nombres:   1680 , 57120 , 1940448

1680 + 1 = 1681 = 41²
1680/2 + 1 = 841 = 29²

57120 + 1 = 57121 = 239²
57120/2 + 1 = 28561 = 169²

1940448 + 1 = 1940449 = 1393²
1940448/2 + 1 =  970225 = 985²

bonjour Jamo,

je m'aperçois que suis  en retard
voici mes réponses:
les nombres cherchés sont



merci pour cet énigmo

Bonjour

Je propose les trois nombres suivants:

1680
57120
1940448

Joyeuses Pâques à tous

Bonjour,
1 680;
57 120;
1 940 448

1 681=41²
841=29²
57 121=239²
28 561=169²
1 940 449=1393²
970 225=985²

Bonjour Jamo,

je te propose les trois nombres suivants :

1680
57120
1940448

En espéeant avoir donné la réponse juste...
Encore merci pour cette nouvelle énigme.

P.

Bonsoir,
Il s'agit des nombres suivants :

1680
19600
57120

Voilà,

-greg-

Bonjour,

La réponse: 1 680, 57 120 et 194 0448.

Re-

1 940 448 est plus clair.
_{Portant j'avais fait un aperçu avnt de poster}

* Pourtant

Bonjour
Avec un peu de calcul formel et un tableur excel voici ma réponse obtenue en une dizaine de minutes:
couple (a,b) tel que a=racine(2b2-1)
1680  (couple 41,29)
57120 (couple 239,169)
1940448 (couple 1393,985)

Bonjour,
Voici les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient les mêmes propriétés que l'exemple:
1 680
57 120
1 940 448
Et pour le fun les 2 qui suivent :
65 918 160
2 239 277 040

En espérant ne pas m'être trompé

@++

pas d'autre solution

Bonjour,

voici les trois plus petits entiers naturels strictements supérieurs à 48 qui vérifie les conditions de l'énoncé,

1680
57120
1940448

si quelqu'un n'a pas compri je peu lui passer une feuille excel avec l'algorithme de résolution

Bonne journée

nb1  :  1680
nb2  :  57120
nb3  :  1940448


A+
Torio

salut

les 3 entiers suivants sont:

1680
57120
65918160

pénible quand on n'a pas de langage de programmation....

Bonjour jamo,

Je trouve 1680; 57120; et 1 940 448

Merci

Bonjour jamo,

C' est moi Jun (j' ai change recemment d' account car mon pseudo dans l' ile des maths, et celui dans l'ile physique, dans mon ancien e-mail, sont differents et c' est interdit de changer le pseudo, donc j'ai du changer mon account et mon e-mail pour avoir un nouveau pseudo commun aux 2 iles (et sur le meme e-mail) ... Je voulais participer aux enigmes avec le nouveau account vu que j'ai passer plus qu' une demi-heure dans certaines pour trouver la solution; mais sans faire attention j' avais ouvert l' account ''Jun'' au lieu de ''Petro_Junior'' en envoyant ma solution, donc je vous prie de m'excuser pour ce petit accident ...

Donc je trouve (ou j' avais trouve plutot) n1=1680; n2=57120; n3=1 940 448

Merci, et desole encore pour mon comportement precedent !

bonjour
je trouve  1 680, 57 120 et 1 940 448 mais  !!!
en tout cas merci.

Bonjour

1680
57120
1940448

Bonjour,

Je trouve les 3 nombres suivants :
1680
57120
1940448

J'ai remarqué que la somme des deux racines parfaites était égale à la différence des deux racines suivantes.
pour 48, on a 5+7=12
pour 1680, on 41-29=12

et ainsi de suite...
Je ne l'ai pas démontré mais je l'ai utilisé pour trouver 57120 et 1940448.
Cela donne une équation du 2nd degré.
Avec cette méthode, le nombre suivant serait 65918160, et ainsi de suite...
Le rapport de deux nombres consécutifs tend vers 1154 . Mais là non plus, je n'ai rien démontré, et n'ai fait que le constater.

A+, KiKo21

Bonjour Jamo, pour cette première énigme je propose comme nombre : 57120 et 1680  car

57121 = 239²
57121/2 + 1 = 28561 = 169²
1681 = 41²
1680/2+1 = 841 = 29²

Les nombres trouvés sont:

1680
57120
1940448

Bonjour,
Je propose:
1680 (1681=41² et 841=29²)
57120 (57121=239² et 28561=169²)
1940448 (1940449=1393² et 970225=985²)

Les tois nombres sont :
1 680
57 120
1 940 448

Bonjour,

Pour ma part, je n'ai trouver que le nombre 1680.

Cordialement.

Je crois qu'il n'y a pas d'autres solutions.