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Enigmo 188 : Nombres presque carrés

Posté par
jamo Moderateur
04-04-10 à 12:17

Bonjour,

Prenons le nombre 48 :
- si j'ajoute 1, j'obtiens 49, qui est un carré parfait (carré d'un entier) ;
- si j'ajoute 1 à sa moitié, j'obtiens 25, qui est aussi un carré parfait.

Question : trouver les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.

Si vous pensez qu'il n'en existe pas d'autre, alors répondez "pas d'autres solution".
Et si vous pensez qu'il n'en existe qu'un seul ou deux autres, alors donnez le(s).

Bonne recherche !

Enigmo 188 : Nombres presque carrés

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 12:35

gagnéJ'ai trouvé 1680, 57120 et 1940448.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 12:49

gagnéBonjour Jamo,

Je propose :
1680
57120
1940448

Joyeuses Pâques !

Posté par
LeDino
Bonjour 04-04-10 à 12:56

gagnéBonjour,

Après 48, les trois premières solutions sont :

1680
57120
1940448


Merci pour l'énigme .

Posté par
totti1000
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 13:09

gagnéSalut Jamo,
je propose 1680, 57120 et 1940448.

Posté par
Livia_C
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 13:41

gagnéBonjour,
1680
57120
1940448
Merci pour l'enigme

Posté par
geo3
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 15:17

gagnéBonjour
les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés sont
1680  , 57.120 et 1.940.448  
il doit y en avoir d'autres par ex. 65.918.160 et 2.239.277.040
A+

Posté par
castoriginal
Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 15:47

gagnéBonjour,

au-delà du nombre 48 proposé dans l'exemple,

les 3 plus petits nombres qui répondent aux critères de recherche sont:

1680       avec 1680 + 1 = 412 et 1680/2+1 = 292

57120      avec 57120 +1 = 2392 et 57120/2+1 = 1692

1940448    avec 1940448 + 1= 13932 et 1940448/2 + 1 = 9852

Bien à vous

Posté par
akub-bkub
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 16:08

gagnéSlt à tous

Je propose :

1 680
57 120
1 940 448

Merci pour l'énigmo.

Bien à vous tous.

Posté par
pacou
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 17:06

gagnéBonjour Jamo

Les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 dont les successeurs et les successeurs de leurs moitiés sont des carrés parfaits sont:

\fbox{1680} son successeur 1681 est le carré de 41, sa moitié est 840 et le successeur de sa moitié 841 est le carré de 29

\fbox{57120} son successeur 57121 est le carré de 239, sa moitié est 28560 et le successeur de sa moitié 28561 est le carré de 169

\fbox{1940448}  son successeur 1940449 est le carré de 1393, sa moitié est 970224 et le successeur de sa moitié 970225 est le carré de 985

Posté par
lo5707
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 17:27

perdubonjour,

je n'en trouve que 2 (en tout cas, inférieurs à 1300000) :

1680 et 57120

merci pour cette enigme

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 17:31

gagnéBonjour.
1680, 57120, 1940448

Posté par
hhh86
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 17:45

gagnéJe propose
1680
57120
1940448

Une idée de démonstration ci-dessous :


Une petite équation de Pell Fermat à résoudre dans IN: 2a²-1=b²
On remarque que si (a;b) est solution alors (3a+2b;4a+3b) est solution.
Un petit raisonnement par l'absurde suivit d'un raisonnement par récurrence permet de montrer que l'ensemble de ces couples est le seul ensemble solution avec (1;1) comme plus petit élément
On obtient donc les couples solutions suivant :
(29 ;41)
(169 ;239)
(985 ;1393)

Ainsi les nombres cherchés sont :
1680
57120
1940448
Sauf erreur de ma part

Posté par
caylus
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 17:57

gagnéBonjour Jamo,

1680
57120
1940448
---------------
65918160
Merci pour l'énigmo.

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 18:19

gagnéBonjour !

Voici ma réponse :

Les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces deux propriétés sont : 1 680, 57 120 et 1 940 448.

Merci !

Posté par
Jun
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 18:31

gagnéBonjour jamo,

Vraiment très belle énigme, j'ai du passer un temps sérieux avant de savoir la réponse...

Soit n le nombre presque carré
Il faut que:
n+1=a^2
n/2+1=b^2 (système 1)

avec a et b des entiers

D'après cela, je déduis en plus, qu'il faut que n soit un entier pair (et supérieur á 48); a et b impaire (avec a^2 et b^2 impaire)

Du système 1, j'ai aboutit á:
1/2 n =a^2-b^2
3/2n + 2=a^2 + b^2 (système 2)

Du système 2, j'ai aboutit á:
a^2-b^2=-1
a^2=2*b^2-1

De la je ne savais plus quoi faire, donc j'ai eu l'idée d'utiliser Excel en inserrant la suite Un tel que Un=V(2n^2-1) pour n impaire; et j'ai relevé les 3 résultats (sans compter le 7) tel que le nombre Un est un entier.

J'ai trouvé donc: a1=41 pour b1=29; a2=239 pour b2=169; a3=1393 pour b3=985

Pour trouve n; j'ai utilisé: n=a^2-1
donc n1=1680; n2=57120; n3=1 940 448 sont les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient ces mêmes propriétés, c'est-à-dire tels que leurs successeurs et les successeurs de leurs moitiés soient des carrés parfaits.

Merci jamo pour l'enigme

Posté par
dpi
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 04-04-10 à 19:32

gagnéBonjour
Effectivement il y a trés peu de candidats après 48
1680  (41/29)  
57120  (239/169 )
1940448 (1393/985 )

Posté par
rapido307
réponse 04-04-10 à 22:16

gagnéIl existe trois autres nombres supérieurs à 48 qui sont:
- 1 680
- 57 120
- 1 940 448

Posté par
sudoku43
Enigmo 188, nombres presques carrés 04-04-10 à 23:21

gagnéCoucou,

Voici ma réponse:

1680
57120
1940448

Bonne soirée (heu nuit).

Posté par
dagwa
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 00:54

gagnéBonjour,

je propose 1 680, 57 120 et 1 940 448.

On a 1 681=41² et 841=1 680/2+1=29², 57 121=239² et 28 561=57 120/2+1=169², 1 940 449=1393² et 970 225=1 940 448/2+1=985².

Posté par
evariste
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 08:21

gagné1 680 ; 57 120 ; 1 940 448

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 09:05

gagnéBonjour Jamo

Je pense que les suivants sont :

1680 ; 57120 et 1940448

MM

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 09:44

gagnéBonjour jamo,

Les trois nombres sont :

1680
57120
1940448

Posté par
Ugreno
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 11:04

gagnéBonjour Jamo,

Je propose:

1680
57120
1940448

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 15:01

gagnéBonjour Jamo

les trois nombres:   1680 , 57120 , 1940448

1680 + 1 = 1681 = 41²
1680/2 + 1 = 841 = 29²

57120 + 1 = 57121 = 239²
57120/2 + 1 = 28561 = 169²

1940448 + 1 = 1940449 = 1393²
1940448/2 + 1 =  970225 = 985²

Posté par
veleda
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 15:07

gagnébonjour Jamo,

je m'aperçois que suis  en retard
voici mes réponses:
les nombres cherchés sont
1680=41^2-1
57120=239^2-1
1940448=1393^2-1
merci pour cet énigmo

Posté par
Rumbafan
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 17:36

gagnéBonjour

Je propose les trois nombres suivants:

1680
57120
1940448

Joyeuses Pâques à tous

Posté par
Labo
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 18:58

gagnéBonjour,
1 680;
57 120;
1 940 448

1 681=412
841=292
57 121=2392
28 561=1692
1 940 449=13932
970 225=9852

Posté par
pallpall
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 19:31

gagnéBonjour Jamo,

je te propose les trois nombres suivants :

1680
57120
1940448

En espéeant avoir donné la réponse juste...
Encore merci pour cette nouvelle énigme.

P.

Posté par
-greg-
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 05-04-10 à 19:37

perduBonsoir,
Il s'agit des nombres suivants :

1680
19600
57120

Voilà,

-greg-

Posté par
gloubi
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 06-04-10 à 10:14

gagnéBonjour,

La réponse: 1 680, 57 120 et 194 0448.

Posté par
gloubi
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 06-04-10 à 12:42

gagnéRe-

1 940 448 est plus clair.
Portant j'avais fait un aperçu avnt de poster

Posté par
gloubi
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 06-04-10 à 12:43

gagné* Pourtant

Posté par
jcdusud
méthode bestiale 06-04-10 à 14:56

gagnéBonjour
Avec un peu de calcul formel et un tableur excel voici ma réponse obtenue en une dizaine de minutes:
couple (a,b) tel que a=racine(2b2-1)
1680  (couple 41,29)
57120 (couple 239,169)
1940448 (couple 1393,985)

Posté par
carpissimo
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 06-04-10 à 18:31

gagnéBonjour,
Voici les 3 plus petits nombres entiers strictement supérieurs à 48 qui vérifient les mêmes propriétés que l'exemple:
1 680
57 120
1 940 448

Et pour le fun les 2 qui suivent :
65 918 160
2 239 277 040

En espérant ne pas m'être trompé

@++

Posté par
valou140
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 07-04-10 à 16:53

perdupas d'autre solution

Posté par
Rainbow14
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 07-04-10 à 18:01

gagnéBonjour,

voici les trois plus petits entiers naturels strictements supérieurs à 48 qui vérifie les conditions de l'énoncé,

1680
57120
1940448

si quelqu'un n'a pas compri je peu lui passer une feuille excel avec l'algorithme de résolution

Bonne journée

Posté par
torio
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 12:05

gagnénb1  :  1680
nb2  :  57120
nb3  :  1940448


A+
Torio

Posté par
carpediem
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 13:37

perdusalut

les 3 entiers suivants sont:

1680
57120
65918160

pénible quand on n'a pas de langage de programmation....

Posté par
Jun
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 15:39

gagnéBonjour jamo,

Je trouve 1680; 57120; et 1 940 448

Merci

Posté par
Petro_Junior
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 15:55

gagnéBonjour jamo,

C' est moi Jun (j' ai change recemment d' account car mon pseudo dans l' ile des maths, et celui dans l'ile physique, dans mon ancien e-mail, sont differents et c' est interdit de changer le pseudo, donc j'ai du changer mon account et mon e-mail pour avoir un nouveau pseudo commun aux 2 iles (et sur le meme e-mail) ... Je voulais participer aux enigmes avec le nouveau account vu que j'ai passer plus qu' une demi-heure dans certaines pour trouver la solution; mais sans faire attention j' avais ouvert l' account ''Jun'' au lieu de ''Petro_Junior'' en envoyant ma solution, donc je vous prie de m'excuser pour ce petit accident ...

Donc je trouve (ou j' avais trouve plutot) n1=1680; n2=57120; n3=1 940 448

Merci, et desole encore pour mon comportement precedent !

Posté par
jolenul
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 18:11

gagnébonjour
je trouve  1 680, 57 120 et 1 940 448 mais  !!!
en tout cas merci.

Posté par
plip
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 19:14

gagnéBonjour

1680
57120
1940448

Posté par
kiko21
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 19:29

gagnéBonjour,

Je trouve les 3 nombres suivants :
1680
57120
1940448


J'ai remarqué que la somme des deux racines parfaites était égale à la différence des deux racines suivantes.
pour 48, on a 5+7=12
pour 1680, on 41-29=12

et ainsi de suite...
Je ne l'ai pas démontré mais je l'ai utilisé pour trouver 57120 et 1940448.
Cela donne une équation du 2nd degré.
Avec cette méthode, le nombre suivant serait 65918160, et ainsi de suite...
Le rapport de deux nombres consécutifs tend vers 1154 . Mais là non plus, je n'ai rien démontré, et n'ai fait que le constater.

A+, KiKo21

Posté par
ladiiie
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 08-04-10 à 23:34

perduBonjour Jamo, pour cette première énigme je propose comme nombre : 57120 et 1680  car

57121 = 239²
57121/2 + 1 = 28561 = 169²
1681 = 41²
1680/2+1 = 841 = 29²

Posté par
mimit73
Challenge Réussi 09-04-10 à 11:15

gagnéLes nombres trouvés sont:

1680
57120
1940448

Posté par
sanantonio312
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 09-04-10 à 11:45

gagnéBonjour,
Je propose:
1680 (1681=41² et 841=29²)
57120 (57121=239² et 28561=169²)
1940448 (1940449=1393² et 970225=985²)

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 09-04-10 à 17:42

gagnéLes tois nombres sont :
1 680
57 120
1 940 448

Posté par
Leonegres
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 09-04-10 à 21:36

perduBonjour,

Pour ma part, je n'ai trouver que le nombre 1680.

Cordialement.

Posté par
ace
re : Enigmo 188 : Nombres presque carrés 10-04-10 à 11:36

perduJe crois qu'il n'y a pas d'autres solutions.

1 2 +


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