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Enigmo 282 : Une énigme cochonne

Posté par
jamo Moderateur
17-10-12 à 14:55

Bonjour tout le monde,

le loup a enfin réussi à capturer les trois petits cochons, et a décidé de les enfermer pour les engraisser avant de les manger.

Chaque cochon est placé dans un enclos rectangulaire comme le montre l'image ci-dessous. Les trois enclos, accolés les uns aux autres, ont les mêmes dimensions.

Le loup dispose de 120 mètres de grillage qu'il compte utiliser entièrement pour réaliser les enclos.

Question : Quelles sont les dimensions des enclos afin que leurs aires soient maximales ?

Vous donnerez la longueur et la largeur d'un enclos en mètre, avec une précision au centimètre si nécessaire.

Bonne recherche !

Enigmo 282 : Une énigme cochonne

Posté par
link224
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:02

perduSalut jamo.

Bon, ça me parait un peu simple mais je tente.
L'aire d'un rectangle étant maximale si le rectangle est en fait un carré, les enclos auront une aire maximale si ce sont des carrés de côté 15 mètres (120/8 car il y a 8 segments de même longueur)

A+ et merci pour l'énigme.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:05

gagnéChaque enclos a une longueur (dimension horizontale)de 10 m et une largeur (dimension verticale) de 15m.

Posté par
masab
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:13

gagnéBonjour,

Dimensions des enclos afin que leurs aires soient maximales :
longueur d'un enclos : 15 mètres (verticalement sur le dessin)
largeur d'un enclos  : 10 mètres (horizontalement sur le dessin)
aire d'un enclos : 150 mètres carrés.

Merci pour cette énigme !

Posté par
panda_adnap
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:13

gagné15m (hauteur sur le dessin) x 10m (largeur) pour une aire de 150m2
Merci

Posté par
totti1000
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:17

perduSalut Jamo,

Je propose : largeur : 10,04 m et longueur : 14,94 m.

Merci pour l'énigme.

Posté par
ksad
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:22

gagnéChaque enclos fait 10 x 15m (les côtés communs à 2 enclos mesurant 15m, donc le rectangle total fait 30 x 15m).
De cette manière, on utilise bien la totalité des 120m de clôture, tout en maximisant la surface disponible pour chaque cochon.
Merci pour l'enigmo.

Posté par
Surb
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:53

gagnéBonjour,

Je propose des enclos de 10m par 15m (collés par le coté de 15m).

Je met mon raisonnement avec car ça me semble trop facile (pour 3 étoiles),
Soit a la longueur d'un enclos et b sa largeur, alors
4a+6b = 120 \Rightarrow b = 20-\frac{2a}{3}
l'aire d'un enclos en fonction de a vaut donc
S(a) = ab = 20a-\frac{2a^2}{3}
Comme cette fonction est concave, le maximum existe et est unique, ce dernier est atteint lorsque
20-\frac{4a}{3} = 0 \Rightarrow a = 15 \Rightarrow b=10

Posté par
salmoth
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 15:58

gagnébonjour,

j'ai fait l'hypothese que le loup pouvait decouper les 120m grillage en plusieurs morceaux ...
(c'est a dire qu'il n'etait pas obligé de fabriquer l'enclos en un seul trajet continu)
l'ennoncé ne contenant aucune contrainte de ce type ...

je trouve ainsi des enclos de 10m  par 15m (accolés par le coté faisant 15m !)

merci pour l'enigme !

PS:
Si jamais il existe une contrainte forcant le loup a fabriquer les enclos avec les 120m de grillage en un seul morceau
alors la solution serait des enclos de 8.57m par 15m (accolés par le coté faisant 15m !)

Posté par
dpi
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 16:08

perduBonjour.

Le piège est-il dans rectangulaire car le carré
serait mieux adapté...
3 carrés de 12 m seraient cloturés par 120 m soit 6 "longueurs "et 4 "largeurs" (72+48 )
à noter que si la disposition était 2 enclos alignés +1 en quinconce on aurait aussi 5 "longueurs" + 5 "largeurs" (soit 60+60).Dans les deux cas chaque enclos aurait une surface de 144 m².
Si le rectangle est absolument exigé ,je choisirai la disposition en quinconce et pour respecter le cm,on dirait
12.01 x 11.99

Posté par
jonjon71
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 16:17

gagnéBonjour,

Voici ma réponse :

Les dimensions des enclos sont :

  L = 15 m
  l = 10 m


Merci !

Posté par
brubru777
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 16:39

gagnéBonjour,

Je trouve que les enclos font 10m x 15m, 10m correspondants aux bords "horizontaux" sur le dessin.

Merci pour l'énigme.

Posté par
rogerd
les cochons 17-10-12 à 16:40

gagnéMerci Jamo.

Y-aurait-il un piège?

Je trouve des enclos de 15m de long et 10m de large.

Posté par
Alrahil
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 16:54

gagnélongueur : 15 mètres.
largeur : 10 mètres.

Posté par
rschoon
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 17:17

perduBonjour à tous.

Ma réponse : longueur = 30 m, largeur = 10 m. Les enclos sont en contact par leur longueur.

Merci pour l'énigme.

Posté par
MatheuxMatou
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 17:26

gagnéBonjour

je dirais que chaque enclos fait 10 mètres sur 15 mètres

MM

Posté par
torio
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 18:44

gagnéDimensions de l'enclos

15m par 10m

Voir dessin

Enigmo 282 : Une énigme cochonne

Posté par
geo3
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 18:55

gagnéBonjour
En admettant que le grillage au milieu n'est pas double ( dans le dessin les  2 traits du milieu ne sont pas doubles ) si v est la longueur verticale  d'un enclos et h la longueur horizontale d'un enclos on a
4v + 6h = 120 ou 2v + 3h = 60 ou h = (60 - 2v)/3 =>
vh ou v(60-2v)/3 (parabole) est Maximum pour v = 15m et h = 10m
Cela me paraît simple pour un 3*
Je suis sûrement bon pour 1
A+

Posté par
sbarre
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 17-10-12 à 19:43

gagnéBonjour,
bon allez je me lance; si le grillage correspond au trait noir du dessin et si on considere que est la valeur du coté d'un enclos individuel et b la hauteur (sur le dessin), on a 120=6a+4b  et A (l'aire) vaut 3a.b donc 60b-2b².
On dérive pour trouver l'extremum: 60-4b=0 donne b=15 et donc a=10
L'Aire vaut donc 15x30 soit 450 m².
Chaque enclos fait 10m par 15m (et ils se touchent sur le coté de 15m).

Ce qui me chagrine vraiment ce sont les trois étoiles...qui me semblent incompatibles avec une solution en moins de 2 minutes
Suis-je complètement à côté de la plaque???

A bientôt et merci

Posté par
Chatof
15,00 x 10,00 18-10-12 à 00:02

gagnéLongueur : 15 mètres
Largeur : 10 mètres
donc 3 enclos avec deux longueurs communes
total : 4  longueurs + 6 largeurs = 4*15+6*10=120

Bonjour,
et merci Jamo

Posté par
mathafou Moderateur
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 18-10-12 à 01:49

gagnétropfassil,
(d'ailleurs z'ont tous déja répondu)

les enclos font 15 m sur 10 m :
Enigmo 282 : Une énigme cochonne

démonstration :
dimensions hors tout x sur y :
4x + 2y = 120
maximiser xy, c'est à dire maximiser (4x)(2y)
selon "un théorème bien connu" cela aura donc lieu avec 4x = 2y et donc 4y = 120, y = 30 et x = 30/2 = 15

Posté par
deuus3
Cochonne !!! 18-10-12 à 04:00

gagnéLa longueur est de 15m et la largeur 10m
Si ma reponse est correcte, je pense pas que cet enigme meritait 3 etoiles, une tout au plus car elle m'a pris 5 minutes et je suis loin d'etre tres bon pour resoudre les enigmes. Mais il est aussi tres possible que j'ai mal compris la question et que l'enigme meritait les 3 etoiles

Posté par
jugo
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 18-10-12 à 04:32

gagnéBonjour,

Chaque enclos fait 15m x 10m.

Enigmo 282 : Une énigme cochonne

Posté par
scarface01
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 18-10-12 à 05:44

gagnéMa réponse: 15 mètres de longueur et 10 mètres de largeur.

Posté par
RickyDadj
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 18-10-12 à 05:44

gagnéSalut, Jamo! Salut, tous!
Je propose les dimensions suivantes : longueur 15,00 m et largeur 10,00 m.
L'aire d'un enclos est alors de 150 m2, et ce sont les longueurs que les enclos ont en commun, contrairement à ce que suggère ce dessin trompeur.
Merci!

Posté par
evariste
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 18-10-12 à 11:48

gagnéchaque enclos mesure 10 m sur 15 m.

Posté par
franz
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 18-10-12 à 13:56

gagnéChaque enclos mesure 15m x 10m (les côtés communs à 2 enclos étant les côtés de 15m)

Posté par
dpi
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 18-10-12 à 15:47

perduBonjour

Je n'ai plus de complexes avec les poisssons,
un affreux cauchemar m'a réveillé avec un loup
malicieux qui me disait :"des rectangles oui,mais
dans l'autre sens 4L+6l c'st mieus que 6L+4l".

15 x 10 est l'optimum.

Posté par
Katalyn
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 19-10-12 à 00:15

gagnéBonjour,

Je trouve des enclos de dimension 15m x 10m avec une aire maximale de 150m2.

Merci =)

*partie se faire griller des travers de porc au caramel* =p

Posté par
pdiophante
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 19-10-12 à 09:16

gagnéL = 15 et l = 10

Posté par
Livia_C
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 19-10-12 à 18:35

gagnéBonjour,
Les dimensions des enclos : 10 m  et 15 m
La longueur du grillage : 10 m * 6 + 15 m * 4 = 120 m
L'aire des enclos : 10 m  * 15 m = 150 m²

Merci pour l'énigme

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 19-10-12 à 20:59

perduBonsoir jamo,

La longueur d'un enclos = 18 m.
La largeur d'un enclos = 3 m.

Merci.

Posté par
olivia01
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 20-10-12 à 10:39

gagnéBonjour !
je pense avoir trouvé la solution à cette égnime ...

Enigmo 282 : Une énigme cochonne

Posté par
buck92
Enigmo 282 21-10-12 à 16:22

gagnéBonjour,
l'enclos a une dimension de 15 m sur 10 m, me semble-t-il.
Amicalement.

Posté par
Pierre_D
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 22-10-12 à 01:27

perduBonjour Jamo,

Voici la (ma) solution :
dimension horizontale de ton dessin (largeur) : 16,67 m  (en fait 50/3)
dimension verticale de ton dessin (longueur) :  25,00 m  (en fait 25)

Quel que soit le nombre d'enclos identiques ainsi alignés, on retombe d'ailleurs sur la règle :  total des longueurs horizontales = total des longueurs verticales , comme avec un seul enclos (avec une aire totale évidemment plus petite).

Posté par
fontaine6140
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 22-10-12 à 18:29

gagnéBonjour Jamo,
15,00 (m) par 10,00 (m) si le loup sait manipuler une paire de tenailles (pour couper le grillage).
@+

Posté par
meemy223
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 23-10-12 à 12:58

perduChaque enclos mesure 10m de largeur et 13,33m de longueur !

Posté par
Tonm
Mystère 25-10-12 à 08:07

gagnéLes clos sont rectangulaires  et ègaux après calcul 3*largeur +2*longueur=60M DONC je trouve la seule solution max.le couple (10m.15m) merci

Posté par
sephdar
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 26-10-12 à 20:13

gagnébonjour,

longueur : 15 m    (vertical sur le schéma)
largeur: 10 m   (horizontal sur le schéma)

longueur de grillage : 15 * 4 + 10 * 6 = 120 m
aire de chaque enclos : 15 * 10 = 150 m²

il y a 3 étoiles, il y a un piège que je n'ai pas vu ??

Posté par
carpediem
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 27-10-12 à 14:20

gagnésalut

Enigmo 282 : Une énigme cochonne

en considérant la figure 1 on a :

6a + 4b = 120

donc l'aire s d'un enclos est s = ab = 3a(10 - a/2) de racines 0 et 20

l'aire est maximale lorsque a = 10 et b = 15 et vaut 150


mais


en considérant la figure 2 (qui je l'espère répond bien aux conditions de l'énoncé !!) on a :

5a + 5b = 120

donc l'aire s d'un enclos est s = ab = a(26 - a) de racines 0 et 26

l'aire est maximale lorsque a = b = 13 et vaut 169


Posté par
pyth
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 28-10-12 à 19:28

gagnéL=15 metres
l=10 metres

Posté par
pepegeo
enigme282 29-10-12 à 15:44

perduCeci me semble si facile! Alors poisson ou énigme
Je pose le problème avec L=largeur et  h=hauteur
ce qui me fait 6L + 4h = 120m
et pour une aire optimisée je choisi le carré qui est un rectangle
et ça marche: 3 Carrés de L=12m x h=12m = 144m2 x 3 soit 432m carrés
trop simple pour être vrai? Erruer de lecture? on verra!

Posté par
manpower
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 29-10-12 à 21:00

gagnéBonsoir à tous,

pour une configuration en L, je trouve un max de 12*12=144 m².
Mais pour une disposition en ligne, je trouve un max de 15*10=150m².

Les dimensions d'un enclos devraient donc être de 15m par 10m (et les rectangles accolés sur leur longueur).
Humm... ça paraît trop simple, aurais-je perdu la main ?

Posté par
Kit_
Réponse 29-10-12 à 22:09

gagnéSalut,

selon moi L=15 m et l=10 m , avec une aire par enclos de 150 m² et donc une aire totale de 450 m².
Je ne sais pas si vous voulez la façon dont j'ai trouvé ce résultat, mais je vais quand même mettre les calculs sans commentaires :

Périmètre = 120 = 6y + 4x
60 = 3y + 2x
f(x) = y = (60 - 2x) / 2
f(x) = 20 - 2/3*x

(x) mod 3 ≡ 0 si y est entier
Donc on définit x = 3*x' et du coup y = 20 - 2*x'

On vérifie que P = 120 :
P = 6*y + 4*x = 6*(20 - 2*x') + 4*3*x' = 120

On définit ensuite g(x) = Aire = 3*x*y = 3*3*x'*(20 - 2*x') = 180*x' - 18*x'²
On a y > 0 tant que x'≤ 9 et x > 0 tant que x'=1 donc x' prend obligatoirement une valeur entière sur l'intervalle [1 ; 9] .

On teste donc les 2 bornes : g(1) = 162 et g(9) = 162 , or g(x) est un polynôme du second degré donc les 2 solutions d'une équation quelconque du type g(x) = k sont réparties symétriquement autour d'une solution unique, extremum de la fonction donc on fait (1 + 9) / 2 = 5 puis g(5) = 450, en sachant que g tend vers -∞ on sait que 450 est le maximum. On calcule ensuite x et y : x = 3*5 = 15 et y = (20 - 2* 5) = 10 , ce sont les valeurs recherchées.

J'espère que mon raisonnement est bon, en attendant merci pour cette énigme intéressante !

Sur ce bonne journée.

Posté par
Romainn
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 02-11-12 à 03:27

gagnéBonsoir,

Je propose :

Longueur = 15,00m
Largeur = 10,00m

Breve explication :

x=Largeur
y =Longueur

P=  120=6x+4y
On isole l'une des variable.
x=(60-2y)/3
L'aire d'un rectangle = xy = y(60-2y)/3
(xy)'= (-4y+60)/3 => =0 pour y=15
On trouve le maximum de cette fonction.

On a donc x=10 et y =15

Posté par
Dams33
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 02-11-12 à 16:24

perduChallenge en cours

Posté par
Alishisap
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 03-11-12 à 11:06

gagnéBonjour bonjour et merci pour l'énigme !

L'aire de chaque enclos est maximale lorsque chacun mesure 15 mètres de longueur sur 10 mètres de largeur. L'aire d'un enclos est alors de 150 mètres carrés.

Démonstration
Soient s la longueur d'un enclos et p la largeur (oui p et s, et alors ? )

Enigmo 282 : Une énigme cochonne

Le périmètre fait 120 mètres, donc :

4s+6p=120\Longleftrightarrow s=-\dfrac{3}{2}p+30

Aire d'un enclos :

A(p)=ps=p\left(-\dfrac{3}{2}p+30\right)=-\dfrac{3}{2}p^2+30p

On calcul le maximum de cette fonction :

\Omega\left(-\dfrac{b}{2a};A\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)=\Omega\left(10;150\right)

Donc l'aire maximale d'un enclos est de 150 mètres carrés pour une largeur de 10 mètres et une longueur de :

s=-\dfrac{3}{2}\times10+30=15\text{m}.

On vérifie quand même que c'est bien égal à 120 : 4\times15+6\times10=60+60=120.

C'est tout bon.

Enigmo 282 : Une énigme cochonne

Posté par
Alishisap
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 03-11-12 à 11:11

gagnéJe me suis un peu emmêlé les pinceaux, c'est plutôt 6s+4p=120

M'enfin comme ça ne change pas la réponse...

Posté par
Kidam
re : Enigmo 282 : Une énigme cochonne 05-11-12 à 11:30

gagnéBonjour,

Soit je me fourvoie complètement, soit les trois étoiles sont un piège.

Si X sont les cotés latéraux des enclos et Y les cotés supérieurs et inférieurs (sur le dessin), alors on a :

4X + 6Y = 120
et X * 3Y = Aire

Il suffit alors de faire varier X pour obtenir Y et calculer l'aire pour avoir un maximum.

On obtient alors une aire maximale de 3 fois 150 m² pour X= 15 m et Y=10 m

Merci

Posté par
matgrady
Reponse 06-11-12 à 11:19

gagnéJe trouve : hauteur 15 m
            largeur 10 m

aire totale 450 m2

on a bien 4*15+6*10=120

Merci l'informatique

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Challenge (énigme mathématique) terminé .
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