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Enigmo 299 : Le cône géant

Posté par
jamo Moderateur 20-05-13 à 11:12

Bonjour tout le monde,

voici une énigme dont beaucoup d'entre vous affectionnent : un peu de géométrie, des unités diverses et variées, et une bonne application numérique ... l'idéal pour se tromper !!

On dispose d'un réservoir dont la forme est un cône de révolution : la pointe est fixée au sol, et la hauteur du cône est verticale.
Nous allons remplir ce réservoir avec de l'eau ...

L'angle au sommet du cône est de 73,8 grades (oui, vous avez bien lu : des grades).
On suppose que la hauteur du cône est suffisamment grande pour qu'il ne déborde pas dans le cadre de ce qui va se passer dans cette énigme.

Le réservoir étant initialement vide, on le remplit avec un débit constant de 347,9 litres d'eau par heure.

Comme tous les propriétaires de piscines le savent bien, l'eau s'évapore avec une vitesse qui dépend de nombreux paramètres.
Ici, on considère que l'eau s'évapore à raison de 2,54 litres par jour et par mètre carré de surface d'eau à l'air libre (cette surface est donc circulaire).

Maintenant, réfléchissons un peu : le temps passe ... le réservoir se remplit ... donc la surface à l'air libre augmente ... donc la quantité d'eau qui s'évapore augmente aussi ... et donc voici la question ...

Question : Quelle est la hauteur maximale d'eau dans le cône ?

Vous donnerez la réponse en mètres, avec une précision au millimètre le plus proche.

Bonne recherche !

Question subsidiaire (pas obligatoire pour valider l'énigme) : au bout de combien de temps cette hauteur maximale est atteinte ?

Enigmo 299 : Le cône géant

Posté par
masabre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 11:43

gagnéBonjour,

La hauteur maximale d'eau dans le cône est de 49.413 mètres

Merci pour cette énigme facile...

Posté par
panda_adnapre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 12:21

gagnéJe tente, la géométrie n'étant pas mon truc:
49.413 m

Pour la question subsidiaire, je dirais (bon ca compte pas hein!) qu'il faut un temps infini, mais pour en etre sur, il faudrait poser l'équation différentielle et je n'ai pas le courage. Merci à tous ceux qui l'ont fait dans les posts qui suivent !

Posté par
Nofutur2re : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 12:29

gagnéJe trouve une hauteur de 49,413m arrondi au mm le plus proche..

Posté par
RickyDadjre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 12:30

perduSalut Jamo, salut masab, salut panda_adnap!
Je propose 14,119 mètres comme hauteur maximale (la hauteur pour laquelle ce qui s'évapore est égal à ce qui entre).
Merci pour l'énigme!

Posté par
RickyDadjre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 12:34

perduAh, salut Nofutur2 aussi!
Vu la géométrie du cône, la surface libre s'exprime, en fonction de la hauteur de l'eau, par S=h2(tan)2, étant l'angle au sommet (73,8 grades). A la hauteur maximale, on a donc (2,54/24).S = 347,9, d'où le résultat (sauf erreur).

Posté par
castoriginalEnigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 14:36

gagnéBonjour,

1°) l'angle du cône est de 73,8 grades soit 66,42 degrés.
Le demi angle alfa vaut donc 33,21°. Sa tangente vaut
0,65463096

2°) La hauteur maximale dans le cône est atteinte lorsque le débit d'alimentation est égal au débit d'évaporation soit 347,9 l /h
On a donc 347,9 l/h = ( 2,54 l/j/24 * Pi * R*R)
On trouve alors une valeur de R=
32,3475238m

Si h est la hauteur du niveau de l'eau dans le cône, on a dans le triangle rectangle de côtés R et h et d'angle 33,21°
la relation R=h* tan(alfa) soit  h = R/tan(alfa)    

on trouve alors la hauteur maximale de h = 49,413m

Cet  équilibre arrive après 6 jours 11h 38 minutes

Posté par
sbarrere : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 16:28

gagnéBonjour,
Appelons la surface pour laquelle evaporation et remplissage s'annulent. On a chaque jour 347.9 * 24 litres qui sont deverses dans le cone et on a 2.54 * A litres qui s'evaporent (comme on est a l'equilibre l'evaporation et le remplissage sont constants et la duree d'un jour n'intervient pas). On en deduit que A = 347.9*24/2.54.

Or cette surface etant un disque parfait (cone de revolution place a la verticale, on s'en sort bien....) on a A=pi.r2  et on en conclut que
r = (A/pi).
Enfin un peu de trigo nous donne que la tangente de la moitie de l'angle au sommet (merci d'avoir insiste sur les grades, sinon je serais surement passe a cote!) vaut r divise par la hauteur cherche.

On a donc h =  [((347.9*24/2.54)/pi)] / tan (73.8/2)  

On a donc
A=3287.24409  m2
r=32.34752  m
et tan (73.8/2) = tan 36.9 = 0.65463

la hauteur cherchee arrondie au mm le plus proche est donc 49.413 m

pour la question subsidiaire ...j'y reflechirai...peut etre!

Posté par
Emixamre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 16:45

gagnéBonjour,

Je trouve que la hauteur maximale d'eau dans le cône est de 49,413 m.

Je me place dans le triangle EFS  isocèle en S tel que \widehat{ESF} = \alpha = 73.8  gr
Ma calculatrice est désormais en mode grade.

Je vais déterminer la longueur EF du segment [EF] opposé à \widehat{ESF}.

D'après la relation d'Al-Kashi, on a :

EF^2 = ES^2 + FS^2 - 2\times ES \times EF \times cos  \alpha \\ EF^2 = 2ES^2 \times (1 - cos  \alpha)  car  ES = EF

Notons h la longueur de la hauteur du triangle EFS issue de S.
D'après le théorème de Pythagore, on a :

EF^2 = (\frac{1}{2}EF^2+2h^2) (1 - cos  \alpha)

On trouve alors :

EF = 2h \times \sqrt{\frac{1 - cos  \alpha}{1 + cos  \alpha}} .

Notons e et d respectivement l'évaporation horaire et le débit en m3.s-1.

L'évaporation horaire e est le produit de l'évaporation surfacique horaire k  par la surface d'évaporation S.

e = k \times S  avec  \left\lbrace\begin{array}l k = 2.93981481481\times10^{-8}  m.s^{-1} \\ S = (\frac{1}{2}EF)^2 \times \pi \end{array}

Par ailleurs, on a :

d = 9.66388888889\times10^{-5}  m^3.s^{-1}

La hauteur maximale d'eau dans le cône est atteinte quand débit et évaporation horaire sont égaux.

e = d \\ k \times S = d \\ k \times (\frac{1}{2}EF)^2 \times \pi = d \\ h^2 = \frac{d}{k\pi}\times\frac{1+cos(\alpha)}{1-cos(\alpha)} \\ h = \sqrt{\frac{d}{k\pi}\times\frac{1+cos(\alpha)}{1-cos(\alpha)}} \\ h = 49.4133727339  m

Soit, avec la précision demandée, h = 49.413 m.

Posté par
pierrecarrere : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 17:03

perduBonjour,

Ma solution : 14,119 mètres.

Merci !

Bien cordialement,

\pi r^2

Posté par
Kidamre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 17:09

gagnéBien le bonjour,

J'espère ne pas être tombé dans le piège des changements d'unité et autres, mais je trouve une hauteur de 49,413m
C'est déjà un bon gros cône !

Kidamicalement

Posté par
Alishisapre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 17:27

perduBonjour et merci beaucoup pour cette énigme très casse-g... tête !

Je trouve que la hauteur maximale de l'eau dans le cône est d'environ 75,460 mètres.

Le temps qu'il faut pour arriver à cette hauteur est infernale : 129.261 années, 13 jours, 20 heures, 2 minutes et 24 secondes.

À dans 2 secondes pour la démonstration !

Posté par
Alishisapre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 17:27

perdu

Citation :
on le remplit avec un débit constant de 347,9 litres d'eau par heure

347,9L\cdot h^{-1}

Ainsi, V_1=347,9t où t est le temps écoulé en heures.

Citation :
l'eau s'évapore à raison de 2,54 litres par jour et par mètre carré de surface d'eau à l'air libre

2,54L\cdot j^{-1}\cdot m^{-2} \\ =2,45L\cdot \left(\dfrac{h}{24}\right)^{-1}\cdot m^{-2}

Ainsi, V_2=\dfrac{2,45tA}{24}=\dfrac{49tA}{480} où t est le temps écoulé en heures et A l'aire de la surface de l'eau en m². C'est là où j'ai un doute sur le raisonnement.

Donc, l'apport d'eau dans la piscine à l'instant t et pour la surface d'eau A à cet instant est :

\boxed{V}=V_1-V_2=347,9t-\dfrac{49tA}{480}=\boxed{\dfrac{166992t-49At}{480}}

Or le volume de l'eau est de :

V=\dfrac{Ah}{3}

Donc :

\dfrac{166992t-49At}{480}=\dfrac{Ah}{3}

Ne reste plus qu'à exprimer A en fonction de h.

A=\pi R^2

Appelons l'angle au sommet . Puisque la trigonométrie s'applique, on a :

\tan(\theta)=\dfrac{h}{R} \\ \\ \Longleftrightarrow R=\dfrac{h}{\tan(\theta)}

Donc :

A=\dfrac{h^2\pi}{\tan^2(\theta)}

Et en remplaçant dans l'équation, cela donne :

\dfrac{166992t-49\left(\dfrac{h^2\pi}{\tan^2(\theta)}\right)t}{480}=\dfrac{\left(\dfrac{h^2\pi}{\tan^2(\theta)}\right)h}{3} \\ \\ \Longleftrightarrow t=-\dfrac{160h^3 \pi}{49h^2\pi-166992\tan^2(\theta)}

Bon, mais que vaut cet angle au sommet ? 73,8 grades. Or un grade vaut \dfrac{\pi}{200}\text{ rad}.

Donc 73,8\text{ gon}=\dfrac{73,8\pi}{200}=\dfrac{369\pi}{1000}\text{ rad}

Finalement, l'équation finale est :

\boxed{t=-\dfrac{160h^3 \pi}{49h^2\pi-166992\tan^2\left(\dfrac{369\pi}{1000}\right)}}

Ainsi, la piscine atteindra 20 mètres de hauteurs en environ 4,93 heures.
Elle atteindra 50 mètres en environ 127,78 heures.
70 mètres en 1410,2 heures.
75 mètres en 19903,11 heures.
Et pour 76 mètres, on trouve une hauteur de -17525,87, une valeur négative.
On sait donc que le seuil se situe entre 75 et 76 mètres.
Ne reste plus qu'à tâtonner, je trouve ainsi avec 10 décimales une limite de 75.4600082102 mètres.
Soit en arrondissant au millimètre le plus proche 75,460 mètres.

Le temps correspondant est 1132326692,04 heures soit 129.261 années, 13 jours, 20 heures, 2 minutes et 24 secondes.

Superbe casse-tête, merci beaucoup !

Posté par
Alishisapre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 17:32

perduPar ailleurs, si on prend le résultat 75,46 et qu'on inverse les chiffres qui le compose, on arrive à 74,56, soit l'angle de la part de tarte que j'ai trouvé dans une autre énigme...

Simple coïncidence ou est-ce un signe ? Hum hum...

Posté par
Alexiquere : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 18:11

perduBonjour !

Je propose sans aucune certitude une hauteur maximale de 1.839 mètres (atteinte pour un peu plus de 98 heures...)

Enigmo 299 : Le cône géant

Posté par
infophilere : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 18:29

perduBonjour

Notations :

D : le débit de remplissage (en L.h^{-1})
e : le débit d'évaporation (en L.h^{-1}.m^{-2})
\alpha : l'angle du cône (en rad)
V(t) : le volume d'eau dans le cône à l'instant t
S(t) : la surface d'eau à l'air libre à l'instant t
h(t) : la hauteur d'eau dans le cône

La variation du volume d'eau est régie par :

\boxed{\frac{dV}{dt}=Dt-etS(t)}

On exprime alors tout en fonction de la hauteur h(t) : \left\{\begin{array}{l}S(t)=\pi \tan^2(\alpha)h(t)^2\\V(t)=\frac{1}{3}S(t)h(t)=\frac{1}{3}\pi \tan^2(\alpha)h(t)^3\end{array}\right.

On en déduit alors l'équation différentielle régie par la hauteur d'eau :

\boxed{\left\{\begin{array}{l}\frac{dh}{dt}=t\left[\left(\frac{D}{\pi \tan^2(\alpha)}\right)\frac{1}{h(t)^2}-e\right]\\h(0)=0\end{array}\right.}}

On en conclut que la hauteur limite est :

\color{red}\boxed{h(\infty)=\sqrt{\frac{D}{\pi e\tan^2(\alpha)}}}

Application numérique :

On a D=347,9~L.h^{-1}, e=\frac{2,54}{24}~L.h^{-1}.m^{-2} et \alpha=\frac{\pi}{200}.73,8~rad. On obtient ainsi une hauteur limite de :

\color{green}\boxed{h(\infty)\approx 14.119~m}

Merci pour l'énigme

Posté par
dpire : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 18:52

gagnéBonjour,

Effectivement il ne faut pas décon...

Dés que la surface provoquera une évaporation équivalente au débit
du robinet il y aura un maximum et la hauteur se déduira par la tangente
de l'angle .
Je trouve donc 49.413 m (gros cône )
Il faudra 6 jours 11 heures 37 minutes et 58 secondes pour en arriver là

Posté par
fontaine6140re : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 19:25

perduBonjour Jamo,

172,315 (m)
Merci pour l'énigmo.

Posté par
wow1296re : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 19:28

perduBonjour,

Je pense que la hauteur maximale atteinte par l'eau est de très exactement \frac{131 822 382 235 320}{1 046 815 407pi} m, soit environ 200,209 m

En effet, à cette hauteur, la surface à air libre possède une aire suffisante  (\frac{417 480}{127} m²) pour que le débit de remplissage soit égal à celui d'évaporation pour une même durée

Merci pour cette énigme !

Posté par
Chatofre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 20:08

gagnéh=49,413m

bonjour et merci Jamo

Au bout de combien de temps cette hauteur maximale est atteinte ?
Jamais (en théorie !)

Posté par
Chatofre : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 20:25

gagnéh=\frac{14\cdot \sqrt{270510\pi}}{127 \pi \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)}

Posté par
geo3re : Enigmo 299 : Le cône géant 20-05-13 à 20:51

perduBonjour
Je propose 172,315m
A+

Posté par
plumemeteorere : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 00:48

gagnéBonjour Jamo.
49,413 mètres
en A1 : =347,9*24/2,54 (aire limite)
en A2 : =RACINE(A1/PI()) (rayon limite)
en A3 : =A2/TAN(36,9*PI()/200) (hauteur limite)

Posté par
dpire : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 05:12

gagnéBonne nuit

J'ai fait un rêve de robinets....et heureusement que
subsidiaire veut dire non-poissonnante.

La cuve est si  grande que l'ordre de grandeur ne peut
être 6 jours.....mais 1000 fois plus

Soit 6484 jours 16 heures 40 minutes 12 secondes
ce qui fait 17  ans 9 mois 1 jour 8 heures en faisant grâce
des  minutes et des secondes (tout dépend des années bisextiles)

Posté par
rschoonre : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 10:41

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : 49,413 m.

Merci pour l'énigme

Posté par
ksadre : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 12:10

gagnébonjour
Je propose une hauteur de 49.413 m.
Je pense qu'il s'agit d'une valeur asymptotique, qui ne sera donc réellement atteinte qu'après un temps infini.
merci pour l'énigmo !

Posté par
brubru777re : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 13:34

perduBonjour,

Je trouve 14,119m.

Merci pour l'énigme.

Posté par
littleguyre : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 14:13

gagnéBonjour,

Avec les précautions d'usage dans ce genre de "touche-pas, tu vas te brûler", je propose : 49,413 m

Et pour la subsidiaire un peu moins de 12 ans et demi (j'ai fait un calcul au jour près et même en tenant compte des année bissextiles..., mais compte tenu des données et de l'outil utilisé cette précision serait illusoire j'imagine ; je ne tiens même pas compte de mes propres erreurs, c'est pour dire !)

Tout ça pour ça ! (interprétation personnelle des propos prêtés à Monsieur de Coubertin et/ou à un évêque de Pennsylvanie)

Posté par
GaBuZoMeure : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 16:02

perduL'équa diff qui gouverne le remplissage est
\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{r}{\pi\,\tan(\alpha)^2\,h^2} -e\;,
où h est la hauteur d'eau dans le cône, t le temps, r le coefficient de remplissage, e le coefficient d'évaporation et \alpha l'angle au sommet du cône (formé par l'axe et une génératrice). La hauteur maximale est donc donnée par
h_\mathrm{max}= \dfrac{1}{\tan(\alpha)}\,\sqrt{\dfrac{r}{\pi e}}\;.
Cette hauteur maximale est bien sûr atteinte au bout d'un temps infini.

Application numérique (merci  à Maple de convertir entre unités) :

Enigmo 299 : Le cône géant

La réponse au format voulu est : 14,605 m.

Posté par
fontaine6140re : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 16:36

perduBonjour,

J'ai de quoi me faire une bonne escavèche ce mois!
Ayant cherché sur internet la signification de angle au sommet d'un cône,
j'ai mal choisi la définition : angle au sommet du développement du cône!

Posté par
GaBuZoMeure : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 17:25

perduApparemment, j'ai oublié le 8 en tapant 73.8 en Maple. Tant pis !

Posté par
rogerdLe cône 21-05-13 à 18:45

perduBonjour à tous et merci à Jamo.

Je trouve une hauteur maximale de

6,526 mètres.

Beau cône en vérité!

Posté par
Pierre_Dre : Enigmo 299 : Le cône géant 21-05-13 à 19:21

gagnéBonjour Jamo,

Pour la question posée, je propose :  hauteur d'équilibre 49,413 m

Pour la question subsidiaire, je suis embêté ne sachant pas résoudre l'équa. diff.  x'-A/x²+B=0  qui n'a pourtant pas l'air bien redoutable ...

Posté par
dpire : Enigmo 299 : Le cône géant 22-05-13 à 12:07

gagnéBonjour,

Question subsidiaire (suite)
On sait gràce à la réponse "officielle" que le volume
maximum sera de 54 144 607 litres.
Mais le remplissage sera loin d'être linéaire car le débit
constant du robinet sera perturbé par l'évaporation,elle même
proportionnelle au temps et à la surface.

La courbe devrait être asymptotique et le temps donc infini...

Enigmo 299 : Le cône géant

Posté par
rijksre : Enigmo 299 : Le cône géant 22-05-13 à 12:37

gagnéBonjour,

Soient :
qi le débit entrant (=347,9 L/h <=> 8349,6 L/24h)
qo le débit sortant (2,54 L/24h/m²)
: le demi angle du cône (36,9 gr)
S la surface finale
h la hauteur finale

On cherche à connaitre la surface pour laquelle les 2 débits s'équilibrent, puis en connaissant la surface on en déduit la hauteur du cône :
qi = qo*S <=> S = qi/qo
S=*r² <=> r=(S/)
tan()=r/h
h=(qi/(qo*))/tan()

Au final h= 49,413 m


Pour la question subsidiaire : il faudra un temps infini pour atteindre cette limite : on est dans la forme 1-exp(-t/).
Indication de temps il faudra plus de 200 ans pour atteindre 99,90% de la hauteur.

Enigmo 299 : Le cône géant

Posté par
toriore : Enigmo 299 : Le cône géant 22-05-13 à 13:25

gagnéHauteur maximale = 49,4133727338672 m   qui donne : 49,413 m





les 49,413 m sont atteints après environ 2448414 heures (plus de 279 ans !)
mais pour une hauteur de 49,4133727338672 m    il faudra attendre
très très longtemps .............

Posté par
Chatofre : Enigmo 299 : Le cône géant 22-05-13 à 19:13

gagné49.413m < \frac{14\cdot \sqrt{270510} \sqrt{\pi }}{127\cdot \pi  \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)}
A défault de donner la hauteur en fonction du temps, voici le temps de remplissage (ou d'évaporation pour h> 49.413) en fonction de la hauteur:
T(h)=\frac{+8400\cdot \sqrt{270510} \sqrt{\pi } \ln\left(\frac{\mathrm{abs}\left(14\cdot \sqrt{270510} \sqrt{\pi } \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)+127\cdot h\cdot \pi  \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)^{2}\right)}{\mathrm{abs}\left(14\cdot \sqrt{270510} \sqrt{\pi } \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)-127\cdot h\cdot \pi  \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)^{2}\right)}\right) -152400\cdot h\cdot \pi  \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)}{16129\pi  \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)} \\
et
mais graphiquement
h(t):
Enigmo 299 : Le cône géant

et comme
49.413< \frac{14\cdot \sqrt{270510} \sqrt{\pi }}{127\cdot \pi  \tan\left(\frac{369}{2000} \cdot \pi \right)}
Il faut 102 jours pour atteindre 49.413m ( mais jamais pour la hauteur max non arrondi)

Posté par
castoriginalEnigmo 299 : Le cône géant 22-05-13 à 19:42

gagnéBonsoir,

j'ai fait une erreur pour la question subsidiaire : la hauteur maximale est atteinte après 6484,65 jours soit environ 17,76 ans

Posté par
pierrepoulpere : Enigmo 299 : Le cône géant 24-05-13 à 03:19

perdu347,9 l/h * 24 = 8349,6 l/j
/2,54 l/j/m²
=> S = 3287,244 m²

S = 2pir²
r= rac(S/2pi) = 22,87m

hyp = 22,873153407×sin(73,8gr÷2) = 13,73m
h = cos(73,8÷2) * 13,73 = 10,982

10982mm

Quand? jamais, c'est une asymptote.

Posté par
Glapion Moderateurre : Enigmo 299 : Le cône géant 24-05-13 à 18:27

perduBonjour, j'ai trouvé 24.712 m
(hauteur atteinte en un temps infini)

Posté par
Chatofre : Enigmo 299 : Le cône géant 25-05-13 à 12:14

gagné49.413m
on pose :
a=73,8/2  ou  a=73,8/2*360/400=33,21°  ou a=33,21*2*pi/360 radian
Deb=347,9 litre par heure
Evp=2,54/24 litre par heure
A=pi*tan(a)^2
B=A*Evp/Deb
K=A/(B^(3/2)*Deb)
Mx=(sqrt(Deb*Evp*pi))/(Evp*pi*abs(tan(a)))

K=\frac{A}{B^{\frac{3}{2}*Deb}} \\ Mx=\frac{\sqrt{\mathrm{Deb}\cdot \mathrm{Evp}\cdot \pi }}{\mathrm{Evp}\cdot \pi  \left |\left(\tan\left(a\right)\right |\right)} \\ Mx= \frac{\sqrt{\mathrm{Deb}}}{\sqrt{\mathrm{Evp}\cdot \pi }  \left |\left(\tan\left(a\right)\right |\right)}
On peut alors calculer (par intégration) le temps en heures en fonction de la hauteur d'eau en mètres:
\\ t(h)=K\times \left (\frac{1}{2} \times \ln \left (\left | \frac{Mx+h}{Mx-h} \right |\right ) -\frac{h}{Mx}\right ) \\ Mx\approx 49.413 m \\ t(h)\approx466,9\times \left (\frac{1}{2} \times \ln \left (\left | \frac{49.413+h}{49.413-h} \right |\right ) -\frac{h}{49.413}\right ) \\ \lim_{h\rightarrow Mx}t(h)=+\infty
Donc:
La hauteur maximale ne sera jamais atteinte.

Posté par
TheLearnerre : Enigmo 299 : Le cône géant 25-05-13 à 15:18

perduh=24.707 m à 10-3 près
t= ?

Posté par
licou6re : Enigmo 299 : Le cône géant 28-05-13 à 11:24

gagnéBonjour,

Merci pour cette énigme. La hauteur maximale d'eau vaut 49,413 mètres.

Elle est atteinte après ...
...
...
...
Un temps infini.

Posté par
GaBuZoMeure : Enigmo 299 : Le cône géant 29-05-13 à 09:44

perduPar acquit de conscience :

Enigmo 299 : Le cône géant

Posté par
gui_toure : Enigmo 299 : Le cône géant 03-06-13 à 19:36

perduBonjour,

Si D est le débit, W le coefficient d'évaporation, et \alpha l'angle au sommet, la hauteur finale est donnée par :

h_{f}=\sqrt{\dfrac{D}{\pi \tan^2(\alpha) W}}

Application numérique :

h_f=14,119\ \mathrm{m}

Je n'ai pas eu le courage de chercher le temps au bout duquel cette hauteur est atteinte !

Posté par
LEGMATHre : Enigmo 299 : Le cône géant 03-06-13 à 22:32

gagnéBonsoir jamo,

Hauteur maximale d'eau dans le cône : 49,413 m.

Merci.

Posté par
gui_toure : Enigmo 299 : Le cône géant 04-06-13 à 12:42

perduJe m'ennuie un peu, journée de stage un peu creuse donc je détaille mes calculs.

Le volume du cône vaut : V=\dfrac{\pi}{3}\times r^2\times h où r et h sont respectivement le rayon de sa base et la hauteur.
Le rayon est donné par la tangente de l'angle au sommet : \tan(\alpha)=\dfrac{r}{h} d'où le volume total : \boxed{V(t)=\dfrac{\pi}{3}\times \tan^2(\alpha)\times h^3(t)}.

Pour trouver l'équation différentielle qui régit la hauteur d'eau, je raisonne entre les intervalles de temps t et t+\mathrm{d}t.

Variation de volume = ce qu'on ajoute - ce qui s'évapore

soit :

V(t+\mathrm{d}t)-V(t)\ =\ D\times \mathrm{d}t\ -\ W\times \mathrm{d}t\times \pi \times\tan^2(\alpha)\times h^2(t)

En divisant par \mathrm{d}t\longrightarrow0, on obtient l'équation :

\blue\boxed{h'(t).h^2(t)\ +\ W.h^2(t)\ -\ \dfrac{D}{\pi.\tan^2(\alpha)}\ =\ 0}

Il n'y a pas de solution explicite, mais on peut montrer avec un tableur que la hauteur d'eau monte rapidement avant de se stabiliser, sans dépasser la valeur telle que h'(t)=0 qui est :

\red\boxed{\boxed{h_f=\sqrt{\dfrac{D}{\pi.\tan^2(\alpha).W}}}}

C'est bien homogène, et en ramenant D et W en unités S.I. on retrouve la valeur annoncée, ie \red\underline{h_f=14,119\ \mathrm{m}}.

Sauf poisson.

Posté par
gui_toure : Enigmo 299 : Le cône géant 04-06-13 à 19:08

perduAvec Maple, je vois qu'il faut à peu près 30 ans pour qu'on soit pas mal proche de la hauteur finale ! Après 6 ans, on est à peu près à 11 m.

Merci beaucoup pour cette énigme Jamo.

Enigmo 299 : Le cône géant

Posté par
sanantonio312re : Enigmo 299 : Le cône géant 05-06-13 à 13:39

gagnéBonjour,
Je propose 49,413 mètres

Posté par
eyyad34Bonjour 09-06-13 à 17:41

perduLa hauteur maximale= 11748261.509180913 m

La question subsidiaire : t max=31.571821760568 jours = 757.723722253633 heures

Merci

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