Bonjour Jamo

les deux nombres donnés 80 et 2 réponse donnée 100

On a ab-60=(a/b)+60
Comme a et b sont entiers le résultat l'est aussi et a=kb
On a k(b+1)(b-1)=120
Les diviseurs de 120 sont :1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60 et 120.
Les cas où (b-1)(b+1) divise 120 sont :
b=2,3,4 et 5 ce qui donne respectvement a =80,45,32,25
Les couples (80;2), (45;3), (32,4)et (25;5) conviennent.
Prenons une solution : a=80, b=2 et donc le résultat=100.

Bonjour jamo, bonjour à tous

Je propose : problème impossible.

Il faut à un certain moment résoudre y²-dy-1=0 ou d est un diviseur de 120 et avec y entier... Ce qui est impossible.

Merci pour l'énigme. A+

Bonjour
Si j'ai bien compris on a les 2 équations suivantes ( avec R = réponse)
a.b - 60 = R
a/b + 60 = R
=> a.b - 60 = a/b + 60  => a.b - a/b = 120  => a.b² - a = 120.b
d'une part a = 120.b/ (b²-1) => b²-1 doit diviser 120.b ;
c'est vrai pour les couples (a,b) suivants (80,2), (45,3), (32,4), (25,5), (11,11) et rien d'autre
*
si d'autre part on choisi l'équation du second degré a.b² - 120.b - a = 0  qui a un delta' = 3600 + a² et b = (60+3600 + a²)/a
ce delta' doit être un carré parfait et a doit diviser (60+(3600 + a²))/a
on obtient la même chose
a = 11  , b = 11 , R = 61
a = 25  , b = 5  , R = 65
a = 32  , b = 4  , R = 68
a = 45  , b = 3  , R = 75
a = 80  , b = 2  , R = 100
Je vais choisir celle du milieu ; ma réponse est donc
les 2 nombres sont 32 et 4 avec comme réponse = 68
A+

J'oubliais une 5ème solution où les deux nombres sont égaux : a=b=11 résultat = 61.
Heureusement qu'on ne les demandait pas toutes !!!.

Bonjour !

Voila ma réponse :

Les deux nombres donnés sont 80 et 2 et la réponse est 100.

Preuve :

Calcul du prof : 80 2 - 60
               = 160 - 60
               = 100

Calcul de l'élève : 80 : 2 + 60
                  = 40 + 60
                  = 100

Merci !

bonjour jamo

si x et y sont les deux entiers il s'agit de résoudre en nombres entiers

y est premier avec y-1 et y+1 donc y divise x
d'où une solution (y=4 x=32) résultat de l'opération68

*sont aussi solution
(y=3,x=45) => résultat de l'opération  75
(y=2,x=80) => résultat de l'opération  100

merci d'avoir pris le temps de nous proposer cet enigmo  aprés tes journées d'épreuves

Bonjour, Jamo,

Pour les 2 nombres: 80 et 2 sont possibles

Bonjour Jamo,

au moins une solution: 80 et 2 réponse = 100

    

soit x et y les deux nombres entiers positifs

il faut que







y étant entier, 120 doit être divisible par (y-1)(y+1)

les diviseurs de 120 sont: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120

les possibilités pour (y-1) et (y+1) avec une différence de 2 sont:
  1,3   y=2 x=80  
  2,4   y=3 x=45  
  3,5   y=4 x=32  
  4,6   y=5 x=25  
  6,8   120 n'est pas divisible par 48
  8,10  120 n'est pas divisible par 80
  10,12 y=11 x =11  

soit 5 solutions possibles

bonjour Jamo
les deux nombres sont 25 et 5
le professeur attendait : (25x5)-60 = 65
l'élève a effectué : (25:5)+60 = 65
soit a et b les deux nombres
ab-60 = a/b + 60
ab - 120 - a/b = 0
ab²-120b-a = 0
b = [60+(3600+a²)]/a
la racine carrée est un nombre entier quand a = 25; b = (60+65)/25 = 5

Bonjour Jamo et merci.

Si on demande à Igor de calculer le produit de 80 et 2 et retrancher 60 ( la bonne réponse est 100) il fournit en fait 80/2 +60, soit 100, qui est quand même la bonne réponse.

En fait, en partant de ab-60=a/b+60 , on tombe sur la relation

a = 120b/(b^2-1), où l'entier b doit être >=2.

b est premier avec b-1 et b+1 donc avec leur produit b^2-1.
b^2-1 divise 120b et est premier avec b donc b^2-1 divise 120. Cela nécessite b<12.
On essaie pour b toutes les valeurs de 2 à 11.

On trouve ainsi tous les triplets (a,b,ab-60) possibles:

(80,2,100)
(45,3,75)
(32,4,68)
(25,5,65)
(11,11,61)

On vérifie à chaque fois que ab-60=a/b + 60.

80 et 2
45 et 3
32 et 4
35 et 5
11 et 11

x=120y/(y²-1)

Si nous entrons dans le raisonnement du cancre au lieu de :
    M x N -60 =  A   il répond
    M / N +60 =  A
je trouve M=25 et N=5
on oublie une solution Négative

Je propose: a=11; b=11.

Voici quelques possibilités :
11  et 11
25  et 5
32  et 4
45  et 3
80  et 2

a et b étant les entiers positifs on a:
Question posée: ab-60
Calcul fait: a/b+60
Et ab-60=a/b+60
Soit ab-a/b=120
J'ai un peu honte, C'est pas élégant, mais j'ai utilisé un tableur.
Ca m'a donné:
11 et 11
25 et 5
32 et 4
45 et 3
80 et 2

Salut jamo.

Je trouve une solution : chacun des 2 nombres est égal à 11.
En effet : 11*11-60=61 et 11/11+60 = 61.

@°+ et merci pour l'énigme.

Bonjour Jamo

si les deux nombres sont a = b = 11

alors a*b - 60 = 121-60 = 6

l'élève comprendra ainsi de calculer: a/b + 60 ce qui vaut 1 + 60 = 61, ce qui est bien la bonne réponse.

En espérant ne pas avoir commis d'erreur !

** il faut lire 121-60 = 61 bien sûr. J'espère que cela ne rendra pas ma réponse fausse...

Pour la solution générale:

et sont les deux nombres entiers positifs donnés:

le calcul demandé par le professeur est:



la réponse de l'élève est:



l'équation est donc

on en déduit que est entier, soit

donc d'où comme

on a donc est un carré parfait, compris entre et , soit :

, d'où et , d'où et

, d'où , d'où et

, d'où et , d'où et

, d'où et , d'où et

, d'où , impossible
, d'où , impossible
, d'où , impossible
...
, d'où et , d'où et

bonsoir,

Je propose comme solution 11 pour les deux nombres ;
en effet, on a bien

11 * 11 - 60 = 11/11 + 60 = 61

Merci pour l'énigme !

++

Une réponse possible : 80 et 2 pour les nombres entiers positifs, et la réponse de l'élève est 100.

Vérification :
80*2-60=160-60=100
80/2+60=40+60=100

bonjour

pour moi c'est impossible, mais si vous avez posté cette énigme, c'est qu'il y a une solution

5 solutions : 11-11, 25-5, 32-4, 45-3, 80-2

Explication :
(1): mn -60 = m/n +60
Donc m/n est un entier. Soit p=m/n.
(1) devient :
(2): pn² = p + 120
n² = 1 + 120/p
p est un diviseur de 120, et (1 + 120/p) est un carré.
Parmi les diviseurs de 120 (1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120),
les valeurs qui conviennent sont :
p=1 : 1+120/p = 121 = 11²
p=5 : 1+120/p = 25 = 5²
p=8 : 1+120/p = 16 = 4²
p=15 : 1+120/p = 9 = 3²
p=40 : 1+120/p = 4 = 2²
L'équation (2) devient :
p=1 : n²=121, n=11 et m=pn=11
p=5 : 5n²=125, n²=25, n=5 et m=25
p=8 : 8n²=128, n²=16, n=4 et m=32
p=15 : 15n²=135, n²=9, n=3 et m=45
p=40 : 40n²=160, n²=4, n=2 et m=80

Bonsoir, les 2 nombres sont 25 et 5, le résultat est 65.

25 * 5 - 60 = 65

25 / 5 + 60 = 65

Enigmo 85

Soient x et y les 2 entiers et N le résultat

4 solutions et 4 seulement : y=2 ,x=80 ,N=100
                             y=3 ,x=45 ,N=75
                             y=4 ,x=32 ,N=68
                             y=5 ,x=25 ,N=65
x et y devant être solutions entières de l'équation :

    

Bonjour,

a*b-60=a/b+60 donne a=k*b et k*(b²-1)=120.
Il y a 5 solutions:
(11,11) , résultat : 61.
(25,5) , résultat : 65.
(32,4) , résultat : 68.
(45,3) , résultat : 75.
(80,2) , résultat : 100.

Il faut résoudre dans +* l'équation
AB-60 = A/B + 60

AB²-120B-A=0

J'ai pour l'instant trouvé deux solutions :
(11;11) --> on obtient 61
(25;5)  --> on obtient 65
Il y en a peut-etre d'autres...

je demande de soustraire 60 du produit de deux nombres soit A et B :

il vient AxB-60 = m
comme Igor comprenait mal, il interprétait qu'il fallait diviser au lieu de multiplier donc il prenait A/B et ajoutait au lieu de soustraire.Il arrivait avec A/B+60 au même résultat que moi précédemment.

Donc AxB-60 = A/B+60

Ce qui conduit à AB^2-120B-A=0
Si B=1 on a une indétermination pour A
si B= 2 A=80  m= 100
si B= 3 A=45  m=  75
si B=4  A=32  m=  68
si B=5  A=25  m=  65
si B=11 A=11  m=  61

entre autres

Bien à vous

a me demande x*y ; b me réponds x/y

a me demande x-y ; b me réponds x+y

en considérant les données du problème, on trouve cette equation:

*" xy-60=(x/y)+60"

en développant et réduisant, on trouve à la fin:

*"x(y-1)=120"

en décomposant 120 en produits de facteurs premiers on trouve aisément 120=2³*3*5

par exemple x=25  et y= 5

* "(25*5)-60=65 et (25/5)+60=65"

5 solutions :
2 et 80 réponse 100
3 et 45 réponse 75
4 et 32 réponse 68
5 et 25 réponse 65
11 et 11 réponse 61

Il se peut que le professeur n'ait pas précisé que les deux nombres choisis étaient différents et dans ce cas il y aurait une autre solution:
   11
en effet 11 x 11 -60 = 61 et
         11 / 11 +60 = 61  

Salut, excusez moi mais mon fraçais n'est pas assez bien
donc ce que j'ai compris de
"je lui ai demandé de soustraire 60 au produit de deux nombres entiers strictement positifs " veut dire :
x.y - 60    et pas  60 - x.y  n'est ce pas ?
(x;y) £ IN*
donc si correct

x.y - 60 = x/y + 60  
( car il dévise au lieu de multiplier et additionne s'il on demande de soustraire )
donc c'est une équation de deux inconnus de deuxième degré :
x.y^2 - 120 y - x = 0  
on écrit maintenant y en fonction de x ou le contraire
en évitant d'utiliser le delta je choisis x en fonction de y
et il est clair que y # 1
x = 120 y / (y^2 - 1)

alors, pour que x soit entier il exige que  120 y / (y^2 - 1) >ou= 1

120 y >ou= y^2 - 1     y^2 - 120 y - 1 =ou< 0
(après le tableau de signe )
d'ou y  £ [60 - V3601 ; 60 + V3601 ]
60 - V3601 < 0  et 60+V3601 =approximentament 120
donc
y £ ]0 ; 120 ]
je prends un nombre de cette intervalle (:2 par exemple)
donc x = 120*2 / 2^2 - 1
     x = 80
je prends un autre nombre de cette intervalle (:3 par exemple)
     x = 45
véification :
3 * 45 - 60 = 75
45/3 +60 = 75.


(45, 3 ) est une solution de votre énigme
et merci pour vos efforts !

J'ai fait moitié analyse/synthese,  moitié chance donc j'ai pas toutes les solutions.
Voilà la mienne :

11*11-60=61
11/11 +60=61.

Donc les entiers 11 et 11 marchent.
(11,11,61)

Bonjour, et d'abord merci pour cette énigme.
J'ai trouvé 5 couples solutions : (80; 2); (43; 3); (32; 4); (25; 5) et (11; 11). Je suis pret à parier un smiley contre un poisson mort qu'il n'existe pas d'autre solution.

Il y a cinq possibilités :
80 et 2
32 et 4
45 et 3
25 et 5
11 et 11

Salut Jamo,

C'est pas plutot Gonzola son nom ?

Bonjour à tous !
Je propose 11 et 11, pour un résultat de 61.

Bonjour !

pour moi c'est tout à fait possible.
80 et 2 conviennent, dans ce cas le résultat est 100.

J'ai posé a et b pour les deux nombres entiers positifs.
La réponse attendue par le professeur est a*b - 60
La réponse donnée par Igor est a/b + 60
Elles sont égales :
a*b - 60 = a/b + 60
a*(b - 1/b) = 120
a*((b² - 1)/b) = 120

120 se décompose comme suit : 120 = 2*2*2*3*5

Il faut que b² - 1 soit égal à un des diviseurs de 120, je pense que ce n'est possible que pour :
b = 2 (dans ce cas b² - 1 = 3),
b = 3 (dans ce cas b² - 1 = 8 = 2*2*2),
b = 4 (dans ce cas b² - 1 = 15 = 3*5),
b = 5 (dans ce cas b² - 1 = 24 = 2*2*2*3)

Cela donne les couples solutions suivants :
80 et 2, dans ce cas le résultat est 100.
45 et 3, dans ce cas le résultat est 75.
32 et 4, dans ce cas le résultat est 68.
25 et 5, dans ce cas le résultat est 65.

Bonsoir
Les deux nombres que vous avez donnés sont:
Première solution: a=80;b=2 réponse:100
                   La question:80x2-60=100
       La réponse de l'élève80/2)+60=100
Deuxième solution: a=45;b=3 réponse:75
                   La question:45x3-60=75
       La réponse de l'élève45/3)+60=75
Merci pour votre attention
jamilhaddad

1ere sol:80 et 2
2eme sol: 45 et 3
3eme sol: 32 et 4
4eme sol: 25 et 5
5eme sol: 11 et 11

Bonjour jamo,

Si tu as donné 11 et 11 la réponse est 61.
(11x11)-60 = (11/11)+60 = 61

Si tu as donné 25 et 5 la réponse est 65.
(25x5)-60 = (25/5)+60 = 65

Si tu as donné 32 et 4 la réponse est 68.
(32x4)-60 = (32/4)+60 = 68

Si tu as donné 45 et 3 la réponse est 75.
(45x3)-60 = (45/3)+60 = 75

Si tu as donné 80 et  la réponse est 100.
(80x2)-60 = (80/2)+60 = 100

Complément :
J'ai donné les nombres possibles, mais pas les réponses qui vont avec !!!


Voici ma réponse complète :

11  et 11 pour un résultat de 61
25  et 5 pour un résultat de 65
32  et 4 pour un résultat de 68
45  et 3 pour un résultat de 75
80  et 2 pour un résultat de 100

A+
Torio

Bonjour,

Une solution parmi d'autres: 25 et 5. Réponse: 65.

_{Je pense que le mois de janvier va avoir de nombreux premiers ex aequo !}

A+,
glouib

Bonjour ,
Si j'ai bien compris l'énoncé cela revient a résoudre l'équation xy-60=(x/y)+60 avec x et y des entiers naturels. Après divers calculs je trouve y=(60+(3600+x²)^(1/2))/x et en faisant tourner un programme je trouve les solutions suivantes (11 ;11 ;61) (25 ;5 ;65) (32 ;4 ;60) (45 ;3 ;75) (80 ;2 ;100) avec en premier x en deuxième y et a la fin le résultat donné par l'élève. Comme il ne faut donner qu'un résultat je donne :
x=11
y=11
nombre dit par l'élève=61

Toutes les solutions vont être :
(P,Q) = (11,11) ; (25,5) ; (32,4) ; (45,3) ; (80,2)

Bonjour Jamo,
je propose 11 et 11 pour les deux nombres.
On a bien 11/11+60=11*11-60=61.

Bonjour à tous,

après une petite absence _{(je suis coutumier du fait)}, on recommence en douceur...

le couple (x,y) solution doit vérifier xy-60=x/y+60.

La division n'étant pas commutative, la solution la moins risquée est (11;11) pour un résultat de 61.

Maintenant, les autres couples solutions sont:
(25;5)
(32;4)
(45;3)
(80;2)

Merci, jamo, pour l'enigmo.