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Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite

Posté par
jamo Moderateur
16-02-09 à 14:36

Bonjour,

pour faire suite à l'énigme précédente ( Enigmo 89 : Un problème d'abat-jour ), j'ai décidé de proposer une autre forme d'abat-jour à mon décorateur : un simple cône de révolution !

Là aussi et contrairement à la photo, le cône est fermé en haut, et seule la surface latérale est en tissu, et pas le disque de base. Les conditions sont les mêmes : on fixe la surface latérale à 1 mètre carré.

Question : quelles sont les dimensions du cône de révolution afin que son volume soit maximal, sachant que sa surface latérale fait 1 mètre carrée ?
Vous me donnerez 3 nombres en réponse : le rayon de la base et la hauteur du cône, avec une précision de 1 mm pour ces deux longueurs, ainsi que l'angle au sommet du cône avec une précision de 1 degré.

Bonne recherche !
Enigmo 90 : Un problème d\'abat-jour, la suite

Posté par
matovitch
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 16-02-09 à 15:20

perduBonjour !
Plus dur que l'autre : r429mm H606mm et =90°
Sauf erreur!

Posté par
manpower
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 16-02-09 à 17:37

gagnéRe-bonjour,

ici, avec les mêmes outils, je trouve :

r=\frac{100}{\sqrt{\pi}\sqrt[4]{3}}\approx42,9 cm
H=\frac{100}{3}\sqrt{\frac{6}{\pi}}\sqrt[4]{3}\approx60,6 cm
\alpha=2Arctan\frac{1}{\sqrt{2}\approx71°

Le tout pour un volume maximal de \frac{10^6}{9}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\sqrt[4]{3}\approx116675,015 cm3.

Merci encore.

Posté par
Nofutur2
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 16-02-09 à 19:58

gagnéJe trouve r=42,9 cm, H=60,6 cm et alpha =71°

Posté par
plumemeteore
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 16-02-09 à 20:19

perdubonjour
le rayon de la base est 857 millimètres
la hauteur du cône est 606 millimètres
l'angle au sommet est 60 degrés

Posté par
yoyodada
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 16-02-09 à 21:09

gagnéSalut jamo,

rayon r = 42,9 centimètres, hauteur = 60,6 centimètres,
angle alpha = 70,52 = 71 degrés.
en espérant que ce soit juste !

Posté par
MatheuxMatou
l'abat-jour conique 16-02-09 à 21:15

gagnéBonsoir Jamo,

Dans cet abat-jour conique, travaillons en mètres pour les distances (et nous convertirons en mm à la fin) et notons S le sommet, O le centre de la base et A un point de la circonférence de la base.

Grâce à un petit coup de Pythagore, on voit que SA, génératrice du cône, vaut \sqrt{r^2 + h^2}

Quant à l'aire du cône, elle vaut \pi \times r \times \sqrt{r^2 + h^2}
Une façon de calculer cette aire consiste à faire le patron plan du cône en le coupant selon la génératrice SA et en l'aplatissant. On obtient une portion de disque dont le rayon vaut SA. La circonférence complète de ce disque vaut 2SA, mais nous n'en prenons que 2r, correspondant à la circonférence de la base du cône. Cela nous donne la proportion de disque à considérer : \frac{r}{SA} et nous donne l'aire du cône : \pi SA^2 \times \frac{r}{SA}.
Cette aire valant 1, nous obtenons la relation {*} : \pi^2 r^2 (r^2 + h^2) = 1
On remarquera qu'en multipliant cette relation par r2, on obtient {**} : \pi^2 h^2 r^4 = r^2 - \pi^2 r^6

Le volume du cône vaut \frac{1}{3} \pi r^2 h.
Il sera maximal ssi  \pi r^2 h l'est, et, comme ce nombre est positif, il sera maximal ssi son carré l'est. On veut donc rendre \pi^2 h^2 r^4 maximal.
En utilisant la relation {**}, il suffit donc de rendre r^2 - \pi^2 r^6 maximale.

Une étude classique de variations de cette fonction de r sur ]0 ; +[ nous donne un maximum pour la valeur \fbox{r = \frac{1}{\sqrt[4]{3 \pi^2}}}

En remplaçant dans {*}, cela nous permet de calculer la valeur de h correspondante : \fbox{h = \sqrt[4]{\frac{4}{3 \pi^2}}=r sqrt{2}}

En considérant ensuite le triangle SOA, rectangle en O, on a tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}}
et donc \fbox{\alpha = 2 arctan(\frac{1}{\sqrt{2}})\approx 70,53^o}

En prenant les arrondis demandés, on obtient donc comme solution :
r 429 mm
h 606 mm
71°

C'est encore du bel abat-jour ! Il y a de la place chez vous Jamo...

Cordialement à vous tous

Alain

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 16-02-09 à 22:45

perduBonjour Jamo,

ma réponse:
   rayon de la base...r = 42,9 cm
   hauteur du cône....h = 74,3 cm
   angle au sommet.... = 71 degrés


volume du cône \rm V = \frac{1}{3}\pi r^2h = 116675 cm^3

Surface du cône \rm S = \pi r\sqrt{r^2+h^2} = 10000 cm^2

génératrice \rm g = \frac{10000}{\pi r} = 74,25152493 cm

rayon du cône \rm r = 100.3^{-\frac{1}{4}}.\pi ^{-\frac{1}{2}} = 42,8691379 cm

angle au sommet \rm \alpha = 2.\arctan{\frac{r}{h}} = 70,52877937 degres

j'ai trouvé \rm V^2 = \frac{10^8.r^2-\pi ^2.r^6}{9}

soit une dérivée \rm d = 2.r.\frac{10^8-3.\pi ^2.r^4}{9}

qui s'annule pour \rm 3.\pi ^2.r^4 = 10^8

Posté par
torio
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 17-02-09 à 09:26

perduA+
Torio

Enigmo 90 : Un problème d\'abat-jour, la suite

Posté par
geo3
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 17-02-09 à 14:12

gagnéBonjour
x = 428
H = 606
= 70°
A+

Posté par
caylus
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 17-02-09 à 18:53

gagnéBonsoir Jamo,

r=0.429 m
H=0,606 m
Alpha=71°
Merci pour l' énigme.

Posté par
rezoons
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 17-02-09 à 20:10

perduBonjour ,
je trouve:
a=48°
r=487mm
h=1089mm

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 17-02-09 à 23:46

perduBonjour,

erreur de donnée, j'ai mis la génératrice au lieu de la hauteur
la hauteur est pourtant utilisée dans le calcul de l'angle au sommet

je corrige sans doute un peu tard, tant pis

\rm h = \sqrt{g^2-r^2} = 60,6 cm

Posté par
evariste
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 18-02-09 à 15:47

gagnérayon de la base : 42.9 cm avec une précision de 1 mm
hauteur du cône : 60,6 cm avec une précision de 1 mm
angle au sommet du cônes: 71 degrés  avec une précision de 1 degré.

Posté par
Poldenys
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 18-02-09 à 16:46

gagnéEnigmo 90

Salut jamo

Pour le rayon de la base 429 mm , pour la hauteur 606 mm

et pour l'angle au sommet 71°

Posté par
dpi
histoire de cone 19-02-09 à 10:43

perduJe suis ravi de cette variante car,j'avais sur le site posé le même problème LE CHERCHEUR D'OR qui voulait savoir comment faire sa coupelle avec 1 m de tôle et un volume maximal.

donc en retrouvant mes données:
Le cône maximum se construit en enlevant un secteur circulaire de 66°24  SOIT 360-66.24=293°76 quel est le diamètre du cercle complet pour obtenir 1 m2 de surface
    +PI *X2/4 = 1*293.76/360  =1.2555 m
donc le coté du cône abat-jour (rayon du secteur) = 1.255/2 soit 61.27 cm
je trouve comme hauteur   35.42 cm
comme rayon de la base    50  cm    
Dans ce triangle rectangle (révolution du cône) nous avons l'angle au sommet a tel que cos(a)= 35.42/61.27  =  0.578 soit angle a =54°7
l'angle au sommet du cône sera donc:   109°4    

  

Posté par
pacou
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 19-02-09 à 18:07

gagnéBonjour, Jamo

Les dimensions du cône de révolution pour que son volume soit maximal sont:

H=607 mm
r=428 mm
=70°

Merci pour l'énigme.

Posté par
LEGMATH
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 20-02-09 à 09:54

perduBonjour jamo,

Rayon de base 430mm.
Hauteur du cône 602mm.
Angle au sommet 71°.

Posté par
veleda
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 21-02-09 à 19:19

gagnébonjour jamo
aire latérale de l'abat-jour s={\pi}rg=1 r et g en métres
hauteur du côneH=\frac{\sqrt{1-{\pi}^2r^4}}{{\pi}r}
volume du côneV=\frac{1}{3}{\pi}r^2H=\frac{1}{3}r\sqrt{1-{\pi}^2r^4}
on en déduit que V est maximum pour 1-{\pi}^2r^4=0=>r=\sqrt{\frac{1}{{\pi}\sqr{3}}
puis queH=\sqrt(\frac{2}{{\pi}\sqrt3})
ettan(\frac{\alpha}{2})=\frac{r}{H}=\frac{1}{\sqrt2}


r=42,9cm à 1millimètre prés par excès
H=60,7cm à 1millimètre prés par excés
=71°à 1 degré prés par excés

sauf erreur
merci pour cet enigmo

Posté par
castoriginal
Enigmo 90 Un problème d'abat-jour (cône) 21-02-09 à 19:40

perduBonsoir,

je trouve personnellement la solution suivante:

R = 303mm

H=  429mm

et l'angle au sommet 70°,47


Bien à vous

Posté par
albatros
Cône abat-jour 22-02-09 à 16:27

perdur = 429 mm
H = 605 mm
alpha = 35°

Bonne journée

Posté par
laotze
Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 22-02-09 à 19:12

gagnéBonsoir:

Le rayon de la base r 0,4287 m soit environ 429 mm

La hauteur H 0,6063 m soit environ 606 mm

L'angle 70,53° soit environ 71°

NB: je ne suis pas sûr que l'angle soit comme l'indique la figure qui suggère tan( /2) = r/H

Si correspond à l'angle du patron (étalé,ou "l'éventail", alors ce sera exactement (2)/3.

Merci pour l'énigme! ça sent le poisson...

Posté par
rogerd
Enigmo90 23-02-09 à 12:48

gagnéBonjour Jamo et merci

Je trouve que le volume est maximal pour

r=0,429 mètre à 1 mm près

H=0,606 mètre à 1 mm près

alpha=71 degrés à 1 degré près

Posté par
gloubi
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 26-02-09 à 16:29

gagnéBonjour,

r 42,9 cm
H 60,6 cm
71°

Merci pour l'Enigmo

Posté par
totti1000
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 01-03-09 à 02:20

gagnéBonjour Jamo,

Enigmo 90 : Un problème d\'abat-jour, la suite

Posté par
jamilhaddad
Enigmo 90: Abat-jour 01-03-09 à 22:29

gagnéBonsoir
* ra=1 donc r=1/a
* a^2=h^2+r^2 donc h^2=a^2-1/(a^2*^2)
* V=(1/3)*base*h=(1/3)**1/(a^2**)*h
* ... On trouve que V est maximum lorsque
  a^4=3/()^2 donne a=0.742515
  r=0.42869 m
  h=0.60626  m
  r/h=tan(/2);=70.5287
Réponses: r=429 mm
            H=606 mm  
           =71 degrés

Merci

Posté par
Labo
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 02-03-09 à 13:39

gagnébonjour Jamo,
r=1/√(π√3)m
0,428m<x<0,429m
h=√(2/(π√3))m
0,606m<h<0,607m
tan(/2)=√2/2
70°<<71°

Posté par
13or
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 09-03-09 à 02:34

gagnér=0,428m
H=0,606m
alpha=71°

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 09-03-09 à 14:39

Clôture de l'énigme

Dans ce problème, on peut encore remarquer que le rapport entre le rayon et la hauteur est égal à 2.

J'ai eu l'idée de ce problème suite à un article lu il y longtemps je ne sais plus où (dans un magazine tangente je crois), où l'on cherchait le tipi indien optimal, qui présente le maximum de volume pour le minimum de toile. Et il se trouve que les dimensions des tipis vérifient à peu prés ce rapport de 2 ...

Posté par
Daniel62
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 09-03-09 à 15:32

perdu
J'avais pourtant la bonne réponse H=60,6cm la preuve c'est que j'ai calculé le volume avec la bonne valeur
je me suis simplement trompé de ligne à la copie et je m'en suis rendu compte 1 heure après.
de toute façon je me plie à la décision du juge

merci pour ces énigmes fort intéressantes

Posté par
jamo Moderateur
re : Enigmo 90 : Un problème d'abat-jour, la suite 09-03-09 à 15:36

Oui, il faut bien faire attention à ce qu'on écrit.

Plusieurs trouvent la bonne réponse et se précipitent pour répondre sans relire, et je ne peux pas accepter.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 110:22:33.
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