bonsoir

factorise xy sur ta seconde équation.

puis pense à la somme et au produit des racines du second degré,
en posant judicieusement X = ..... et Y = .....

si besoin au I.B) 3-Fonctions du second degré : équations, signe et inéquations

** en posant judicieusement U = ..... et V = .....
_{ça ne change pas grand chose, mais ça peut éviter des confusions ^^}

Bonjour,

Note d'abord qe, d'après la 2ème équation, tu ne peux pas avoir x =0 ni y = 0.
Une piste, la 2ème équation peut s'écrire :
xy(x+y) = -4
D'où :
x+y = -4/(xy)
Ce que tu reportes dans la première :
-4/(xy) + xy = -5/3
pose alors z = xy, l'équation devient :
-4/z + z = -5/3
En multipliant tout par z et en passant tout à gauche :
z²+(5/3)z -4 = 0
3z²+5z-12 = 0
Tu en déduis z (2 valeurs possibles), bonne nouvelle, le est un carré parfait.
Tu as donc xy, de xy(x+y) = -4 tu déduiras x+y
Ensuite, connaissant la somme et le produit de 2 nombres, on peut facilement trouver les nombres, on en reparlera lorsque tu en seras là.
Bien entendu, si quelqu'un vient avec une solution plus courte, il sera bienvenu

Et justement, voila carita avec une approche bien plus élégante

bonsoir LeHibou
_{j'ai eu du bol ^^}

... mais en fait les deux réponses se rejoignent très rapidement.

si vous voulez poursuivre, je vous laisse la main.
bonne soirée !

Voyons donc vers où Matteodu69 va se diriger, et on avisera en conséquence

Bonjour à tous
Merci pour votre retour

Du coup
Je trouve deux valeur
X1 = 4/3
X2 = -3

Du coup si c'est juste dois je l'es remplacer ?

bonjour,

en l'absence de LeHibou,

oui, c'est la 1ère étape.
tu dois poursuivre pour trouver x et y de l'équation de départ.

Ce que tu as trouvé, ce sont les valeurs possibles de z, et z = x+y
Maintenant, utilise xy(x+y) = -4 pour trouver les xy correspondants

Bonjour carita, on n'a pas besoin d'être deux
Tu veux poursuivre ou tu préfères que je poursuive ?

bonjour,
non, non,  garde la main, apparemment Matteodu69 a développé "ta" méthode.
pas de souci

Le hibou ?

Z n'est il pas égal à xy ??

Nickel, merci je trouve Y= racine(5/3)
Et X= -racine(5/3)
C'est sa ? je suis aller jusqu'au bout de mon calcul

Ça ne peut pas être ça, car tu aurais x+y = 0...
Poste tes calculs, on va voir ça ensemble.

on avait posé z=xy et z1=-3 , z2 = 4/3

xy(x+y)=-4
(-3*4/3)(x+y)=-4
-4(x+y)=-4
-4x-4y=4
-x=y

Je remplace x par -y dans la première équation x+y+xy=-5/3

J'Obtiens Y=racine(5/3) et x=-racine(5/3)

Merci.... je me suis peut être tromper sur le passage de l'équation Z à l'équation de départ ....

On va traiter les 2 cas séparément.
premier cas, z = -3
z = xy, donc xy = -3
On sait que xy(x+y) = -4
Donc -3(x+y) = -4
Donc x+y = 4/3
Je regroupe :
S = x+y = 4/3
P = xy = -3
Connaissant la somme S et le produit P de 2 nombres, peux-tu trouver ces deux nombres ?
Il y a une formule pour cela que tu dois connaître depuis la classe de Première...

Ah ... c'est sûrement le système somme produit que je n'arrive jamais à appliquer ... je vais essayer ...

Pour t'aider, il faut comprendre d'où ça vient.
On considère deux nombres a et b, ils sont solution de l'équation :
(X-a)(X-b) = 0
On développe :
x² - ax -bx + ab = 0
Soit, en posant S = a+b et P = ab :
X²-SX+P = 0
Ici tu connais S=4/3 et P= -3, tu peux donc former l'équation dont x et y seront les solutions.

Je suis en première cette année c'est peut être pour sa que je ne trouve pas ....?                 en faisant sa  du coup on a l'équation X2-4/3X-3=0 Mais après je calcul le discriminant je trouve delta = racine (124/9) comment aller plus loin avec sa ? Merciii

Déjà, tu peux sortir le 9 de la racine, mais même après simplification, on va promener un 31, bien sur c'est toujours possible, les nombres ne sont pas toujours simples d'expression, mais bon, ça questionne...
Es-tu certain de ton énoncé, surtout de tes seconds membres  -5/3 et -4 ?

oui je suis sûr j'ai l'énoncé sous les yeux... mais du coup je n'arrive pas à terminer pour la recherche de x,y le calcul de compliqué avec la racine qui reste ,...

On va le faire ensemble :
X² - (4/3)X -3 = 0
3X²-4X-9 = 0
= 4²+4*3*9 = 124 = 4*31
= 231
x = (4-231)/6
x = (2-31)/3
y = (2+31)/3
J'ai vérifié en calculant x+y+xy et x²y+xy², ces résultats sont bons.
Évidemment, tu peux permuter x et y, les équations sont symétriques en x et y.

Et ce n'est que la première moitié des résultats, le cas où j'avais pris z = -3.
Peux-tu en suivant la même méthode traiter le cas z = 4/3 ?
Commence les calculs, je t'aiderai, tu dois voir apparaître le terme 33
Je suis dispo jusqu'à 13h, après je rentrerai vers 20h.

Et quand on aura fini, je te présenterai la méthode de carita.
Elle est plus élégante pour le début des calculs, évidemment à la fin elle arrive aux mêmes résultats.

merci pour l'aide je trouve dans le cas où z=4/3
X=(-9-racine33)/6
y=(-9+racine33)/6

C'est sa ? Du coup j'ai deux couples de solutions possible sur jai bien compris ?

Oui, c'est ça. Et effectivement, il y a deux couples de solutions possibles.

Je te donne maintenant la solution suggérée par carita .
On pose :
S = x+y
P = xy
Les équations deviennent :
S+P = -5/3
SP = -4
En considérant alors S et P comme des variables intermédiaires, on pose :
S' = S+P
P' = SP
et S et P sont solutions de l'équation :
Z²-S'X+P' = 0
Z²+(5/3)Z-4 = 0
3Z²+5Z-12 = 0
= 5²+4x3x12 = 169 = 13²
S et/ou P valent (-5 +/-13)/6 = -18/6 = -3 et 8/6 = 4/3
Si on prend S = 4/3 et P = -3, on retouve l'équation 3x²-4x+9 = 0
Si on prend S = -3 et P = 4/3, on retouve l'équation 3x²+9x+4 = 0
Les résultats sont (heureusement...) les mêmes, mais le début est plus élégant et plus rapide.

super merci infiniment pour votre aide ! effectivement la méthode est plus rapide mais c'est pas plus mal que je sois passer par la plus longue pour comprendre le détail ! Et d'où sa vient ! Merci bcp

C'était un plaisir !

PS si je peux me permettre, tu écris systématiquement "sa" à la place de "ça", comme par exemple dans "Et d'où sa vient".
C'est une faute courante, essaye de l'éviter autant que tu peux, un devoir bien rédigé c'est toujours apprécié !

Et note enfin que dans chaque couple de solutions tu permuter x et y puisque leurs rôles sont symétriques dans les équations de départ, dont en fait tu as 4 couples de solutions