Second Degré : Equations - Signe du trinôme - Inéquations
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Fiche écrite en 2020
I. RESOLUTION EQUATION DU SECOND DEGRE
Soit a un réel non nul. Soit (b et c étant réels)
Résoudre l'équation du second degré P(x)=0, c'est chercher l'ensemble S des racines de P.
L'équation peut admettre soit 2, soit 1, soit aucune solution.
A- En utilisant la factorisation
Avant tout, vérifier s'il s'agit ou non d'une identité remarquable,
et utiliser sa forme factorisée pour résoudre l'équation produit nul.
exemple 1 :
exemple 2 :
Si on a pu factoriser le trinôme, résoudre l'équation produit nul
comme expliqué ici .
exemple :
TESTE-TOI
Pour chacune des fonctions suivantes
tracer la courbe représentative sur la calculatrice.
conjecturer le nombre et la valeur des racines.
le cas échéant, vérifier par calcul la valeur des racines.
en déduire la forme factorisée de la fonction
a. b. c.
Corrige-toi
a.
b.
c.
B- Somme et produit de racines
1. Si on trouve une racine évidente (souvent parmi les entiers -2, -1, 0, 1, 2),
on peut utiliser la propriété suivante pour obtenir l'autre racine :
Propriété
Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a 0, admet deux racines x1 et x2 alors :
x1 + x2 = et x1 x2 =
Remarque : Ces formules restent valables si les racines sont confondues.
exemple :
1 est racine évidente car f(1) = 0 (remarque : la somme des coefficients du trinôme est nulle).
On peut indifféremment utiliser la somme ou le produit des racines pour trouver l'autre racine.
La somme vaut d'où l'on déduit l'autre racine : remarque : on peut en déduire la factorisation de soit
2. Autre propriété utile dans les exercices
Propriété
Les solutions du système sont les couples (u, v) tels que u et v
soient les solutions de l'équation du second degré
Remarque : Quand on connait une solution (u,v) du système, on a entièrement résolu celui-ci, car l'autre solution est (v,u).
exemple : Résoudre dans le système suivant :
d'après la propriété précédente, les inconnues u et v sont les solutions de l'équation on peut factoriser : on conclut que les couples (-1,5) et (5,-1) sont les deux solutions du système.
Teste-TOI
a. Soit f la fonction définie par ; f admet deux racines distinctes
vérifier que -8 est racine de f
trouver l'autre racine en utilisant la somme des racines, puis le produit des racines
donner l'expression factorisée de f
b. Soit g une fonction trinôme dont les 2 racines distinctes sont x1 et x2 En utilisant la formule de calcul de , abscisse du sommet, retrouver la formule de la somme des racines.
piste : faire un petit dessin à main levée
Corrige-toi
a. Par la somme des racines, on sait que . Une racine valant -8, l'autre
vaut Par le produit des racines, on sait que . Une racine valant -8, l'autre
vaut La factorisation est :
b. on sait (cours) que la droite x = est axe de symétrie de la parabole et
par ailleurs, le point de coordonnées ( ; 0) est milieu du segment [AB] ;
on en déduit (cours de seconde) que
ainsi , soit la somme des racines
Si on oublie la formule de la somme, on peut donc facilement la retrouver par ce moyen.
C- Méthode générale : calcul du discriminant
A connaître par coeur
On appelle discriminant de P le réel = b² - 4ac.
Si < 0, S = Ø
Si = 0, S = Si > 0, S =
Remarques : Ces formules ne sont valables que pour des polynômes du second degré.
Un polynôme du second degré a au plus 2 racines
Dans un problème concret, toujours vérifier la cohérence des résultats.
TESTE-TOI
a. A l'aide du discriminant, résoudre dans R l'équation b. Démontrer la propriété suivante : Si le trinôme , admet deux racines
, alors
Corrige-toi
a. Résoudre équation du second degré avec a=2 , b = 1 , et c = -15
le discriminant est positif, l'équation admet 2 racines distinctes x1 et x2 on remarque que 121 = 11², ainsi
et
interprétation graphique : la courbe d'équation intersecte l'axe des abscisses
en deux points dont les coordonnées sont (-3 ;0) et (5/2 ; 0)
b. soit un trinôme qui admet deux racines distinctes x1et x2. On a :
Somme des racines :
Produit des racines :
II. Signe d'un trinôme
Propriété
Si < 0, P(x) a le signe de a pour tout x.
Si = 0, P(x) a le signe de a pour tout x .
Si > 0, P(x) a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (- a) entre les racines.
Remarque : un élève de première S doit connaître parfaitement ce résultat, mais peut, au début, faire rapidement un tableau de signes.
De nombreux résultats de ce chapitre se traduisent graphiquement à l'aide de la parabole P d'équation : , avec a 0.
TESTE-TOI
En utilisant la règle des signes du trinôme, étudier le signe des fonctions suivantes puis
vérifier les résultats à l'aide du graphique tracé à la calculatrice.
a. b. c.
Corrige-toi
III. Inéquation du second degré
Commencer par factoriser au maximum, en utilisant le paragraphe I de cette fiche,
ou le paragraphe III de celle-ci . Ensuite, utiliser la règle des signes du trinôme (paragraphe II)
et/ou dresser un tableau de signes.
Ne pas oublier le facteur a dans la factorisation
Vérifier les résultats en prenant quelques valeurs particulières.
TESTE-TOI
En utilisant les résultats de l'exercice "Teste-toi" précédent, résoudre les inéquations suivantes :
a. b. c.
Corrige-toi
a. d'après le tableau de signes de f(x),
f(x) est strictement négatif pour tout x, sauf pour x=3
ainsi l'ensemble S des solutions est S = R\{3}
b. g(x) est positif ou nul à l'extérieur des racines -3 et 5/2
S = ]- ; -3] U [5/2 ; +[
on notera que les crochets des intervalles sont fermés sur les racines.
c) d'après l'étude du signe de la fonction, h(x) est toujours strictement positive.
tout réel vérifie donc l'inéquation : S = R
Publié par malou/carita
le
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=ax^2+bx+c )
(b et c étant réels)
Avant tout, vérifier s'il s'agit ou non d'une identité remarquable,
et utiliser sa forme factorisée pour résoudre l'équation produit nul.
 = x²- 6x + 9 = (x-3)²)
 = 0 \Longleftrightarrow x-3=0 \Longleftrightarrow x=3 )
 = x²- 4 = (x-2)(x+2))
 = 0 \Longleftrightarrow (x-2)(x+2)=0 \Longleftrightarrow x=2 \text{ ou } x=-2)
 = x² + 6x - 7 = (x-1)(x+7))
 = 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+7) = 0 \Longleftrightarrow x= 1 \text{ ou } x = -7)
TESTE-TOI
 = x² - 3x + 2 \quad a = 1 \quad b = -3 \quad c = 2)
}{1} = 3)
)
soit  = (x-1)(x-2))
le système suivant :
 - 5(x+1) = (x+1)(x-5))
(x-5) = 0 \Longleftrightarrow (x+1)=0 \text{ ou } (x-5)=0 \Longleftrightarrow x=-1 \text{ ou } x=5)
,(5,-1) \end{Bmatrix})
, avec a 
0.
et x1 x2 = 
sont les couples (u, v) tels que u et v
soient les solutions de l'équation du second degré 
, abscisse du sommet, retrouver la formule de la somme des racines.
= b² - 4ac.
.
; -3] U [5/2 ; +
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