Fiche de mathématiques
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Second Degré : Equations - Signe du trinôme - Inéquations

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Fiche écrite en 2020

I. RESOLUTION EQUATION DU SECOND DEGRE



Soit a un réel non nul. Soit P(x)=ax^2+bx+c (b et c étant réels)
Résoudre l'équation du second degré P(x)=0, c'est chercher l'ensemble S des racines de P.
L'équation peut admettre soit 2, soit 1, soit aucune solution.

A- En utilisant la factorisation

\bullet {\white{\text{a}}} Avant tout, vérifier s'il s'agit ou non d'une identité remarquable, et utiliser sa forme factorisée pour résoudre l'équation produit nul.

exemple 1 : f(x) = x²- 6x + 9 = (x-3)²
{\white\text{wwwwwwwwww}	}	f(x) = 0 \Longleftrightarrow x-3=0 \Longleftrightarrow  x=3
{\white\text{wwwwwwwwww}	}S = \begin{Bmatrix} 3 \end{Bmatrix} \quad f \text{ admet une racine double}

exemple 2 : f(x) = x²- 4 = (x-2)(x+2)
{\white\text{wwwwwwwwww}}f(x) = 0  \Longleftrightarrow (x-2)(x+2)=0 \Longleftrightarrow x=2 \text{ ou } x=-2
{\white\text{wwwwwwwwww}}S = \begin{Bmatrix} -2 ; 2 \end{Bmatrix} \quad f \text{ admet deux racines distinctes}

\bullet {\white{\text{a}}} Si on a pu factoriser le trinôme, résoudre l'équation produit nul comme expliqué ici .

exemple : f(x) = x² + 6x - 7 = (x-1)(x+7)
{\white\text{wwwwwwwww}	}f(x) = 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+7) = 0 \Longleftrightarrow x= 1 \text{ ou } x = -7
{\white\text{wwwwwwwww}	}S = \begin{Bmatrix} -7 ; 1 \end{Bmatrix}

  TESTE-TOI


B- Somme et produit de racines

1. Si on trouve une racine évidente (souvent parmi les entiers -2, -1, 0, 1, 2), on peut utiliser la propriété suivante pour obtenir l'autre racine :
Propriété
Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a \neq 0, admet deux racines x1 et x2 alors :
x1 + x2 = -\dfrac{\text{b}}{\text{a}} et x1 x2 = \dfrac{\text{c}}{\text{a}}



Remarque : Ces formules restent valables si les racines sont confondues.

exemple : f(x) = x² - 3x + 2  \quad  a = 1 \quad b = -3 \quad c = 2

\bullet {\white{\text{a}}} 1 est racine évidente car f(1) = 0 (remarque : la somme des coefficients du trinôme est nulle).
\bullet {\white{\text{a}}} On peut indifféremment utiliser la somme ou le produit des racines pour trouver l'autre racine.
\bullet {\white{\text{a}}} La somme vaut S= x_1 + x_2 = 1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-(-3)}{1} = 3
\bullet {\white{\text{a}}} d'où l'on déduit l'autre racine :  x_2= 3-1 = 2
\bullet {\white{\text{a}}} remarque : on peut en déduire la factorisation de f(x) soit f(x)   = (x-1)(x-2)

2. Autre propriété utile dans les exercices

Propriété
Les solutions du système \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u + v & S \\ uv & P \\ \end{array} \right. sont les couples (u, v) tels que u et v soient les solutions de l'équation du second degré x^2 - Sx + P = 0.


Remarque :  Quand on connait une solution (u,v) du système, on a entièrement résolu celui-ci, car l'autre solution est (v,u).

exemple : Résoudre dans \textbf{R}\times\textbf{R} le système suivant :  \left\lbrace\begin{array}l u + v=4 \\ u\times v=-5 \end{array}
\bullet {\white{\text{a}}} d'après la propriété précédente, les inconnues u et v sont les solutions de l'équation x² - 4x - 5 = 0
\bullet {\white{\text{a}}} on peut factoriser : x² - 4x - 5  = x² - 5x + x - 5 = x(x+1) - 5(x+1) = (x+1)(x-5)
\bullet {\white{\text{a}}} (x+1)(x-5) = 0 \Longleftrightarrow  (x+1)=0 \text{ ou } (x-5)=0 \Longleftrightarrow  x=-1 \text{ ou }  x=5
\bullet {\white{\text{a}}} on conclut que les couples (-1,5) et (5,-1) sont les deux solutions du système. S = \begin{Bmatrix} (-1,5),(5,-1) \end{Bmatrix}

 Teste-TOI


C- Méthode générale : calcul du discriminant

A connaître par coeur
On appelle discriminant de P le réel \Delta = b² - 4ac.

Si \Delta < 0, S = Ø
Si \Delta = 0, S = \left\lbrace -\dfrac{b}{2a} \right\rbrace
Si \Delta > 0, S = \left\lbrace \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\rbrace



Remarques :
Ces formules ne sont valables que pour des polynômes du second degré.
Un polynôme du second degré a au plus 2 racines
Dans un problème concret, toujours vérifier la cohérence des résultats.

 TESTE-TOI


II. Signe d'un trinôme

Propriété
Si \Delta < 0, P(x) a le signe de a pour tout x.
Si \Delta = 0, P(x) a le signe de a pour tout x \neq -\dfrac{b}{2a}.
Si \Delta > 0, P(x) a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (- a) entre les racines.


Remarque : un élève de première S doit connaître parfaitement ce résultat, mais peut, au début, faire rapidement un tableau de signes.


De nombreux résultats de ce chapitre se traduisent graphiquement à l'aide de la parabole P d'équation : y = ax² + bx + c, avec a \neq 0.
second degré : equations, signe et inéquations  : image 6


 TESTE-TOI

III. Inéquation du second degré


\bullet {\white{\text{a}}} Commencer par factoriser au maximum, en utilisant le paragraphe I de cette fiche, ou le paragraphe III de celle-ci .
\bullet {\white{\text{a}}} Ensuite, utiliser la règle des signes du trinôme (paragraphe II) et/ou dresser un tableau de signes.
\bullet {\white{\text{a}}} Ne pas oublier le facteur a dans la factorisation
\bullet {\white{\text{a}}} Vérifier les résultats en prenant quelques valeurs particulières.

 TESTE-TOI
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