Fiche de mathématiques
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Les Fonctions Polynômes : Fiche Méthode

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I. Fonction polynôme

Ne pas oublier qu'une fonction polynôme est définie sur \mathbb{R} et que les puissances de x sont des entiers naturels.


II. Equation de degré supérieur ou égal à 3

Chercher une ou plusieurs racines :
en programmant une calculatrice,
souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2,
dont 0 si le coefficient constant est nul, puis utiliser le théorème suivant :
         a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x,
         P(x) = (x - a) Q(x).
une ou plusieurs fois pour factoriser et se ramener à une équation de degré 2.




III. Equation de degré 2

Vérifier d'abord s'il s'agit ou non d'une identité remarquable.
S'il y a une racine simple (souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2), utiliser le théorème suivant pour obtenir l'autre racine :
Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a \neq 0, admet deux racines x1 et x2 alors :
x1 + x2 = -\dfrac{\text{b}}{\text{a}} et x1 x2 = \dfrac{\text{c}}{\text{a}}


Sinon utiliser les formules du théorème suivant :
    - Si \Delta < 0, S = \emptyset
    - Si \Delta = 0, S = \left\lbrace-\dfrac{\text{b}}{\text{2a}}\right\rbrace
    - Si \Delta > 0, S = \left\lbrace\dfrac{-\text{b}-\sqrt{\Delta}}{\text{2a}} ; \dfrac{-\text{b}+\sqrt{\Delta}}{\text{2a}}\right\rbrace


qui ne sont valables que pour une équation du second degré et qui doivent être connues par cœur !
Retenir qu'un polynôme de degré 2 a au plus deux racines.
Dans un problème concret, vérifier la cohérence des résultats.


IV. Inéquation

Commencer par factoriser au maximum en utilisant les méthodes du II. et du III., puis utiliser la règle des signes avec un tableau.
Ne pas oublier le facteur a dans a(x - x1)(x - x2).
Vérifier les résultats en prenant des valeurs particulières et en déterminant le signe du polynôme pour ces valeurs.
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