Bonjour,

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je pense à  x=20  y=10 et z=4

Oui, on peut aussi trouver la forme générale des solutions qui vérifient x = 1.
Idem avec y = 2, ou avec z = 3.
Il me semble plus difficile de trouver toutes les solutions.

salut

plus généralement si y = 2y' et z = 3z' on connait les solutions ... au moins dans N

d'ailleurs peut-être commencer déjà par résoudre l'équation

car alors si (x, y, z) est solution de (*)alors (x, 2y, 3z) est solution de l'équation

autre idée :



alors x divise 2zx + 3xy donc x divise yz et il existe p tel que yz = px

et y divise yz+ 3xy donc y divise 2zx et il existe q tel que 2zx = qy

et z divise yz + 2zx donc z divise 3xy et il existe r tel que 3xy = rz

en multipliant membre à membre on en déduit que 6xyz = pqr

mais bon ... faut voir ...

allez une autre idée ... peut-être :



et x -1  et x sont premiers entre eux

donc x divise yz et yz = kx et x - 1 divise 3y + 2z donc 3y + 2z = k(x - 1)

donc

alors pour tout diviseur d de k + 6 on a   et donc  

on peut vérifier que le triplet vérifie  (+)

Ça marche !

Bonsoir,

J'écris mon approche même si une solution semble avoir été trouvée car (peut-être) que quelqu'un verra comment l'exploiter utilement.

On peut réécrire l'équation de départ sous une forme qui m'a l'air a priori sympathique en utilisant :


ce qui permet de réécrire l'équation de départ (après avoir tout mis au même dénominateur) en virant les double produits. L'équation devient :
avec X#-1, Y#-2, et Z#-3.
où  X=(x-1), Y=(y-2), et Z=(z-3).
* Le cas X=0, le cas Y=0 et le cas Z=0 donnent des équations qu'on sait résoudre avec des méthodes classiques, conduisant à une infinité de solutions qu'on sait décrire.

* Le nombre de solutions restantes (lorsque X,Y,Z tous non nuls) est fini. En effet, si |X|,|Y|,|Z| > 3
En notant on a
Mais
Mais 16M > 11M+18 lorsque M>3 donc il n'existe aucune solution dés lors que X,Y,Z>3.

Ainsi les solutions restantes sont parmi les entiers relatifs de [-3, 3] (ce qui laisse pas mal de cas à regarder j'en conviens).

Bonne soirée

@carpediem,
Il me semble que , c'est à dire n'est pas toujours entier

@thetapinch27,
On doit pouvoir combiner le y = 2+d de carpediem avec ton Y compris entre -3 et 3.

Bonjour de bon matin,
@thetapinch27,
Tu démontres qu'au moins un des trois, X, Y ou Z, est parmi les entiers relatifs de [-3, 3].
Regarde le triplet solution donné par dpi.

Au bon temps des "énigmes" il fallait répondre le plus vite possible pour le palmarès.... j'ai essayé dans le 1/4 h.
Au fait:

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Des réponses pour le post de Taf88  x=20 ;y=10 ,z=-4
ou   x=-10,y=4,z=-5  ou x=2,y=-20,z=-5  .....

Sylvieg : damned !!!

une remarque : les solutions de dpi suggèrent que x, y et z sont des multiples de 2 et 5 et donc que leurs inverses sont des décimaux ...

C'est bien la question qu'on peut se poser:
on demande x,y,z dans  mais le quid de 1/x qui par définition n'est pas dans

Bonjour,

Si cela peut aider, voici la liste des triplets (x,y,z) qui conviennent ...
sous la contrainte que leur valeur absolue soit <= 100.

 Cliquez pour afficher

-49 98 3
-48 96 3
-47 94 3
-46 92 3
-45 90 3
-44 88 3
-43 86 3
-42 84 3
-41 82 3
-40 80 3
-39 78 3
-38 76 3
-37 74 3
-36 72 3
-35 70 3
-34 68 3
-33 2 99
-33 66 3
-32 2 96
-32 64 3
-31 2 93
-31 62 3
-30 2 90
-30 60 3
-29 2 87
-29 58 3
-28 2 84
-28 7 4
-28 56 3
-27 2 81
-27 54 3
-26 2 78
-26 52 3
-25 2 75
-25 50 3
-24 2 72
-24 3 8
-24 48 3
-23 2 69
-23 46 3
-22 2 66
-22 44 3
-21 2 63
-21 42 3
-20 2 60
-20 40 3
-19 2 57
-19 38 3
-18 2 54
-18 36 3
-17 2 51
-17 34 3
-16 2 48
-16 32 3
-15 2 45
-15 30 3
-14 2 42
-14 28 3
-13 2 39
-13 26 3
-12 2 36
-12 6 4
-12 24 3
-11 2 33
-11 22 3
-10 -5 2
-10 2 30
-10 4 5
-10 20 3
-9 2 27
-9 18 3
-8 2 24
-8 16 3
-7 2 21
-7 14 3
-6 -6 2
-6 2 18
-6 3 6
-6 12 3
-5 2 15
-5 10 3
-4 -8 2
-4 1 -4
-4 2 12
-4 4 4
-4 8 3
-3 -12 2
-3 2 9
-3 6 3
-2 1 -6
-2 2 6
-2 4 3
-1 -2 1
-1 2 3
-1 4 2
1 -66 99
1 -64 96
1 -62 93
1 -60 90
1 -58 87
1 -56 84
1 -54 81
1 -52 78
1 -50 75
1 -48 72
1 -46 69
1 -44 66
1 -42 63
1 -40 60
1 -38 57
1 -36 54
1 -34 51
1 -32 48
1 -30 45
1 -28 42
1 -26 39
1 -24 36
1 -22 33
1 -20 30
1 -18 27
1 -16 24
1 -14 21
1 -12 18
1 -10 15
1 -8 12
1 -6 9
1 -4 6
1 -2 3
1 2 -3
1 4 -6
1 6 -9
1 8 -12
1 10 -15
1 12 -18
1 14 -21
1 16 -24
1 18 -27
1 20 -30
1 26 -39
1 28 -42
1 30 -45
1 32 -48
1 34 -51
1 36 -54
1 38 -57
1 40 -60
1 42 -63
1 44 -66
1 46 -69
1 48 -72
1 50 -75
1 52 -78
1 54 -81
1 56 -84
1 58 -87
1 60 -90
1 62 -93
1 64 -96
1 66 -99
2 -20 5
2 -8 4
2 -4 3
2 -2 2
2 1 -2
2 2 -6
2 5 30
2 7 14
2 8 12
2 10 10
2 12 9
2 16 8
2 28 7
3 -24 4
3 -6 3
3 2 -9
3 6 9
3 12 6
3 30 5
4 -8 3
4 2 -12
4 3 36
4 4 12
4 8 6
5 -10 3
5 2 -15
5 4 10
5 10 5
5 40 4
6 -12 3
6 -3 2
6 2 -18
6 4 9
6 6 6
6 24 4
7 -14 3
7 2 -21
8 -16 3
8 2 -24
8 4 8
8 16 4
9 -18 3
9 2 -27
10 -20 3
10 2 -30
10 5 6
11 -22 3
12 -24 3
12 3 12
12 12 4
13 -26 3
13 2 -39
14 -28 3
14 2 -42
14 4 7
15 -30 3
15 2 -45
15 6 5
16 -32 3
16 2 -48
17 -34 3
17 2 -51
18 -36 3
18 2 -54
19 -38 3
19 2 -57
20 -40 3
20 2 -60
20 10 4
21 -42 3
21 2 -63
22 -44 3
22 2 -66
23 -46 3
23 2 -69
24 -48 3
24 2 -72
25 -50 3
25 2 -75
26 -52 3
26 2 -78
27 -54 3
27 2 -81
28 -56 3
28 2 -84
29 -58 3
29 2 -87
30 -60 3
30 2 -90
30 3 10
31 -62 3
31 2 -93
32 -64 3
32 2 -96
33 -66 3
33 2 -99
34 -68 3
35 -70 3
36 -72 3
36 9 4
37 -74 3
38 -76 3
39 -78 3
40 -80 3
41 -82 3
42 -84 3
43 -86 3
44 -88 3
45 -90 3
46 -92 3
47 -94 3
48 -96 3
49 -98 3
50 -100 3

Si x =1 alors 1/x est dans
Par ailleurs, les solutions non élémentaires peuvent être très utiles !

Messages croisés

Très intéressant !
Quand j'aurais plus de temps, je ferai un tri en ne gardant que ceux où x 1, y2 et z3.

J'aime bien (-4,4,4).

Dans cette grande liste certains triplets ne conviennent pas...
J'avais au départ les triplets suivants et on en trouve autant que nécessaire...

excuses ,ils sont bons (erreur de lecture avec les - )
J'aime bien 6 6 6  

thetapinch27 : es-tu sûr du coefficient 18 ? ne serait-ce pas 12 ?

Sylvieg : peut-être :
on peut vérifier que le triplet   vérifie  (+) avec k non nul et d diviseur de k + 6

Voila ma liste précédente sous les conditions du message du 16-04-25 à 10:51.

 Cliquez pour afficher

-28 7 4
-24 3 8
-12 6 4
-10 -5 2
-10 4 5
-6 -6 2
-6 3 6
-4 -8 2
-4 1 -4
-4 4 4
-3 -12 2
-2 1 -6
-1 -2 1
-1 4 2
2 -20 5
2 -8 4
2 -2 2
2 1 -2
2 5 30
2 7 14
2 8 12
2 10 10
2 12 9
2 16 8
2 28 7
3 -24 4
3 6 9
3 12 6
3 30 5
4 3 36
4 4 12
4 8 6
5 4 10
5 10 5
5 40 4
6 -3 2
6 4 9
6 6 6
6 24 4
8 4 8
8 16 4
10 5 6
12 3 12
12 12 4
14 4 7
15 6 5
20 10 4
30 3 10
36 9 4

je suppose x différent de 1 (et de 0)



or x -1  et x sont premiers entre eux donc x ne peux diviser aucun des deux facteurs s'il ne divise pas y ou z

donc si on a une solution alors x divise y ou x divise z

ou réciproquement y divise x ou y divise z ou réciproquement z divise x ou z divise y

"or x -1  et x sont premiers entre eux donc x ne peux diviser aucun des deux facteurs s'il ne divise pas y ou z

donc si on a une solution alors x divise y ou x divise z "

Pas exactement, x peut ne diviser ni y ni z ... et diviser le produit y*z

Par exemple : (x,y,z) = (6,4,9)

Bonjour

Je ne participe pas au fil mais je le suis d'un ?il

Serait-il possible de blanker les listes de solutions proposées par Candide2 ? Pas pour les cacher car elle sont intéressantes mais pour réduire l'invasion de l'écran ?

Imod

_{* Sylvieg >  c'est fait *}

Bonsoir,

Sylvieg : oui je crois que j'ai fait une belle erreur de raisonnement. Le nombre de solutions restantes n'est donc pas nécessairement fini.
carpediem : tu as raison. En effet c'est +12 et non +18  (ça m'apprendra à vouloir faire de tête!)
D'où l'écriture différente de l'équation de départ :

où X=x-1, Y=y-2, Z=z-3, et où X1, Y-2, Z-3

Si quelqu'un y trouve un intérêt ...

Bonne soirée

J'avais fait un bidule dans <50
Cela donne trié sur x:
j'ai paramétré pour d'autres numérateurs ...

Exemple  1/x+3/y+4/z =1-->    (5;10;8) ou  (18;6;9) 0u  . ...
on peut aussi changer la somme
exemple  2/x+3/y+4/z=2 -->  (2;4;16) ou (4;18;3) ou  (6;2;24) ou....
je me fabrique un <100  ça peut servir

Bonjour,
Comme je suis du genre tenace, j'ai tenté de revenir sur ce sujet en me contentant, comme dpi, de travailler dans .
Je n'ai rien trouvé d'intéressant
Une remarque cependant :
Les triplets (2,6,18) et (3,4,18) qui apparaissent dans la dernière liste de dpi n'apparaissent pas dans celles de candide2

Bonjour Sylvieg ,
As-tu aussi vérifié que je n'avais pas oublié certains  figurant sur la liste de candide2?  hors

Je n'ai pas comparé vos deux listes
J'ai cherché, à la main, les solutions avec x = 2 puis avec x = 3.

Bonjour à tous

En fait on peut épuiser « rapidement » à la main toutes les solutions positives . On remarque déjà que x>1 , y>2 et z>3 . Ensuite on fixe z et on fait varier x ou y et on calcule l'autre à l'aide de la relation .

Par exemple si z=4 : x = 4y/(y-8) et y=8x(x-4) . On a donc x>4 et y>8 . On part de x=5 et on trouve y=40 , on continue avec x=6 , 7 , ... et on ne retient que les valeurs de y entières . On remarque que y décroit quand x augmente et quand x=12 , y=12 . A partir de là on continue en faisant décroître y jusqu'à 9 .

On procède de même avec z=5 et z=6 .

Il reste à trouver les solutions avec z>6 , or on ne peut pas avoir simultanément x>6  , y>6 et z>6 on a donc x<7 ou y<7 et on fait le même travail que précédemment en fixant x ou y et en faisant varier z . Les calculs sont moins longs car les contraintes sont plus nombreuses .

Par exemple si x=2 alors y=4z/(z-6) et z=6y/(y-4) donc y>4 .

si y = 5 alors z=30 puis on augmente y avec z qui diminue ...

Je n'ai pas fait tous les calculs mais tout se fait à la main avec un peu de patience 😊

Imod

Bonsoir Imod,
J'en suis un peu près au même point que toi, sauf que j'ai recommencé à chercher dans .
En utilisant la démarche de thetapinch27, on a
-2 x 4 ou -1 y 5 ou 0 z 6.

J'ai déjà dit avoir cherché à la main les solutions avec x = 2 puis avec x = 3. C'est laborieux.
Les autres cas doivent être faisables.

En fait déjà dans , le problème est plutôt pénible , après dans on est ramené à plusieurs problèmes dans en passant dans le membre de droite les valeurs négatives . Il peuvent sans doute être traités de la même façon mais je t'avoue que c'est loin de m'enthousiasmer

J'ai tendance à croire qu'il s'agit d'un problème mal recopié

Imod

Comme j'avais un moment à tué ce matin j'ai regardé le cas où y est le seul négatif et le cas où z le seul négatif . on obtient des suites infinis et quelques cas isolés .

Pour y<0 :

( k ; -2k , 3 ) et ( 2 ; -2 , 2 ) , ( 2 , -8 , 4) , ( 2 ; -20 ; 5 ) , (3 ; -24 ; 4 ) , ( 6 ; -3 ; 2 ) .

Pour z<0 :

( 1 ; 2k ; -3k ) , ( k ; 2 ; -3k) , ( 2 ; 1 ; -2 ) ; ( 2 ; 3 ; -18 ) .

Imod

Je continue bêtement avec ma méthode car j'aime bien empiler des lignes de calculs pour me vider la tête .

Si x<0 , y>0 et z>0 alors on a deux séries infinies ( -k ; 2 ; 3k ) , ( -k ; 2k ; 3) et un petit paquet d'électrons libres : ( -28 ; 7 ; 4 ) , ( -24 ; 3 ; 8 ) , ( -16 ; 6 ; 4 ) , ( -12 ; 6  ; 4 ) , ( -10 ; 4 ; 5 ) , ( -6 ; 3 ; 6 ) , ( -4 ; 4 ; 4 ) , ( -1 ; 4 ; 2 ) .

A suivre peut-être  ...

Imod

En fait dès qu'il y a deux négatifs , le problème est simple , il ne reste que quatre solutions : ( -2 ; 1 ; -6 ) , ( -4 ; 1 ; -4 ) , ( -6 ; -6 ; 2 ) et ( -10 ; -5 ; 2 ) .

Imod

Et (-1,-2,1) ?

En effet il manquait z=1
Imod

Bonsoir à tous,

Oups je crois que j'ai écrit mon message entre les balises "quote" ... si quelqu'un peut corriger ... merci

... Et en plus c'était faux

Je reprends. En faisant sute au message de Sylvieg du 09-07-25 à 22:05, il resterait ces 15 équations à résoudre :



















Bonne nuit

En relisant mes notes je me suis rendu compte qu'il me manquait une branche dans le cas où y est le seul négatif : ( 1 ; -2k ; 3k ) . En fait c'est plutôt agréable car ça apporte une symétrie , il y a exactement trois branches infinies  : ( 1 ; 2k ; -3k ) , ( k ; 2 ; -3k ) et ( k ; -2k ; 3 ) avec k entier relatif . Après il y a un petit nombre de parasites à côté .  La forme ultra-simple des solutions infinies questionne , quelqu'un a-t-il cherché les solutions dans de l'équation de base 1/x+1/y+1/z=1 ?

Imod

Chacun son truc mais pour le moment rien n'est vraiment simple

Si je trouve un peu de courage je détaillerai la méthode que j'ai utilisée pour trouver toutes les solutions .

En attendant j'ai regardé les solutions de 1/m+1/n+1/p=1 , ce n'est pas difficile , il y a pour les positifs (2,3,6) , (2,4,4) et (3,3,3) et les permutations . Il ne peut pas y avoir deux valeurs négatives et avec une seule on a seulement (1,k,-k) et ses permutations .
En posant x=m , y=2n et z=3p on obtient des solutions à l'équation 1/x+2/y+3/z=1 et notamment les trois branches infinies dont je parlais précédemment : (1,2k,-3k),(k,2,-3k),(k,-2k,3) . Bien sûr on ne trouve pas tout le monde car x , y , z entiers ne donnent pas forcément  m , n , p entiers .

A suivre donc ...
Imod

je suis de loin mais je n'avais pas plus d'idée ...

mais je vois que Imod est partie sur ma première idée dans mon premier msg ...

Carpediem

Cette approche a au moins le bénéfice d'expliquer simplement les trois branches infinies devenues évidentes lorsqu'on les a vues

Imod

J'ai rédigé une solution complète en PDF et je n'ai vraiment pas le courage de la recopier avec le LaTeX du site . Il y a certainement quelques oublis et erreurs

Imod


PDF - 61 Ko

et merci