Bonjour,

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je pense à  x=20  y=10 et z=4

Oui, on peut aussi trouver la forme générale des solutions qui vérifient x = 1.
Idem avec y = 2, ou avec z = 3.
Il me semble plus difficile de trouver toutes les solutions.

salut

plus généralement si y = 2y' et z = 3z' on connait les solutions ... au moins dans N

d'ailleurs peut-être commencer déjà par résoudre l'équation

car alors si (x, y, z) est solution de (*)alors (x, 2y, 3z) est solution de l'équation

autre idée :



alors x divise 2zx + 3xy donc x divise yz et il existe p tel que yz = px

et y divise yz+ 3xy donc y divise 2zx et il existe q tel que 2zx = qy

et z divise yz + 2zx donc z divise 3xy et il existe r tel que 3xy = rz

en multipliant membre à membre on en déduit que 6xyz = pqr

mais bon ... faut voir ...

allez une autre idée ... peut-être :



et x -1  et x sont premiers entre eux

donc x divise yz et yz = kx et x - 1 divise 3y + 2z donc 3y + 2z = k(x - 1)

donc

alors pour tout diviseur d de k + 6 on a   et donc  

on peut vérifier que le triplet vérifie  (+)

Ça marche !

Bonsoir,

J'écris mon approche même si une solution semble avoir été trouvée car (peut-être) que quelqu'un verra comment l'exploiter utilement.

On peut réécrire l'équation de départ sous une forme qui m'a l'air a priori sympathique en utilisant :


ce qui permet de réécrire l'équation de départ (après avoir tout mis au même dénominateur) en virant les double produits. L'équation devient :
avec X#-1, Y#-2, et Z#-3.
où  X=(x-1), Y=(y-2), et Z=(z-3).
* Le cas X=0, le cas Y=0 et le cas Z=0 donnent des équations qu'on sait résoudre avec des méthodes classiques, conduisant à une infinité de solutions qu'on sait décrire.

* Le nombre de solutions restantes (lorsque X,Y,Z tous non nuls) est fini. En effet, si |X|,|Y|,|Z| > 3
En notant on a
Mais
Mais 16M > 11M+18 lorsque M>3 donc il n'existe aucune solution dés lors que X,Y,Z>3.

Ainsi les solutions restantes sont parmi les entiers relatifs de [-3, 3] (ce qui laisse pas mal de cas à regarder j'en conviens).

Bonne soirée

@carpediem,
Il me semble que , c'est à dire n'est pas toujours entier

@thetapinch27,
On doit pouvoir combiner le y = 2+d de carpediem avec ton Y compris entre -3 et 3.

Bonjour de bon matin,
@thetapinch27,
Tu démontres qu'au moins un des trois, X, Y ou Z, est parmi les entiers relatifs de [-3, 3].
Regarde le triplet solution donné par dpi.

Au bon temps des "énigmes" il fallait répondre le plus vite possible pour le palmarès.... j'ai essayé dans le 1/4 h.
Au fait:

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Des réponses pour le post de Taf88  x=20 ;y=10 ,z=-4
ou   x=-10,y=4,z=-5  ou x=2,y=-20,z=-5  .....

Sylvieg : damned !!!

une remarque : les solutions de dpi suggèrent que x, y et z sont des multiples de 2 et 5 et donc que leurs inverses sont des décimaux ...

C'est bien la question qu'on peut se poser:
on demande x,y,z dans  mais le quid de 1/x qui par définition n'est pas dans

Bonjour,

Si cela peut aider, voici la liste des triplets (x,y,z) qui conviennent ...
sous la contrainte que leur valeur absolue soit <= 100.

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-49 98 3
-48 96 3
-47 94 3
-46 92 3
-45 90 3
-44 88 3
-43 86 3
-42 84 3
-41 82 3
-40 80 3
-39 78 3
-38 76 3
-37 74 3
-36 72 3
-35 70 3
-34 68 3
-33 2 99
-33 66 3
-32 2 96
-32 64 3
-31 2 93
-31 62 3
-30 2 90
-30 60 3
-29 2 87
-29 58 3
-28 2 84
-28 7 4
-28 56 3
-27 2 81
-27 54 3
-26 2 78
-26 52 3
-25 2 75
-25 50 3
-24 2 72
-24 3 8
-24 48 3
-23 2 69
-23 46 3
-22 2 66
-22 44 3
-21 2 63
-21 42 3
-20 2 60
-20 40 3
-19 2 57
-19 38 3
-18 2 54
-18 36 3
-17 2 51
-17 34 3
-16 2 48
-16 32 3
-15 2 45
-15 30 3
-14 2 42
-14 28 3
-13 2 39
-13 26 3
-12 2 36
-12 6 4
-12 24 3
-11 2 33
-11 22 3
-10 -5 2
-10 2 30
-10 4 5
-10 20 3
-9 2 27
-9 18 3
-8 2 24
-8 16 3
-7 2 21
-7 14 3
-6 -6 2
-6 2 18
-6 3 6
-6 12 3
-5 2 15
-5 10 3
-4 -8 2
-4 1 -4
-4 2 12
-4 4 4
-4 8 3
-3 -12 2
-3 2 9
-3 6 3
-2 1 -6
-2 2 6
-2 4 3
-1 -2 1
-1 2 3
-1 4 2
1 -66 99
1 -64 96
1 -62 93
1 -60 90
1 -58 87
1 -56 84
1 -54 81
1 -52 78
1 -50 75
1 -48 72
1 -46 69
1 -44 66
1 -42 63
1 -40 60
1 -38 57
1 -36 54
1 -34 51
1 -32 48
1 -30 45
1 -28 42
1 -26 39
1 -24 36
1 -22 33
1 -20 30
1 -18 27
1 -16 24
1 -14 21
1 -12 18
1 -10 15
1 -8 12
1 -6 9
1 -4 6
1 -2 3
1 2 -3
1 4 -6
1 6 -9
1 8 -12
1 10 -15
1 12 -18
1 14 -21
1 16 -24
1 18 -27
1 20 -30
1 26 -39
1 28 -42
1 30 -45
1 32 -48
1 34 -51
1 36 -54
1 38 -57
1 40 -60
1 42 -63
1 44 -66
1 46 -69
1 48 -72
1 50 -75
1 52 -78
1 54 -81
1 56 -84
1 58 -87
1 60 -90
1 62 -93
1 64 -96
1 66 -99
2 -20 5
2 -8 4
2 -4 3
2 -2 2
2 1 -2
2 2 -6
2 5 30
2 7 14
2 8 12
2 10 10
2 12 9
2 16 8
2 28 7
3 -24 4
3 -6 3
3 2 -9
3 6 9
3 12 6
3 30 5
4 -8 3
4 2 -12
4 3 36
4 4 12
4 8 6
5 -10 3
5 2 -15
5 4 10
5 10 5
5 40 4
6 -12 3
6 -3 2
6 2 -18
6 4 9
6 6 6
6 24 4
7 -14 3
7 2 -21
8 -16 3
8 2 -24
8 4 8
8 16 4
9 -18 3
9 2 -27
10 -20 3
10 2 -30
10 5 6
11 -22 3
12 -24 3
12 3 12
12 12 4
13 -26 3
13 2 -39
14 -28 3
14 2 -42
14 4 7
15 -30 3
15 2 -45
15 6 5
16 -32 3
16 2 -48
17 -34 3
17 2 -51
18 -36 3
18 2 -54
19 -38 3
19 2 -57
20 -40 3
20 2 -60
20 10 4
21 -42 3
21 2 -63
22 -44 3
22 2 -66
23 -46 3
23 2 -69
24 -48 3
24 2 -72
25 -50 3
25 2 -75
26 -52 3
26 2 -78
27 -54 3
27 2 -81
28 -56 3
28 2 -84
29 -58 3
29 2 -87
30 -60 3
30 2 -90
30 3 10
31 -62 3
31 2 -93
32 -64 3
32 2 -96
33 -66 3
33 2 -99
34 -68 3
35 -70 3
36 -72 3
36 9 4
37 -74 3
38 -76 3
39 -78 3
40 -80 3
41 -82 3
42 -84 3
43 -86 3
44 -88 3
45 -90 3
46 -92 3
47 -94 3
48 -96 3
49 -98 3
50 -100 3

Si x =1 alors 1/x est dans
Par ailleurs, les solutions non élémentaires peuvent être très utiles !

Messages croisés

Très intéressant !
Quand j'aurais plus de temps, je ferai un tri en ne gardant que ceux où x 1, y2 et z3.

J'aime bien (-4,4,4).

Dans cette grande liste certains triplets ne conviennent pas...
J'avais au départ les triplets suivants et on en trouve autant que nécessaire...

excuses ,ils sont bons (erreur de lecture avec les - )
J'aime bien 6 6 6  

thetapinch27 : es-tu sûr du coefficient 18 ? ne serait-ce pas 12 ?

Sylvieg : peut-être :
on peut vérifier que le triplet   vérifie  (+) avec k non nul et d diviseur de k + 6

Voila ma liste précédente sous les conditions du message du 16-04-25 à 10:51.

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-28 7 4
-24 3 8
-12 6 4
-10 -5 2
-10 4 5
-6 -6 2
-6 3 6
-4 -8 2
-4 1 -4
-4 4 4
-3 -12 2
-2 1 -6
-1 -2 1
-1 4 2
2 -20 5
2 -8 4
2 -2 2
2 1 -2
2 5 30
2 7 14
2 8 12
2 10 10
2 12 9
2 16 8
2 28 7
3 -24 4
3 6 9
3 12 6
3 30 5
4 3 36
4 4 12
4 8 6
5 4 10
5 10 5
5 40 4
6 -3 2
6 4 9
6 6 6
6 24 4
8 4 8
8 16 4
10 5 6
12 3 12
12 12 4
14 4 7
15 6 5
20 10 4
30 3 10
36 9 4

je suppose x différent de 1 (et de 0)



or x -1  et x sont premiers entre eux donc x ne peux diviser aucun des deux facteurs s'il ne divise pas y ou z

donc si on a une solution alors x divise y ou x divise z

ou réciproquement y divise x ou y divise z ou réciproquement z divise x ou z divise y

"or x -1  et x sont premiers entre eux donc x ne peux diviser aucun des deux facteurs s'il ne divise pas y ou z

donc si on a une solution alors x divise y ou x divise z "

Pas exactement, x peut ne diviser ni y ni z ... et diviser le produit y*z

Par exemple : (x,y,z) = (6,4,9)

Bonjour

Je ne participe pas au fil mais je le suis d'un ?il

Serait-il possible de blanker les listes de solutions proposées par Candide2 ? Pas pour les cacher car elle sont intéressantes mais pour réduire l'invasion de l'écran ?

Imod

_{* Sylvieg >  c'est fait *}

Bonsoir,

Sylvieg : oui je crois que j'ai fait une belle erreur de raisonnement. Le nombre de solutions restantes n'est donc pas nécessairement fini.
carpediem : tu as raison. En effet c'est +12 et non +18  (ça m'apprendra à vouloir faire de tête!)
D'où l'écriture différente de l'équation de départ :

où X=x-1, Y=y-2, Z=z-3, et où X1, Y-2, Z-3

Si quelqu'un y trouve un intérêt ...

Bonne soirée

J'avais fait un bidule dans <50
Cela donne trié sur x:
j'ai paramétré pour d'autres numérateurs ...

Exemple  1/x+3/y+4/z =1-->    (5;10;8) ou  (18;6;9) 0u  . ...
on peut aussi changer la somme
exemple  2/x+3/y+4/z=2 -->  (2;4;16) ou (4;18;3) ou  (6;2;24) ou....
je me fabrique un <100  ça peut servir