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Equation assez complexe pour une jeune nouvelle S.
Tout d'abord , bonjour à tous !!
Voilà je vous expose tout de suite mon problème : je suis en première S et notre professeur nous a donné un DM de maths à faire pour la semaine prochaine. Après avoir réusssi, non sans peine, à faire les 3 premiers exercices, je suis complètement bloquée au 4ème ! J'ai cogité pendant des heures dessus mais rien à faire : rien ne se met en place dans mon petit cerveau ! Donc je voulais savoir si vous pouviez me donner des pistes ou quelque chose dans le genre, un petit indice, n'importe quoi car je commence vraiment à perdre la tête à force d'être omnibulée par les Maths.
Voila l'exercice :
Soit f la fonction définie par f(x)= (ax + b)/(bx + d)
On nous indique que a, b, c et d sont des réels tels que ad-bc n'est pas = à 0 et que c n'est pas = à 0 non plus.
J'en ai déduit que ad n'est pas = à bc et que ad n'est pas égal à 0 non plus. Je ne sais pas quoi déduire du c qui n'est pas égal à 0.
Il faut que je trouve dans un premier temps l'ensemble de définition de la fonction f puis, pas la suite, je dois montrer que H( -d/c ; a/c) est un centre de symétrie pour Cf (la courbe représentative de f).
J'espère que vous pourrez au moins me donner une petite indication 
Merci d'avance !
Marion.
Bonjour.
Ne panique pas parce que tu as des lettres a, b, c, d. Garde tes réflexes habituels.
1°) f(x) est une fraction. Elle existe seulement si cx + d est non nul. Or, comme c est non nul,
cx + d = 0 te donne x = -d/c. Donc, domaine :
\{
}
2°) Tu dois effectuer un changement d'origine. Pose :
puis remplace x et y dans f(x). Après quelques calculs délicats, tu trouveras :
.
Cette dernière fonction est impaire, donc, le point proposé est bien centre de symétrie.
Cordialement RR.
Merci beaucoup Raymond pour ces indications ! La réponse de la première question, qui était en fait relativement simple, a entièrement été comprise. En revanche, je rencontre certaines difficultés quant à la compréhension de la deuxième : je ne comprends pas pourquoi l'on doit faire un changement d'origine, et encore moins comment on peut remplacer x et y dans f(x). En effet, j'ai toujours eu beaucoup de mal à propos du centre de symétrie des fonctions.
J'espère ne pas trop abuser de votre temps et je vous remercie d'avance.
Marion.
Je pensais plutôt que, en admetant que ce point H ait pour coordonnées H(a;b), on devait suivre le "schéma" suivant : pour tout h réel, f(a+h) + f(a-h) = 2b
En gros je suis assez perdue :s
Je pensais plutôt que, en admetant que ce point H ait pour coordonnées H(a;b), on devait suivre le "schéma" suivant : pour tout h réel, f(a+h) + f(a-h) = 2b
pas de panique : il y a deux méthodes possibles, celle que tu proposes et le changement d'origine proposé par Raymond
Ta dernière remrque est tout à fait légitime, la méthode que tu proposes est surtout employée lorsque l'on ne connait pas les coordonnées a et b du centre de symétrie.
Ici, comme le résultat est donné H(-d/c ; a/c) j'ai pris un nouveau repère dont les axes sont parallèles aux anciens et dont la nouvelle origine est H.
Il s'agit d'une translation de vecteur .
Donc les formules de passage sont : .
Soit : x = X -d/c et y = Y + a/c. Alors :
donne
.
Je te laisse les calculs de réduction, on arrive (sauf erreur de calcul) au résultat que je t'ai proposé plus haut :
.
Or, la fonction X -> k/X est impaire, donc sa représentation graphique est symétrique par rapport à la nouvelle origine H. Cela signifie bien que f admet H pour centre de symétrie.
Cordialement RR.
Mais en faisant f(a+h)+(fa-b)= 2b , je tombe sur un calcul de malade pratiquement impossible à réaliser et qui ne mène à rien :
f(a+h)+f(a-h)= 2b
soit : f(-d/c +h) + f(-d/c -h) = 2 (a/c)
(a(-d/c +h) + b)/(b(-d/c + h)+c) + (a(-d/c -h) + b)/(b(-d/c - h) +c) = 2(a/c)
Voyez plutôt :s
Je pense donc qu'il ne faut pas faire ça = c'est purement impossible !!
Ah je n'avais pas vu le dernier post de Raymond !!
Je vais tout de suite le lire 
Je comprends toute la démarche et les calculs, encore merci ! Mais par contre, je ne comprends pas comment on déduit de Y que c'est une fonction du type k/X ?
Ce sera ma dernière question, j'ai entièrement compris le reste et j'en suis très satisfaite 
Regarde ce que je trouve : Y = une constante/X, cette constante étant (bc - ad)/c².
Cordialement RR.
D'après ce que j'ai compris, si une fonction = une constante/X , alors cette fonction est toujours impaire ???
Je renifle l'erreur d'énoncé.
Je suppose qu'il s'agit de f(x)= (ax + b)/(cx + d)
Si c'est le cas:
Df = R \{-d/c}
---
f(-d/c + x) = (a(-d/c + x) + b)/(c(-d/c + x) + d)
f(-d/c + x) = (a(-d + cx)/c + b)/(c(-d + cx)/c + d)
f(-d/c + x) = (a(-d + cx) + bc))/(c(-d + cx) + cd)
f(-d/c + x) = (-ad + acx + bc)/c²x
---
f(-d/c - x) = (a(-d/c - x) + b)/(c(-d/c - x) + d)
f(-d/c - x) = (a(-d - cx)/c + b)/(c(-d - cx)/c + d)
f(-d/c - x) = (a(-d - cx) + bc))/(c(-d - cx) + cd)
f(-d/c + x) = -(-ad - acx + bc)/c²x
---
f(-d/c + x) + f(-d/c + x) = (-ad + acx + bc + ad + acx - bc)/c²x
f(-d/c + x) + f(-d/c + x) = 2acx/c²x
f(-d/c + x) + f(-d/c + x) = 2a/c
---
Et ceci démontre que le point de coordonnées (-d/c ; a/c) est centre de symétrie de la courbe représentant f(xà
-----
Sauf distraction.
D'après ce que j'ai compris, si une fonction = une constante/X , alors cette fonction est toujours impaire ???
oui car si f(x) = K/x alors f(-x)=K/(-x)=-(K/x)=-f(x)
ce qui est la définition d'une fonction impaire...
reprends l'énoncé, je pense comme J-P....
Remarque : j'ai vu la faute d'énoncé, et j'en ai tenu compte dans tous mes messages.
Cordialement RR.
Effectivement j'avais fait une erreur mais dans les posts qui ont suivis, je n'en avais pas pris compte. En tous les cas je vous remercie tous énormement (particulièrement raymond qui m'a bien consacré de son temps) et ça fait très plaisir de voir de l'entraide sur ce forum.
Encore merci !
Marion.
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