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Equation Cartésienne d'une Hauteur

Posté par
Joce2054
07-03-11 à 11:53

Bonjour à tous !

Je suis actuellement sur un DM de Math qui est à rendre la semaine prochaine.

Le thème de celui-ci est le produit scalaire.

Après un première exercice assez simple ( Définition de deux vecteurs colinéaires et orthogonaux etc. ), je planche maintenant sur le deuxieme.

Enoncé :

Soient les points A(1;3), B(4;0), C(0;1)
Déterminer une équation cartésienne de chacune des hauteurs du triangle ABC.
Rappel : la hauteur du triangle ABC est droite perpendiculaire à(BC) passant par A
En déduire les coordonnées de l'orthocentre du triangle ABC.


Pour la première question :

J'ai bien compris qu'il faut ici montrer que deux vecteurs sont orthogonaux.

Hauteur issue de A :
On appelle donc un point M(x;y) et il suffit d'appliquer le produit scalaire soit :

MA + CB = 0


Hors, je reste bloqué ici. Même en remplaçant par les coordonnées, je n'avance pas.

Pourriez-vous m'aider ? Du moins pour l'hauteur issue de A ?

En vous remerciant d'avance.
Cordialement.

Posté par
patrice rabiller
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 07-03-11 à 12:06

Bonjour,

Ton équation n'est pas bonne. Un point M appartient à la hauteur issue de A dans le triangle ABC si et seulement si :
\vec{AM}\pe\vec{BC} autrement dit \vec{AM}.\vec{BC}=0.

Il suffit alors d'eprimer ça avec les coordonnées et d'utiliser la formule xx'+yy' pour calculer le produit scalaire ...

Posté par
Joce2054
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 07-03-11 à 12:37

On obtient donc :

AM.BC = 0
(x-1)*-4 + (y-3)*1 = 0


C'est bien ça ?

Posté par
patrice rabiller
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 07-03-11 à 13:17

oui

Posté par
Joce2054
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 08-03-11 à 13:52

Je résume ( Uniquement des vecteurs pour la suite ):

A(1;3) ; B(4;0) ; C(0;1) ; M(x;y) ; N(x';y') ; O(x'';y'')
BC(-4;1) ; CA(1;2) ; AB(3;-3)
AM(x-1;y-3) ; BN(x'-4;y'-0) ; CO(x'';y''-1)


On nomme AM la hauteur issue de A.
Son équation est la suivante :

AM.BC= 0  <=> (x-1)*(-4)+(y-3)*1=0


On nomme BN la hauteur issue de B.

BM.CA=0  <=>  x'-4+y'*2=0


On nomme CO la hauteur issue de C.

CO.AB=0  <=>  3x''+(y''-1)*(-3)=0

Est-ce juste ?


Pour la question 2 :

On nous demande de déduire les coordonnées de l'orthocentre du Triangle ABC.

On sait qu'un orthocentre d'un triangle est le point où les sommets sont équidistants.

Comment dois-je faire pour le trouver ?

Je pense que l'on doit le chercher par une équation où l'on retrouverait les 3 équations précédentes, non ?

Cependant, je ne vois pas vraiment la forme de celle-ci ...


Posté par
patrice rabiller
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 08-03-11 à 17:58

Attention : l'orthocentre n'est pas le centre du cercle circonscrit. L'orthocentre est le point de concours des 3 hauteurs.
Comme tu as calculé les équations de ces 3 hauteurs, il suffit de résoudre un système formé de deux des trois équations des hauteurs.

Avec un schéma, ensuite, tu places l'orthocentre et tu peux savoir si c'est juste en vérifiant qu'il est bien sur les 3 hauteurs.

Posté par
patrice rabiller
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 09-03-11 à 09:57

Un petit dessin peut-être ?

Equation Cartésienne d\'une Hauteur

Posté par
Joce2054
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 09-03-11 à 11:41

Alors, je viens d'essayer et je n'ai trouvé pas le bon résultat ( donc celui correspondant au schéma ) :/

Je précise que les équations des hauteurs trouvées sont ( elles peuvent être fausses ! ) :

AM.BC=0  <=>  (-4x+4)+(y-3)=0
BN.CA=0  <=>   (x-4)+2y=0
CO.AB=0  <=>   3x+(-3y+3)=0


J'ai effectué le système suivant :

-4x+4+3x=0   soit x=4
y-3+(-3y+3)=0   soit y=2/3


Aurais-je fais une erreur ?

Posté par
patrice rabiller
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 09-03-11 à 12:29

Bonjour,

Tes équations semblent juste.

Par contre, je ne comprends pas ta méthode pour trouver le point commun à deux droites.

Si on prend les hauteurs issues de A et de B.

Leurs équations sont respectivement :
y=4x-1
y=-0,5x+2

On en déduit x=2/3... puis y=5/3

Posté par
Joce2054
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 09-03-11 à 12:40

Pourrais-tu développer un peu plus les équations que tu m'as donné ?
Je ne saisi pas trop non plus.

Posté par
patrice rabiller
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 09-03-11 à 13:13

Hauteur issue de A :

\vec{BC} a pour coordonnées (-4;1)
\vec{AM} a pour coordonnées (x-1;y-3)

\vec{BC}.\vec{AM}=0 équivaut à -4(x-1)+1(y-3)=0

autrement dit, l'équation de la hauteur issue de A est -4x+4+y-3=0 ou encore y=4x-1.

Hauteur issue de B :

\vec{AC} a pour coordonnées (-1;-2)
\vec{BM} a pour coordonnées (x-4;y)

\vec{AC}.\vec{BM}=0 équivaut à -1(x-4)-2(y)=0

autrement dit, l'équation de la hauteur issue de B est -x+4-2y=0 ou encore y=-0,5x+2.

Posté par
Joce2054
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 10-03-11 à 10:48

Si j'ai bien compris, il suffit d'utiliser 2 hauteurs afin de trouver l'orthocentre.

On prends alors les équations de 2 hauteurs puis on calcule l'une pour X et l'autre pour Y ?


Cependant, je n'ai toujours pas compris la façon de calculer X et Y.

( Je suis navré de mon niveau en math qui est assez pitoyable ... )

Posté par
patrice rabiller
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 10-03-11 à 14:44

Bien sûr qu'il suffit de 2 hauteurs puisqu'elles sont toutes les trois concourrantes ...

Pour trouver le point d'intersection des 2 hauteurs, une des méthodes consiste, comme je l'ai fait, à mettre les 2 équations sous la forme y=ax+b :

y = 4x - 1 pour la hauteur issue de A

y = -0,5x + 2 pour la hauteur issue de B

Ensuite, on déduit que 4x - 1 = -0,5 x + 2

puis 4,5x = 3

et enfin x = \frac{3}{4,5}=\frac{2}{3}.

Une fois qu'on a trouvé x, on remplace dans l'une des équations, x par sa valeur et on obtient y. Normalement, pour un élève de 1ère, c'est l'enfance de l'art

Posté par
Joce2054
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 10-03-11 à 20:38

Ah, c'est bon, j'ai bien compris =)

Merci pour cette aide qui fut précieuse ( J'enchaine sur l'exercice suivant sans problèmes ! )

Posté par
Loicligier
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 13-05-20 à 11:48

Bonjour,
Alors j'ai le même genre d'exercice et j'ai suivi vos conseils pour trouver l'orthocentre où j'isolais y puis je trouvais la valeur de x. Et je voulais savoir une fois qu'on avait la valeur de x et celle de y pour ma part x vaut 3 et y vaut 4, si l'orthocenrtre avait donc pour coordonnées (3;4). Merci.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 13-05-20 à 12:03

Bonjour,

si on a compris ce qu'on a fait et pas fait des incantations magiques, oui.

Posté par
Loicligier
re : Equation Cartésienne d'une Hauteur 13-05-20 à 12:17

D'accord merci



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