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Equation d'un plan

Posté par Stigmate (invité) 11-06-06 à 09:50

bonsoir a tous !

J'ai un petit probleme avec un exercice assez simple:

Déterminer l'équation cartésienne du plan alpha passant par le point P(4,2,1) et contenant la droite d donnée par:
x = 2 + k
y = 1 - 3k
z = 3 + k

Merci beaucoup d'avance.

Posté par
alpha20020
re : Equation d'un plan 11-06-06 à 10:46

Il doit sûrement y avoir plusieurs manières, mais l'on connait le vecteur directeur de la droite d (1;-3;1) (verticalement). Ensuite connaissant A(2;1;3) et P tu peux connaitre le vecteur AP qui serait vecteur directeur du plan. Or pour connaitre un plan tu as besoin de deux vecteurs directeurs et d'un point, ou bien de deux points et d'un vecteur directeur(sauf erreur...). Sachant celà, tu peux soit opérer un produit vectoriel entre le vecteur AP et le vecteur directeur de la droite d qui va te donner les y, x, z de ton plan /alpha (test...). Ensuite tu auras plus qu'à insérer ton point A dans le truc pour trouver ton andré sur 2() Ou sinon tu peux faire le déterminant de | x-a1/y-a2/z-a3 AP d |=0~...

Je te laisse le soin de faire les calculs... Et m'excuse si j'ai glissé cà ou là quelques erreurs, mais avec l'aide de ton cours, tu pourras sans doute vérifier tout celà...

Posté par
alpha20020
re : Equation d'un plan 11-06-06 à 10:47

Le André sur 2... étant le x+y+z+d=0 présent dans l'équation cartésienne du plan...

Posté par
raymond Correcteur
Re : Equation d'un plan 11-06-06 à 10:51

Bonjour.
Une solution consiste à écrire l'équation du plan : ax + by + cz + d = 0.
1°) On exprime qu'il passe par P : 4a + 2b + c + d = 0 (I)
2°) On dit qu'il contient la droite (d) : pour tout k réel, a(2+k) + b(1+3k) + c(3+k) + d = 0.
On organise en k : (a + 3b + c)k + (2a + b + 3c + d) = 0, pour tout k. On en déduit que :
a + 3b + c = 0 (II)
2a + b + 3c + d = 0 (III)
A l'aide de (I), (II), (III) on cherche a, b, c, d (ne pas oublier que a b c d sont déterminés à une constante près, donc trois équations suffisent).
Cordialement RR.

Posté par
raymond Correcteur
Re : Equation d'un plan 11-06-06 à 10:54

Désolé, j'ai mal lu l'énoncé : je n'ai pas vu le "-" dans y = 1 - 3k, mais la méthode reste la même.
Mille excuses, cordialement RR.

Posté par Stigmate (invité)re : Equation d'un plan 11-06-06 à 10:54

Merci beaucoup pour tous vos reponses,

Juste pour finir:
      2
AP = -1
     -2

Vecteur du plan:
2     1   5
-1  * -3 = 4
-2     1   7

5x + 4y +7z = d

on remplace par le pt A et on trouve d = 35, L'equation est donc =

5x + 4y +7z - 35 = 0

Merci beaucoup pour votre aide, la solution semble etre juste

Posté par
littleguy
re : Equation d'un plan 11-06-06 à 10:55

Bonjour

Par exemple tu choisis deux valeurs pour k, qui te donneront deux points A et B du plan (fais en sorte que A, B P ne soint pas alignés)
Tu es alors ramené à une situation classique : chercher une équation cartésienne d'un point déterminé par 3 points non alignés.

Il y a peut-être mieux.

Posté par
alpha20020
re : Equation d'un plan 11-06-06 à 12:09

Raymond, avec ta méthode on aboutit à un système d'équations ? C'est juste? (3 équations à 4 inconnues?)

Stigmate il me semble que tu as commis une petite erreur. En effet AP=)(p1-a1);(p2-a2);(p3-a3)) Ce qui me donne AP (2;1-2) et pas -1 pour le AP2

Ce qui me donne pour le produit vectoriel, sauf erreur
(-5;-4;-7) tjrs verticalement!

=>/alpha=-5x-4y-7z+d=0 =-5x-4y-7z+35=0
-10-4-21+35=0 => d=+35

Ce qui est bien égal, mais j'aurais du simplifier le vecteur normal en le divisant par moins 1. Par contre, un truc qui m'intrique c'est que avec l'AP que tu as mis, qui me semble faux, ca nous donne la même réponse... Chelou comme disent certains...



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