Si x est une solution, c'est une somme de racines donc il est positif.
Pour que sqrt(x²-m) et sqrt(x²-1) aient un sens, on doit avoir x² >= max(1,m).
Comme |x| >= 1, on peut diviser par x sans souci, et obtenir (après avoir posé z = 1/x²) l'équation équivalente
En multipliant par la quantité conjuguée, on a
donc
donc
donc
donc
![(m-4)^2z + 8(m-2) = 0](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(m-4)^2z + 8(m-2) = 0)
, parce que z ne peut pas être nul, comme inverse d'un réel >= 1
D'où
![x^2 = 1/z = \dfrac{(m-4)^2}{8(2-m)}](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x^2 = 1/z = \dfrac{(m-4)^2}{8(2-m)})
.
Cela ne peut avoir de sens que si 2-m > 0, ie m < 2. Dans ce cas, on aura nécéssairement m < 4 et donc
![x = \dfrac{4-m}{\sqrt{8(2-m)}}](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x = \dfrac{4-m}{\sqrt{8(2-m)}})
.
Par ailleurs,
![x^2\geqslant 1 \iff m^2-8m+16 \geqslant 16-8m \iff m^2 \geqslant 0](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x^2\geqslant 1 \iff m^2-8m+16 \geqslant 16-8m \iff m^2 \geqslant 0)
est une tautologie.
Et
![x^2 \geqslant m \iff m^2-8m+16 \geqslant 16m-8m^2 \iff 9m^2 -24m + 16 \geqslant 0 \iff (3m-4)^2 \geqslant 0](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?x^2 \geqslant m \iff m^2-8m+16 \geqslant 16m-8m^2 \iff 9m^2 -24m + 16 \geqslant 0 \iff (3m-4)^2 \geqslant 0)
également.
On aurait aussi pu écrire
![\sqrt{1-mz} - 2\sqrt{1-z} = 2\sqrt{1-mz} -(\sqrt{1-mz}+2\sqrt{1-z}) = 2\sqrt{1-mz} - 1](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sqrt{1-mz} - 2\sqrt{1-z} = 2\sqrt{1-mz} -(\sqrt{1-mz}+2\sqrt{1-z}) = 2\sqrt{1-mz} - 1)
.
Dans ce cas, on aurait
donc
donc
![(4-m)^2z^2 - 8(2-m)z = 0](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?(4-m)^2z^2 - 8(2-m)z = 0)
. Même équation que ci-dessus
Ensuite, on peut sans doute affiner la borne supérieure des m