Rebonjour, je viens de terminer un exercice d'arithmétique de ma fiche d'exos qui m'a fait assez peur donc je pense m'être trompé à plusieurs endroits...

Énoncé :

Dans tout l'exercice, α désigne un entier naturel supérieur ou égal à 4.
On considère l'équation (E) ci-dessous dont l'inconnue est le triplet d'entiers relatifs (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐙^3 .
(E) : 𝑥1^2 + 𝑥2^2 + 𝑥3^2 = α𝑥1𝑥2𝑥3

Le but de l'exercice est de démontrer que le seul triplet dans 𝐙^3 solution de (E) est (0,0,0).

Partie 1

Soient 𝑏 et 𝑐 deux réels. On considère la fonction polynôme 𝑃 de R dans R définie par 𝑃(𝑥) = 𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Un réel 𝑟 tel que 𝑃(𝑟) = 0 est appelé racine de 𝑃. On suppose dans cette partie que 𝑃 admet deux racines distinctes, 𝑟1et 𝑟2 . Ainsi, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) pour tout réel 𝑥.

1. Exprimer 𝑏 et 𝑐 en fonction de 𝑟1 et 𝑟2 .

2. On suppose ici 𝑏 ≤ 0 et 𝑐 ≥ 0
Que peut-on dire du signe de 𝑟1 et 𝑟2 ?

Partie 2

1. a. On suppose que le triplet (𝑥1,𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐙^3 est solution de l'équation (E). Montrer que (|𝑥1|, |𝑥2|, |𝑥3|) est aussi solution de l'équation (E).
b. En déduire que, s'il existe un triplet d'entiers relatifs différent de (0,0,0) solution de l'équation (E), alors il existe un triplet d'entiers naturels différent de (0,0,0) solution de l'équation (E).

2. Si le triplet (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ 𝐙^3 est solution de l'équation (E), que dire du triplet (𝑥2, 𝑥1, 𝑥3) ?

3. En déduire que, si l'équation (E) admet une solution dans 𝐙^3 différente du triplet (0,0,0), alors elle admet une solution (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) dans 𝐍^3 différente du triplet (0,0,0) et telle que 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 .

Partie 3

On suppose donc dans cette partie qu'il existe un triplet d'entiers naturels (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) différent de (0,0,0) solution de (E) et tel que 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 . On fixe un tel triplet.

1. Démontrer que 𝑥1 > 0.

2. On définit la fonction 𝑄 de R dans R par 𝑄(𝑥) = 𝑥^2 − α𝑥1𝑥2𝑥 + 𝑥1^2 + 𝑥2^2.
Un réel 𝑟 tel que 𝑄(𝑟) = 0 est appelé racine de 𝑄.
a. Soit 𝑦 un réel. Montrer que (𝑥1, 𝑥2, 𝑦) est solution de (E) si, et seulement si, 𝑦 est une racine de 𝑄.
b. Indiquer une première racine de 𝑄 à partir des données de l'énoncé.
c. Vérifier que 𝑄(𝑥2) = (3 − α𝑥1)𝑥2^2 + (𝑥1^2 − 𝑥2^2) et en déduire que 𝑄(𝑥2) < 0.
d. Quel est le signe de 𝑄(0) ?
e. Démontrer que 𝑄 a deux racines distinctes : celle donnée précédemment et une autre notée 𝑦 ; ranger dans l'ordre croissant les nombres 0, 𝑥2 et 𝑥3 et 𝑦 et justifier qu'ils sont tous distincts.
f. Montrer que (𝑥1, 𝑥2 ,𝑦) est un triplet d'entiers naturels solution de l'équation (E).

3. Que donne le raisonnement de la question 2 en remplaçant le triplet solution (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) par le triplet constitué de 𝑥1, 𝑥2, 𝑦 rangés dans l'ordre croissant ?

4. Expliquer comment aboutir à une absurdité et conclure quant aux triplets d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).

5. Démontrer le résultat suivant :
« Soit 𝑛 ∈ ℕ et α ∈ ℕ avec α > 𝑛 ≥ 2 .
L'équation 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛^2 = α𝑥1 …𝑥𝑛 d'inconnue (𝑥1, 𝑥2, …, 𝑥𝑛) n'admet pas de 𝑛-uplet d'entiers relatifs solution autre que (0, 0, …, 0). »

Ma tentative:

Partie 1 :

1. On développe le produit (𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) :
(𝑥 − 𝑟1)(𝑥 − 𝑟2) = 𝑥^2 − (𝑟1 + 𝑟2)𝑥 + 𝑟1𝑟2
En identifiant avec l'expression de 𝑃(𝑥) = 𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, on a :
𝑏 = −(𝑟1 + 𝑟2) et 𝑐 = 𝑟1𝑟2.

2. Puisque 𝑏 ≤ 0 et 𝑐 ≥ 0, on a :
−(𝑟1 + 𝑟2) ≤ 0 et 𝑟1𝑟2 ≥ 0.
Donc 𝑟1 et 𝑟2 sont de même signe (car 𝑟1𝑟2 ≥ 0), et leur somme est positive (car 𝑏 = −(𝑟1 + 𝑟2) est négatif). On en déduit donc que 𝑟1 et 𝑟2 sont positifs.

Partie 2 :

1. a. Soit (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) une solution de l'équation (E). Alors on a :
𝑥1^2 + 𝑥2^2 + 𝑥3^2 = α𝑥1𝑥2𝑥3
En prenant la valeur absolue des termes, on obtient :
|𝑥1|^2 + |𝑥2|^2 + |𝑥3|^2 = α|𝑥1||𝑥2||𝑥3|
Ce qui montre que (|𝑥1|, |𝑥2|, |𝑥3|) est solution de l'équation (E).
b. Si (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) est une solution non nulle de l'équation (E), alors par la question 1.a, on peut considérer sans perte de généralité que les trois coordonnées sont positives. On peut donc considérer le triplet (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) et appliquer la question 1.a pour obtenir un nouveau triplet de solutions (|𝑥1|, |𝑥2|, |𝑥3|) qui vérifie aussi l'équation (E). En répétant ce processus autant de fois que nécessaire, on obtient un nouveau triplet de solutions (𝑥'1, 𝑥'2, 𝑥'3) dans 𝐍^3 qui vérifie l'équation (E).

2. Si (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) est solution de l'équation (E), alors on a :
𝑥1^2 + 𝑥2^2 + 𝑥3^2 = α𝑥1𝑥2𝑥3
En échangeant les deux premières coordonnées, on obtient :
𝑥2^2 + 𝑥1^2 + 𝑥3^2 = α𝑥2𝑥1𝑥3
ce qui montre que le triplet (𝑥2, 𝑥1, 𝑥3) est aussi solution de l'équation (E).

3. D'après la question 1.b, s'il existe une solution différente de (0,0,0), alors il existe une solution (|𝑥1|, |𝑥2|, |𝑥3|) différente de (0,0,0) dans 𝐍^3. En utilisant la question 2, on sait que si (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) est solution, alors (𝑥2, 𝑥1, 𝑥3) et (𝑥3, 𝑥2, 𝑥1) sont aussi des solutions. En permutant les composantes de la solution (|𝑥1|, |𝑥2|, |𝑥3|) et en réappliquant la question 2, on obtient une solution (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) différente de (0,0,0) dans 𝐍^3, telle que 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3.

Partie 3:

1. On sait que 𝑥1 est un entier naturel, donc 𝑥1 ≥ 0. Si 𝑥1 = 0, alors le membre de droite de l'égalité dans l'équation (E) est nul, ce qui implique que 𝑥1^2 + 𝑥2^2 + 𝑥3^2 = 0. Or, puisque 𝑥1, 𝑥2 et 𝑥3 sont des entiers naturels, cela implique que 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 0, ce qui contredit l'hypothèse que le triplet (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) est différent de (0,0,0). Ainsi, 𝑥1 doit être strictement positif, c'est-à-dire 𝑥1 > 0.

2. a. Soit 𝑦 un réel. On a :
(𝑥1, 𝑥2, 𝑦) est solution de (E)
⟺ 𝑥1^2 + 𝑥2^2 + 𝑦^2 = α𝑥1𝑥2𝑦
⟺ 𝑦^2 − α𝑥1𝑥2𝑦 + 𝑥1^2 + 𝑥2^2 = 0
⟺ 𝑄(𝑦) = 0
Ainsi, (𝑥1, 𝑥2, 𝑦) est solution de (E) si, et seulement si, 𝑦 est une racine de 𝑄.
b. On a déjà vu que 𝑥1 > 0. Donc, 𝑄(0) = 𝑥1^2 + 𝑥2^2 > 0. De plus, on a 𝑄(𝑥1) = 𝑥1^2 + 𝑥2^2 − α𝑥1^3𝑥2 + 𝑥1^2 + 𝑥2^2 = (2 + 𝑥2^2)(𝑥1^2 − α𝑥1𝑥2^2) > 0 (car 𝑥1^2 − α𝑥1𝑥2^2 > 0). Donc, 𝑄(0) < 0 < 𝑄(𝑥1). Ainsi, 𝑄 a une racine dans l'intervalle [0, 𝑥1]. Soit 𝑟 cette racine. Alors, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑥1.
c. On a :
𝑄(𝑥2) = 𝑥2^2 − α𝑥1𝑥2^3 + 𝑥1^2 + 𝑥2^2
= (2 − α𝑥1)𝑥2^2 + 𝑥1^2
Comme 𝑥1 > 0 et 𝑥2 ≥ 𝑥1, on a 2 − α𝑥1 < 0, ce qui implique que (2 − α𝑥1)𝑥2^2 < 0. Donc, 𝑄(𝑥2) < 𝑥1^2 − 𝑥2^2 ≤ 0.
d. 𝑄(0) = 𝑥1^2 + 𝑥2^2 > 0.
e. En utilisant le résultat de la question précédente, on peut affirmer que la fonction polynôme 𝑄(x) change de signe sur R, car 𝑄(𝑥2) < 0. Par conséquent, l'équation 𝑄(x) = 0 a exactement deux racines réelles distinctes. On connaît déjà 𝑥3, donc on note 𝑦 la deuxième racine. Comme 𝑥2 est strictement compris entre les deux racines, on a 𝑦 < 𝑥2 < 𝑥3.
On sait que 𝑄(0) = 𝑥1^2 + 𝑥2^2 > 0, donc 0 est en dehors des racines de 𝑄. Par conséquent, 0 est soit strictement inférieur à la plus petite racine 𝑦, soit strictement supérieur à la plus grande racine 𝑥3. Cependant, on sait que 0 < 𝑥2, donc on peut en déduire que 0 < 𝑦 < 𝑥2 < 𝑥3.
f. D'après la question précédente, 𝑦 est un réel tel que 𝑄(𝑦) = 0 et 𝑦 < 𝑥3. On peut alors écrire 𝑄(𝑦) = 𝑦^2 − α𝑥1𝑥2𝑦 + 𝑥1^2 + 𝑥2^2 = 0. En ajoutant 𝑥3𝑦 de chaque côté, on obtient 𝑥3𝑦^2 − α𝑥1𝑥2𝑥3𝑦 + 𝑥1^2𝑥3 + 𝑥2^2𝑥3 = 𝑥3𝑦(𝑦 − α𝑥1𝑥2) + 𝑥1^2𝑥3 + 𝑥2^2𝑥3 = 0. Comme 𝑥3 est un entier non nul, on en déduit que 𝑦 est un entier si et seulement si 𝑦 - α𝑥1𝑥2 est un entier. Or, 𝑦 - α𝑥1𝑥2 = 𝑥3 - 𝑥2 est un entier, car 𝑥2 et 𝑥3 sont des entiers. Ainsi, 𝑦 est un entier naturel.

3. D'après le raisonnement de la question 2, on suppose qu'il existe un triplet solution (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) de l'équation (E) tel que 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3, et on réordonne ce triplet dans l'ordre croissant pour obtenir le triplet (𝑥1, 𝑥2, 𝑦), avec 𝑦 la racine de 𝑄 distincte de 𝑥3.
Ensuite, on réitère le procédé sur le triplet (𝑥1, 𝑥2, 𝑦) pour obtenir un nouveau triplet d'entiers naturels distincts de (0, 0, 0), avec le maximum strictement décru. On continue ainsi à réitérer le procédé pour obtenir une suite strictement décroissante d'entiers naturels, ce qui est impossible.
Ainsi, on en conclut qu'il n'existe pas de triplet d'entiers naturels (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) différent de (0, 0, 0), solution de (E) tel que 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3.

4. En supposant par l'absurde qu'il existe un triplet d'entiers relatifs (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) différent de (0,0,0), solution de (E), on peut appliquer le raisonnement de la question 3 de la partie 2 pour en déduire l'existence d'un triplet d'entiers naturels (𝑥1, 𝑥2, 𝑦) différent de (0,0,0), solution de (E) tel que 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑦.
En utilisant ensuite le raisonnement de la question 3 de la partie 3 sur ce nouveau triplet (𝑥1, 𝑥2, 𝑦), on arrive à une suite strictement décroissante d'entiers naturels 𝑦𝑛, ce qui est impossible. Par conséquent, l'hypothèse initiale est fausse, et il n'existe pas de triplet d'entiers relatifs (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) différent de (0,0,0), solution de (E).

5. Pour prouver que l'équation 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛^2 = α𝑥1 …𝑥𝑛 n'a pas de 𝑛-uplet d'entiers relatifs solution autre que (0, 0, …, 0), on utilise un raisonnement par l'absurde en montrant que le polynôme 𝑄(𝑥) = 𝑥^2 − α𝑥1 …𝑥𝑛−1𝑥 + 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛−1^2 est strictement positif pour tout 𝑥1, …, 𝑥𝑛-1, sauf pour 𝑥1 = 𝑥2 = … = 𝑥𝑛-1 = 0.
On commence par poser 𝑄(𝑥𝑛−1) = 𝑥𝑛−1^2 − α𝑥1 …𝑥𝑛−2𝑥𝑛−1 + 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛−2^2. On remarque que 𝑄(0) = 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛−2^2 > 0 car 𝑛 ≥ 2 et que 𝑄(𝑥𝑛−1) = (𝑛 − α𝑥1 …𝑥𝑛−2)𝑥𝑛−1^2 + 𝑄(0).
Comme 𝑛 − α𝑥1 …𝑥𝑛−2 > 0, on a 𝑄(𝑥𝑛−1) > 0 pour tout 𝑥1, …, 𝑥𝑛-1 différents de zéro. Supposons maintenant qu'il existe un 𝑛-uplet d'entiers relatifs (𝑥1, …, 𝑥𝑛) différent de (0, 0, …, 0) solution de l'équation 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛^2 = α𝑥1 …𝑥𝑛. Alors en posant 𝑥𝑛−1 = 0, on a 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛−1^2 = α𝑥1 …𝑥𝑛−1, et donc 𝑄(0) = 0, ce qui est une contradiction avec le fait que 𝑄(0) > 0. Ainsi, il n'existe pas de 𝑛-uplet d'entiers relatifs solution de l'équation 𝑥1^2 + ⋯ + 𝑥𝑛^2 = α𝑥1 …𝑥𝑛 autre que (0, 0, …, 0).

J'espere que c'est lisible/comprehensible... Merci d'avance pour votre aide !