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Estimateur
Bonjour
Votre site est très intéressant, il permet de dépanner les personnes qui ont quelques difficultés, comme moi... Pouvez-vous m'aider dans cet exercice ? D'avance, merci.
**********
La durée de vie d'un élément d'âge a obéit à la loi de densité :
f(x) = exp-(x-a) si x>a
0 sinon
1) Quelles sont la loi, l'espérance et la variance de Y = X-a ?
2) Pour estimer a, on tire un échantillon d'âges de taille n (X1, X2, ..., Xn). Posons : Z=min Xi i=1,..,n
a) Donner la fonction de répartition, la densité, l'espérance et la variance de Z.
b) Proposer un estimateur sans biais et convergent de a qui soit fonction de Z.
3)On envisage un autre estimateur de a : U = X "barre" -1
où X "barre" est la moyenne de l'échantillon.
a) Quelle est la loi de 
(Xi-a) pour i=1 à n?
Celle de (1/n)(Xi-a) pour i=1 à n ?
b) En déduire la densité de X "barre", son espérance et sa variance.
c) Quelles sont les qualités de U ? Comparer les estimateurs Z et U.
Voici mes réponses
1) Y = X-a suit une loi exponentielle de paramètre 1.
E(Y) = 1
V(Y) = 1
2) Z=min Xi
a) Z suit une loi Gamma de paramètre (n;1)
et puis, je ne sais plus trop quoi faire...
merci, si qq'un peut m'aider !!
2)
pour x>a,
Donc , ce qui donne la fonction de répartition de Z :
Si c'est une loi Gamma j'en sais rien.
L'espérance de Z est bien ?
Dans ce cas, ne serait-il pas un estimateur sans biais de a convergent ?
ahhh, merci bien de m'aider !
Comme j'ai trouvé que Z suivait une loi Gamma (n;1), l'espérance de Z est E(Z)=n et la varaiance de Z est V(Z)
Comment arrivez-vous à votre espérance de Z ? Me serais-je trompée ?
oups, je ne finis pas mes phrases 
:
E(Z) = n/1 = n
V(Z) = n/1² = n
Au lieu de donner le nom de la loi de Z, donne plutôt la fonction de répartition et la densité.
C'est plutôt Z-a qui suit une loi Gamma de paramètre(1/n;1), mais on s'en fiche.
ah oui d'accord, en effet, c'est Z-a qui suit une loi Gamma, mais de paramètre (1;n). Est-ce que l'on peut diviser les paramètres par n comme ce que tu as trouvé ?
Et si Z-a suit une loi Gamma; est-ce que Z suit une loi Gamma aussi ?
Avec mes paramètres, j'ai E(Z-a)=1/n ; comment trouves-tu l'espérance de Z seulement ?
merci d'avance
1) Le problème avec le nom des lois, c'est que d'un cours à l'autre ce ne sont pas les mêmes définitions. Par exemple dans un cours la loi exponentielle de paramètre 
a la même définition que la loi exponentielle de paramètre 1/. C'est pour ça qu'il vaut mieux éviter d'utiliser les noms des lois.
2) Une loi Gamma prend toutes les valeurs possibles dans [0,+
[.
Si Z-a suit une loi Gamma alors Z, qui est égale à (Z-a)+a ne prend pas de valeurs dans [0,a[ donc ce n'est pas une loi gamma.
3) E(Z-a)= E(Z)-a donc si E(Z-a)=1/n, E(Z)=1/n+a
pour que l'estimateur soit sans biais, il faut que l'espérance soit égal au paramètre, et ici Z-1/n ne semble pas être le cas ...
ok, il faut que l'espérance DE L'ESTIMATEUR soit égal au paramètre, j'avais "sauté" ce point important...
Si la loi Y = X - a suit la loi exponentielle de paramètre (1), alors la loi de la (Xi-a) pour i=1 à n est une loi Gamma (n;1), est-ce exact ?
J'en sais rien. Si c'est écrit dans ton cours, oui. (mais il faut préciser que les Xi sont indépendantes)
oui c'est vrai, je vais les supposer indép.
et (1/n)(Xi-a) pour i=1 à n, serait donc (1/n)Y = "Y barre"
sans plaisanter, je n'y arrive pas, est-ce que tu aurais un tuyau à me filer pour la fin de l'exo ? 
3)a)
Les Xi-a sont indépendantes et suivent une loi exponentielle de paramètre 1 (question 1).
Donc suit une loi Gamma de paramètres (n,1)
(j'utilise 
)
Pour la loi de
As-tu la réponse à ceci dans ton cours : Si V est une variable aléatoire de loi gamma (p,
), quelle est la loi de cV où c est un réel >0 ?
ok pour la première partie, mais pour la deuxième, ça ne me dit rien !
Alors faisons ça :
Soit V une loi gamma (p ; ) et c>0 un nombre réel.
La densité de V est pour
, sinon
Déterminons la densité de la variable aléatoire V'=cV
Par le changement de variables , on obtient
Ainsi la densité de V' est
donc V' suit une loi gamma
question 3)a) :
suit une loi gamma (n ; 1) donc d'après ma réponse précédente,
suit une loi gamma (n ; 1/n)
Suite :
On a (attention dans mon message précédent je n'ai pas mis les parenthèses)
Donc
d'où : c'est "une loi gamma (n ; 1/n) plus a"
3)b)
... donc en notant la densité de la loi gamma (n ; 1/n), la densité de
est la fonction
L'espérance de la loi gamma (n ; 1/n) est donc celle de
est
La variance de la loi gamma (n ; 1/n) est , c'est aussi celle de
(la variance ne change pas quand on ajoute une constante)
hou là, eh bien !! je suis sûre à 3000% de n'avoir jamais vu ceci dans mon cours !
Je vais essayer de comprendre !
La propriété que j'ai démontrée dans mon message posté le 16/04/2006 à 16:26 se démontre peut-être plus facilement en utilisant de la fonction de répartition qu'en utilisant la fonction de densité de la loi gamma.
Pour la dernière question, mes deux estimateurs sont Z-1/n et U="X barre"-1.
Je trouve que tous deux sont sans biais et convergents. Et donc, je ne vois pas le sens de la question sur leur comparaison...
Merci si tu as une suggestion.
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