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Etude d un tétraède dans l espace
Bonsoir !
J'ai un exo à faire mais je bloque lorsque je dois justifier ! Je n'arrive qu'à faire la figure.
On considère 1 tétraède régulier ABCD. Les 4 faces sont donc des triangles équilatéraux de même côté. On prendra 1 comme longueur des 6 arêtes. On note I et J les milieux respectifs de [BC] et [AD] et G le centre de gravité du triangle BCD.
1) Je dois démontrer que la droite (BC) est orthogonale au plan (AID) et que la droite (AD) est orthogonale au plan (BJC).
2) En déduire que la droite (IJ) est perpendiculaire aux droites (AD) et (BC).
3) En utilisant le triangle AID, démontrer que les droites (IJ) et (AG) sont sécantes.
4) Une fourmi se déplace à la surface du tétraède du point I au point J en traversant l'arête [AB] au point P.
a) Quelle est la position de P sur [AB] pour que la longeuer du trajet de la fourmi soit minimale ?
b) Quelle est la longueur de ce trajet minimal ?
Voilà, j'espère que quelqu'un pourra m'aider.
Merci d'avance !
Salut !
1. La droite ne serait-elle pas perpendiculaires à deux droites sécantes contenues dans le plan
?
exact ! et c'est donc pareil pour justifier que (AD) est orthogonale à (BJC) ?
C'est "pareil". ( Dans un triangle équilatéral, une médiane étant aussi une hauteur ... on a alors les droites perpendiculaires souhaitées 
. )
ah d'accord !
Merci !
ça me permet d'avancer un peu !
Mais parcontre pour la question 3 je ne vois pas comment on peut justifier qu'en se situant dans AID, (IJ) est sécante à (AG) ?!?
Déjà, prouver que ces deux droites sont contenues dans le plan
.
La droite (IJ) passe par le centre de gravité G.
Les droites (IJ) et (AG) ont donc 1 point commun G.
On peut alors dire qu'elles appartiennent à un même plan (AID).
C'est correct si je mets ça ?
"La droite (IJ) passe par le centre de gravité G." <-- 
Je ne pense pas non 
.
Pour justifier que ces deux droites sont dans le plan , il suffit d'utiliser la propriété qui te dit que si tu as deux points, disons
et
( avec
) dans un certain plan
, alors ce plan
en question contient toute la droite définie par ces deux points
et
, c'est-à-dire la droite
.
ah ok ! merci !!!
Comme elles sont toutes les 2 coplanaires, et qu'elles ont 1 point commun ... je peux donc dire qu'elles sont sécantes ?
Bonjour
4)Soit P sur [AB] avec |PB| = x
Dans le triangle PBI on a PI² = (1/2)² + x² - 2.(1/2).x.cos(60°)=1/4 + x² - x/2
Dans le triangle PAJ on a PJ² = (1/2)² + (1-x)² - 2.(1/2).(1-x).cos(60°) = 3/4 + x² - 3x/2
PI² + PJ² = 2.x² - 2x + 1 qui est minimum pour x = 1/2
*
La valeur de x qui rend minimum PI² + PJ² est aussi la valeur de x qui rend minimum PI + PJ ( je n'ai pas dit que l'ordonnée est la même)
*
Donc PI + PJ minimum pour x = 1/2 et vaut 2.PI = 2.1/2 = 1
A plus geo3
Merci beaucoup Geo3 !
Mais je n'arrive toujours pas à démontrer que (IJ) et (AG) sont sécantes ?!?
Quelqu'un pourrait m'indiquer la méthode à suivre ???
merci
Bonsoir
ADI est un plan (3 points non alignés)
Quels sont des points appartenant à ce plan : il y a G car sur DI ; il y a J car sur AD et dans ce plan IJ et AG ne sont pas parallèles donc sécantes.
A plus geo3
Et pourquoi ne sont-elles pas parallèles ?
Bonsoir
Vu la position des points il est évident que AG n'est pas // à IJ.
Dans un triangle 2 droites l'une joignant un sommet et un point du côté opposé et l'autre idem se coupe nécessairement à l'intérieur du triangle.
A plus geo3
Ok, c'est dû à la convexité. Mais au niveau 1re, ça donne quoi ?
Bonsoir
Ne cherchons pas la petite bête et chercher après des poux là où il n'y en pas : on est dans un triangle ( qui est toujours convexe).
De rien.
A plus geo3
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