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Etude d une suite définie par Un+2 = aUn+1 + bUn

Posté par Marie-Anne (invité) 15-05-05 à 14:43

Bonjour tout le monde !

Alors voilà je débute un peu dans les suites numériques... Donc si vous pouviez m'aider un peu ça serait sympa  

Voilà mon exercice, je vous le donne en entier mais je bute sur la question 2a :

(Un) est la suite définie par U0 = 1, U1 = 2 et pour tout naturel n, Un+2 = 1.5Un+1 - 0.5 Un

1a) Démontrez que la suite (Vn)définie par Vn = Un+1 -Un est une suite géométrique.
b)Exprimez Vn en fonction de n.

donc là j'ai trouvé que Vn était une suite géométrique de raison 0.5 et Vn = 0.5n

2a) Exprimez Un en fonction de n.
b) Quelle est la limite de la suite (Un)?

3) Déterminez le plus petit entier p tel que :
valeur absolue de (Un-3)10-5 pour tout entier np

Alors si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance  

Posté par
H_aldnoerre : Etude d une suite définie par Un+2 = aUn+1 + bUn 15-05-05 à 15:32

slt


bizzare ca j'ai deja vu ce sujet ...

utiliser le moteur de recherche


@+ sur l' _ald_

Posté par Marie-Anne (invité)re : Etude d une suite définie par Un+2 = aUn+1 + bUn 15-05-05 à 16:21

merci beaucoup H_aldnoer j'ai trouvé le sujet mais je ne comprend toujours pas...
Quelqu'un pourrait m'aider ? merci d'avance

Posté par
ma_corre etude d une suite 15-05-05 à 23:53

Bonsoir à tous.
Pour t'aider Marie-Anne, tu dois bien connaître ta théorie sur les suites (cela semble être le cas).
La relation que l'on te donne est appelée relation de récurrence de la suite.
Ainsi, tu as V_{n}=U_{n+1}-U_{n} et puisque V_n=(0,5)^n, alors U_{n+1}-U_{n}=(0,5)^{n}\Leftrightarrow U_{n+1}=U_n+(0,5)^n.
Ainsi, en détaillant, tu as : U_{n+1}=U_{n}+\(\frac{1}{2}\)^n=U_{n-1}+\(\frac{1}{2}\)^{n-1}+\(\frac{1}{2}\)^n=...=U_{0}+\(\frac{1}{2}\)^0+\(\frac{1}{2}\)^1+...+\(\frac{1}{2}\)^{n-1}+\(\frac{1}{2}\)^{n}=U_0+\Bigsum_{i=0}^{n}\(\frac{1}{2}\)^{i}.
Or la somme vaut 1.\frac{1-\(\frac{1}{2}\)^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2-2.\(\frac{1}{2}\)^{n+1}=2-\(\frac{1}{2}\)^n.
En remplaçant aussi U_0 par 1, il vient : U_{n+1}=3-\(\frac{1}{2}\)^{n}.
A toi de conclure sur la limite pour n tendant vers l'infini.
La dernière question te propose de calculer |U_n-3|=\(\frac{1}{2}\)^{n-1}\le{10^{-5}}.  A toi de conclure (petits calculs à réaliser à l'aide de ta calculette).
Bon travail et a+.

Posté par Marie-Anne (invité)Merci à tous !! 16-05-05 à 20:10

Merci beaucoup ma_cor j'ai enfin compris cet exo et en plus heureusement que tu m'a aidé parce que je suis passée au tableau !
Alors merci !! (j'ai impressionné ma prof)

à bientôt !


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