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Etude d'une suite récurrente (3))

Posté par
perroquet 23-11-19 à 12:20

Bonjour à tous.

On considère la suite $(v_n)_{n\in\mathbb N^{\star}}$ définie par:

$v_1 \in ]0,+\infty [$       et     $\forall n \in \mathbb N^{\star}$   ,   $v_{n+1}=1+\dfrac{n}{v_n}$

La suite $(u_n)_{n\in\mathbb N^{\star}}$   est définie par:

$u_1=1$       et     $\forall n \in \mathbb N^{\star}$   ,   $u_{n+1}=1+\dfrac{n}{u_n}$

Montrer que, pour tout $p$ de $\mathbb N$ :     $v_n=u_n+ o\left(\dfrac{1}{n^p}\right)$

Posté par re : Etude d'une suite récurrente (3)) 23-11-19 à 12:27

Commentaire:
en utilisant les résultats de Etude d'une suite récurrente (2),
on en déduit que pour tout entier naturel $p$ la suite $(v_n)_{n\in\mathbb N^*}$ admet un développement asymptotique:
$v_n=\sqrt{n} +\sum_{k=0}^p \dfrac{a_k}{\sqrt{n^k}} + o\left( \dfrac{1}{\sqrt{n^p}}\right)$
les coefficients $a_k$ étant indépendants du premier terme $v_1$

Posté par re : Etude d'une suite récurrente (3)) 23-11-19 à 14:44

Bonjour perroquet,

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Posté par re : Etude d'une suite récurrente (3)) 23-11-19 à 15:48

Le commentaire que j'ai écrit à 12h27 peut prêter à confusion. Je le réécris de la manière suivante:
Supposons que     $\forall p \in \mathbb N \ ,\ v_n=u_n+o\left( \dfrac{1}{n^p} \right)$
Alors, en utilisant les résultats de   Etude d'une suite récurrente (2),
on en déduit que pour tout entier naturel $p$ la suite $(v_n)_{n\in\mathbb N^*}$ admet un développement asymptotique:
$v_n=\sqrt{n} +\sum_{k=0}^p  \dfrac{a_k}{\sqrt{n^k}} + o\left( \dfrac{1}{\sqrt{n^p}}\right)$
les coefficients $a_k$ étant indépendants du premier terme $v_1$